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4.下图是三个半圆，求阴影部分的周长。
答案
3.14×(6+2+8)÷2=25.12(cm)
解析
【分析】
首先观察阴影部分的周长组成：它由三个半圆的弧长构成，分别是直径为(6+2)cm的外半圆的弧、直径为6cm的内凹大半圆的弧、直径为2cm的内凹小半圆的弧。我们学过半圆的弧长是对应圆周长的一半，计算公式为“弧长=π×直径÷2”，所以我们只需要把三个弧长相加即可，计算时可以提取公因数简化运算，不需要分别计算每个弧长再求和。
【解析】
步骤1：确定三个半圆的直径：
外半圆直径：$6+2=8\mathrm{cm}$，两个内半圆直径分别为$6\mathrm{cm}$和$2\mathrm{cm}$。
步骤2：根据半圆弧长公式计算总周长：
阴影部分周长 = 三个半圆弧长之和
$=3.14×8÷2 + 3.14×6÷2 + 3.14×2÷2$
提取公因数$3.14÷2$，可得：
$=3.14×(8+6+2)÷2$
$=3.14×16÷2$
$=25.12\mathrm{cm}$
【答案】
3.14×(6+2+8)÷2=25.12(cm)
【知识点】
圆的周长计算、组合图形周长计算、半圆弧长计算
【点评】
本题重点考查对组合图形周长构成的分析能力，解题关键是明确阴影部分周长仅为三个半圆的弧长之和，不要误加直线段的长度，计算时利用提取公因数的方法可以简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
首先观察阴影部分的周长组成：它由三个半圆的弧长构成，分别是直径为(6+2)cm的外半圆的弧、直径为6cm的内凹大半圆的弧、直径为2cm的内凹小半圆的弧。我们学过半圆的弧长是对应圆周长的一半，计算公式为“弧长=π×直径÷2”，所以我们只需要把三个弧长相加即可，计算时可以提取公因数简化运算，不需要分别计算每个弧长再求和。
【解析】
步骤1：确定三个半圆的直径：
外半圆直径：$6+2=8\mathrm{cm}$，两个内半圆直径分别为$6\mathrm{cm}$和$2\mathrm{cm}$。
步骤2：根据半圆弧长公式计算总周长：
阴影部分周长 = 三个半圆弧长之和
$=3.14×8÷2 + 3.14×6÷2 + 3.14×2÷2$
提取公因数$3.14÷2$，可得：
$=3.14×(8+6+2)÷2$
$=3.14×16÷2$
$=25.12\mathrm{cm}$
【答案】
3.14×(6+2+8)÷2=25.12(cm)
【知识点】
圆的周长计算、组合图形周长计算、半圆弧长计算
【点评】
本题重点考查对组合图形周长构成的分析能力，解题关键是明确阴影部分周长仅为三个半圆的弧长之和，不要误加直线段的长度，计算时利用提取公因数的方法可以简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
5. 算出下面各图中阴影部分的面积。
(单位:cm)
(1)
(2)
(单位:cm)
(1)
(2)
答案
(1)
S阴 = S半圆 - S三角形
= $\frac{1}{2}×π×5^2 - \frac{1}{2}×6×8$
= 39.25 - 24
= 15.25(cm²)
(2)
S阴 = S梯 - S半圆
= $\frac{1}{2}×(7+10)×8 - \frac{1}{2}×π×4^2$
= 68 - 25.12
= 42.88(cm²)
解析
【分析】
(1) 第一个图形的阴影为半圆减去内部直角三角形的部分，解题时先确定半圆的直径是10cm，可求出半径，再根据直角三角形两条直角边的长度分别计算两个规则图形的面积，相减就能得到阴影面积。
(2) 第二个图形的阴影为直角梯形减去空白半圆的部分，解题时先明确梯形的上底、下底、高，以及半圆的直径是8cm，可求出半径，分别计算梯形和半圆的面积，相减即可得到阴影面积，计算时π取3.14即可。
【解析】
(1)
半圆半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×5^2=39.25(\mathrm{cm}^2)$
直角三角形面积：$\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$39.25-24=15.25(\mathrm{cm}^2)$
(2)
梯形面积：$\frac{1}{2}×(7+10)×8=68(\mathrm{cm}^2)$
半圆半径：$8÷2=4(\mathrm{cm})$
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×4^2=25.12(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$68-25.12=42.88(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $15.25\ \mathrm{cm}^2$
(2) $42.88\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算、圆的面积计算、平面图形面积计算
【点评】
这两道题是不规则阴影面积计算的常规题型，核心是把不规则图形转化为规则图形的面积差，解题时要准确提取各规则图形的边长参数，熟记对应的面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一个图形的阴影为半圆减去内部直角三角形的部分，解题时先确定半圆的直径是10cm，可求出半径，再根据直角三角形两条直角边的长度分别计算两个规则图形的面积，相减就能得到阴影面积。
