1.已知二次函数$y=a(x-m)^2 +n$，当$x=1$时，$y$有最小值$-4$，且当$x=-1$时，$y=0$，其图象与$x$轴交于点$A,B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，连接$BC$.
(1)求二次函数的解析式；
(2)动点$M$在该函数图象的对称轴上，当$△ MAC$周长最小时，求点$M$的坐标.

(1)$y=(x-1)^2-4$
(2)$(1,-2)$

【分析】
(1) 题目给出的二次函数为顶点式，已知x=1时y有最小值-4，说明函数顶点坐标为(1,-4)，可直接确定m、n的值，再将x=-1、y=0代入解析式求出参数a，即可得到完整的二次函数解析式。
(2) △MAC的周长由MA、MC、AC三条线段组成，其中AC是固定长度的线段，因此要使周长最小，只需让MA+MC的值最小。由于点A和点B关于二次函数的对称轴对称，因此MA=MB，可将MA+MC转化为MB+MC，根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时MB+MC最小，求出直线BC的解析式后，将对称轴x=1代入即可得到点M的坐标。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=a(x-m)^2 +n$在$x=1$时取得最小值$y=-4$
∴ 函数顶点坐标为$(1,-4)$，即$m=1$，$n=-4$，解析式可写为$y=a(x-1)^2 -4$
将$x=-1$，$y=0$代入上式得：
$0=a(-1-1)^2 -4$，即$4a=4$，解得$a=1$
∴ 二次函数的解析式为$y=(x-1)^2 -4$
(2) 先求各交点坐标：
令$y=0$，则$(x-1)^2 -4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$
∵ 点A在点B左侧，
∴ $A(-1,0)$，$B(3,0)$
令$x=0$，则$y=(0-1)^2 -4=-3$，
∴ $C(0,-3)$
△MAC的周长$=MA+MC+AC$，AC为定长，因此周长最小等价于$MA+MC$最小
∵ 函数对称轴为$x=1$，点A、B关于对称轴对称，
∴ $MA=MB$，即$MA+MC=MB+MC$
当B、M、C三点共线时，$MB+MC$取得最小值，此时M为直线BC与对称轴$x=1$的交点
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases} 3k + b = 0 \\ b = -3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=-3 \end{cases}$
∴ 直线BC的解析式为$y=x-3$
将$x=1$代入得$y=1-3=-2$，即点M坐标为$(1,-2)$
【答案】
(1)$y=(x-1)^2-4$
(2)$(1,-2)$
【知识点】
二次函数顶点式，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数动点问题的基础题型，第一问侧重考查二次函数顶点式的基本性质，难度较低；第二问将几何最值问题与函数结合，核心是利用轴对称性质转化动态线段，体现了转化思想在最值问题中的应用，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.65

2. [2026广东期中]已知:如图,抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.
(1)求AB的长度;
(2)点P为直线BC下方抛物线上一点,当四边形ACPB面积最大时,求点P的坐标.

(1)4
(2)$P(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4})$

【分析】
(1) 求AB长度首先需要得到抛物线与x轴交点A、B的坐标，令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程即可得到两点横坐标，横坐标差的绝对值就是AB的长度。
(2) 四边形ACPB可拆分为固定面积的△ABC和面积随P点变化的△BCP，因此要让四边形面积最大，只需让△BCP的面积最大即可。先求出直线BC的解析式，设出P点坐标，过P作x轴垂线交BC于Q，用P、Q的纵坐标差表示出△BCP的铅垂高，再结合水平宽写出△BCP的面积表达式，根据二次函数的最值性质即可求出P点坐标。
【解析】
(1) 令抛物线$y=x^2-2x-3$中$y=0$，得方程：
$x^2-2x-3=0$
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴$AB=3-(-1)=4$
(2) 令抛物线中$x=0$，得$y=-3$，
∴$C(0,-3)$
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，代入$B(3,0)$、$C(0,-3)$得：
$\begin{cases}b=-3\\3k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$，
∴直线BC解析式为$y=x-3$
设点P的横坐标为$m$（$0＜m＜3$），则$P(m, m^2-2m-3)$
过P作$PQ⊥ x$轴，交直线BC于点Q，则$Q(m, m-3)$
∵P在直线BC下方，
∴$PQ=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m$
$△ BCP$的面积$S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× PQ× |x_B - x_C|=\frac{1}{2}× (-m^2+3m)×3=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m$
∵$△ ABC$的面积为固定值：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×4×3=6$
∴四边形ACPB的面积$S=6 + (-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m)$，要让S最大，只需$S_{△ BCP}$最大
对于二次函数$S_{△ BCP}=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m$，$a=-\frac{3}{2}＜0$，开口向下，当$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{9}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BCP}$取最大值
将$m=\frac{3}{2}$代入P点坐标，得$y=(\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{3}{2} -3=\frac{9}{4}-3-3=-\frac{15}{4}$
∴P点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{15}{4})$
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{P(\dfrac{3}{2},-\dfrac{15}{4})}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，二次函数最值，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数动点面积问题的经典题型，第一问基础，考查二次函数与坐标轴交点的求解方法；第二问核心是将不规则四边形面积转化为固定面积加可变三角形面积，利用铅垂高法表示三角形面积，结合二次函数的性质求最值，熟练掌握该方法可以快速解决同类面积最值问题。
【难度系数】
0.6