(2) 第二个图形的阴影为直角梯形减去空白半圆的部分，解题时先明确梯形的上底、下底、高，以及半圆的直径是8cm，可求出半径，分别计算梯形和半圆的面积，相减即可得到阴影面积，计算时π取3.14即可。
【解析】
(1)
半圆半径：$10÷2=5(\mathrm{cm})$
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×5^2=39.25(\mathrm{cm}^2)$
直角三角形面积：$\frac{1}{2}×6×8=24(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$39.25-24=15.25(\mathrm{cm}^2)$
(2)
梯形面积：$\frac{1}{2}×(7+10)×8=68(\mathrm{cm}^2)$
半圆半径：$8÷2=4(\mathrm{cm})$
半圆面积：$\frac{1}{2}×3.14×4^2=25.12(\mathrm{cm}^2)$
阴影面积：$68-25.12=42.88(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $15.25\ \mathrm{cm}^2$
(2) $42.88\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
组合图形面积计算、圆的面积计算、平面图形面积计算
【点评】
这两道题是不规则阴影面积计算的常规题型，核心是把不规则图形转化为规则图形的面积差，解题时要准确提取各规则图形的边长参数，熟记对应的面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.将一粒小石子投到平静的水中，水波大约可传递5 m；一片落叶掉到水中，水波大约可传递1 m。哪一种物体产生的水波面积大？大多少？
答案
$S_1=π×5^2=25π$
$S_2=π×1^2=π$
$25π - π=24π=75.36(m^2)$
小石子产生的水波面积大，大75.36 $m^2$。
$S_2=π×1^2=π$
$25π - π=24π=75.36(m^2)$
小石子产生的水波面积大，大75.36 $m^2$。
解析
【分析】
水波向四周扩散形成的是圆形，题目中给出的水波可传递的距离就是对应圆形的半径。要比较两种物体产生的水波面积大小，第一步需分别用圆的面积公式计算两个圆形的面积，第二步比较两个面积的大小，第三步用较大的面积减去较小的面积，即可求出面积差。
【解析】
解：水波扩散形成的图形为圆形，可传递的距离就是圆的半径。
小石子产生的水波半径为5m，对应的面积：
$S_1=π×5^2=25π$（平方米）
落叶产生的水波半径为1m，对应的面积：
$S_2=π×1^2=π$（平方米）
因为$25π＞π$，所以小石子产生的水波面积更大。
面积差为：$25π - π=24π=24×3.14=75.36$（平方米）
【答案】
小石子产生的水波面积大，大75.36 $m^2$。
【知识点】
圆的面积计算；面积差计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，需要考生先将生活中的水波传递问题转化为圆的面积计算问题，重点考查知识的迁移应用能力，计算难度低，明确传递距离对应圆的半径即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
水波向四周扩散形成的是圆形，题目中给出的水波可传递的距离就是对应圆形的半径。要比较两种物体产生的水波面积大小，第一步需分别用圆的面积公式计算两个圆形的面积，第二步比较两个面积的大小，第三步用较大的面积减去较小的面积，即可求出面积差。
【解析】
解：水波扩散形成的图形为圆形，可传递的距离就是圆的半径。
小石子产生的水波半径为5m，对应的面积：
$S_1=π×5^2=25π$（平方米）
落叶产生的水波半径为1m，对应的面积：
$S_2=π×1^2=π$（平方米）
因为$25π＞π$，所以小石子产生的水波面积更大。
面积差为：$25π - π=24π=24×3.14=75.36$（平方米）
【答案】
小石子产生的水波面积大，大75.36 $m^2$。
【知识点】
圆的面积计算；面积差计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，需要考生先将生活中的水波传递问题转化为圆的面积计算问题，重点考查知识的迁移应用能力，计算难度低，明确传递距离对应圆的半径即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
7.从一张长30 cm、宽20 cm的长方形白纸上剪下一个最大的圆，剩下的白纸的面积是多少平方厘米？
答案
$S_圆=πr^2=3.14×10^2=314(cm^2)$
$S_剩=30×20 - 314=286(cm^2)$
$S_剩=30×20 - 314=286(cm^2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确长方形中剪下最大圆的特征：圆的直径不能超过长方形的长和宽，因此最大圆的直径等于长方形较短的边，也就是宽20cm。解题思路分为三步：第一步计算长方形的总面积，第二步计算剪下的最大圆的面积，第三步用长方形面积减去圆的面积，即可得到剩余白纸的面积。
【解析】
1. 确定最大圆的半径：长方形的宽为20cm，因此剪下的最大圆的直径是20cm，半径$r=20÷2=10cm$。
2. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S_圆=πr^2$，取$π=3.14$，可得$S_圆=3.14×10^2=314(cm^2)$。
3. 计算长方形的面积：$S_长=长×宽=30×20=600(cm^2)$。
4. 计算剩余面积：$S_剩=S_长 - S_圆=600 - 314=286(cm^2)$。
【答案】
剩下的白纸的面积是286平方厘米。
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题重点考查长方形内最大圆的特点，以及长方形、圆的面积公式的实际应用，解题关键是准确判断最大圆的直径等于长方形的宽，属于几何面积计算的基础题型。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需要明确长方形中剪下最大圆的特征：圆的直径不能超过长方形的长和宽，因此最大圆的直径等于长方形较短的边，也就是宽20cm。解题思路分为三步：第一步计算长方形的总面积，第二步计算剪下的最大圆的面积，第三步用长方形面积减去圆的面积，即可得到剩余白纸的面积。
【解析】
1. 确定最大圆的半径：长方形的宽为20cm，因此剪下的最大圆的直径是20cm，半径$r=20÷2=10cm$。
2. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S_圆=πr^2$，取$π=3.14$，可得$S_圆=3.14×10^2=314(cm^2)$。
3. 计算长方形的面积：$S_长=长×宽=30×20=600(cm^2)$。
4. 计算剩余面积：$S_剩=S_长 - S_圆=600 - 314=286(cm^2)$。
【答案】
剩下的白纸的面积是286平方厘米。
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题重点考查长方形内最大圆的特点，以及长方形、圆的面积公式的实际应用，解题关键是准确判断最大圆的直径等于长方形的宽，属于几何面积计算的基础题型。
【难度系数】
0.75
8. 提升题 如图所示，已知长方形的周长是64 cm，求阴影部分的面积。
答案
$d=64÷8=8(cm)$
$S_阴 = S_长 - 3S_圆$
$=24×8 - 3×3.14×(8÷2)^2$
$=41.28(cm^2)$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：3个完全相同的圆等距排列在长方形内，圆与长方形上下边相切、相邻圆两两相切，因此长方形的宽等于圆的直径d，长方形的长等于3个圆的直径之和，即长=3d。接下来结合已知的长方形周长，根据长方形周长公式：周长=(长+宽)×2，将长、宽用d代换后即可求出直径d的长度。最后阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路，用长方形面积减去3个空白圆的面积计算得到，分别求出对应面积作差即可。
【解析】
步骤1：求圆的直径d
由图形可知，长方形的宽为d，长为3d，根据长方形周长公式：
$C=(长+宽)×2=(3d+d)×2=8d$
已知周长为64cm，因此：
$d=64÷8=8(cm)$
步骤2：计算长方形面积
长方形的长：$3×8=24(cm)$，宽为8cm
$S_长=24×8=192(cm²)$
步骤3：计算3个圆的总面积
圆的半径$r=8÷2=4(cm)$，单个圆面积$S_圆=3.14×r²$
$3S_圆=3×3.14×4²=3×3.14×16=150.72(cm²)$
步骤4：计算阴影面积
$S_阴 = S_长 - 3S_圆=192-150.72=41.28(cm²)$
【答案】
$d=64÷8=8(cm)$
$S_阴 = S_长 - 3S_圆$
$=24×8 - 3×3.14×(8÷2)^2$
$=41.28(cm^2)$
【知识点】
长方形周长与面积计算、圆的面积计算、组合图形面积求解
【点评】
本题的核心是推导长方形长宽与圆直径的数量关系，结合周长公式求出关键未知量后，用“整体减空白”的思路计算阴影面积，是平面图形特征与面积计算的典型综合应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：3个完全相同的圆等距排列在长方形内，圆与长方形上下边相切、相邻圆两两相切，因此长方形的宽等于圆的直径d，长方形的长等于3个圆的直径之和，即长=3d。接下来结合已知的长方形周长，根据长方形周长公式：周长=(长+宽)×2，将长、宽用d代换后即可求出直径d的长度。最后阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路，用长方形面积减去3个空白圆的面积计算得到，分别求出对应面积作差即可。
【解析】
步骤1：求圆的直径d
由图形可知，长方形的宽为d，长为3d，根据长方形周长公式：
$C=(长+宽)×2=(3d+d)×2=8d$
已知周长为64cm，因此：
$d=64÷8=8(cm)$
步骤2：计算长方形面积
长方形的长：$3×8=24(cm)$，宽为8cm
$S_长=24×8=192(cm²)$
步骤3：计算3个圆的总面积
圆的半径$r=8÷2=4(cm)$，单个圆面积$S_圆=3.14×r²$
$3S_圆=3×3.14×4²=3×3.14×16=150.72(cm²)$
步骤4：计算阴影面积
$S_阴 = S_长 - 3S_圆=192-150.72=41.28(cm²)$
【答案】
$d=64÷8=8(cm)$
$S_阴 = S_长 - 3S_圆$
$=24×8 - 3×3.14×(8÷2)^2$
$=41.28(cm^2)$
【知识点】
长方形周长与面积计算、圆的面积计算、组合图形面积求解
【点评】
本题的核心是推导长方形长宽与圆直径的数量关系，结合周长公式求出关键未知量后，用“整体减空白”的思路计算阴影面积，是平面图形特征与面积计算的典型综合应用。
【难度系数】
0.6
