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1.下列各式中，y是x的二次函数的是 （
A.$y=2x-3$
B.$y=x^2 -5x +13$
C.$y=ax^2 +bx +c$
D.$y=x^2 - \frac{1}{x} +2$
B
）A.$y=2x-3$
B.$y=x^2 -5x +13$
C.$y=ax^2 +bx +c$
D.$y=x^2 - \frac{1}{x} +2$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断y是否是x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：一是函数表达式为整式，二是自变量x的最高次数为2，三是二次项的系数不为0。我们只需要对照这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做$x$的二次函数，需满足三个核心条件：①表达式为整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=2x-3$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：$y=x^2 -5x +13$的表达式是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$1\ne0$，完全符合二次函数的定义，符合要求；
C选项：$y=ax^2 +bx +c$未限定$a\ne0$，若$a=0$时函数最高次数不为2，不属于二次函数，排除；
D选项：$y=x^2 - \frac{1}{x} +2$中含有$\frac{1}{x}$（即$x^{-1}$），不是整式，不符合二次函数要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数定义的理解和辨析，解题的关键是牢记二次函数判定的三个核心要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0的条件，以及表达式必须为整式的要求，避免因粗心错选C或D。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：一是函数表达式为整式，二是自变量x的最高次数为2，三是二次项的系数不为0。我们只需要对照这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做$x$的二次函数，需满足三个核心条件：①表达式为整式；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=2x-3$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B选项：$y=x^2 -5x +13$的表达式是整式，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$1\ne0$，完全符合二次函数的定义，符合要求；
C选项：$y=ax^2 +bx +c$未限定$a\ne0$，若$a=0$时函数最高次数不为2，不属于二次函数，排除；
D选项：$y=x^2 - \frac{1}{x} +2$中含有$\frac{1}{x}$（即$x^{-1}$），不是整式，不符合二次函数要求，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数定义的理解和辨析，解题的关键是牢记二次函数判定的三个核心要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0的条件，以及表达式必须为整式的要求，避免因粗心错选C或D。
【难度系数】
0.8
2.已知函数$y=(m-1)x^{m^2+1}$是二次函数，则$m=$
-1
.答案
2.-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的两个核心要求：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数将退化为常数函数，不再是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列两个限制条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
移项计算得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解运用，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论，解题时要先列全所有限制条件再求解，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二次函数的两个核心要求：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数将退化为常数函数，不再是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列两个限制条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
移项计算得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综合两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
3. 不等式的求解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解运用，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论，解题时要先列全所有限制条件再求解，避免漏判。
【难度系数】
0.7
3.已知二次函数$y=-x^2 -2x +3$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向上
B.图象的对称轴为直线$x=1$
C.函数有最小值4
D.当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
D
）A.图象的开口向上
B.图象的对称轴为直线$x=1$
C.函数有最小值4
D.当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时先明确二次函数各项系数，再依次根据开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则逐一验证选项即可。第一步先通过二次项系数a的正负判断开口方向；第二步用对称轴公式求出对称轴；第三步结合开口方向判断函数最值类型并计算最值；第四步根据开口方向和对称轴判断增减性，最终选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 -2x +3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下，故A选项错误；
2. 根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中一次项系数$b=-2$，代入得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$，故B选项错误；
3. 因为图象开口向下，所以函数有最大值，将$x=-1$代入函数得$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即函数最大值为4，不存在最小值，故C选项错误；
4. 图象开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值及增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题时先明确二次函数各项系数，再依次根据开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则逐一验证选项即可。第一步先通过二次项系数a的正负判断开口方向；第二步用对称轴公式求出对称轴；第三步结合开口方向判断函数最值类型并计算最值；第四步根据开口方向和对称轴判断增减性，最终选出正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2 -2x +3$：
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下，故A选项错误；
2. 根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中一次项系数$b=-2$，代入得$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$，故B选项错误；
3. 因为图象开口向下，所以函数有最大值，将$x=-1$代入函数得$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即函数最大值为4，不存在最小值，故C选项错误；
4. 图象开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值及增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. [2026滁州期中]将抛物线$y=-3x^2$先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为
$y=-3(x-4)^2-5$
.答案
4.$y=-3(x-4)^2-5$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记二次函数的平移规律：平移不改变抛物线的形状和开口方向，即二次项系数不变，平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”的原则。首先处理向右平移4个单位的操作：向右平移时，相同函数值对应的新自变量比原自变量大4，因此需将原解析式中的x替换为x-4；再处理向下平移5个单位的操作：向下平移时，相同自变量对应的新函数值比原函数值小5，因此需在第一次平移后的解析式基础上整体减去5，最终得到目标解析式。
【解析】
解：已知原抛物线对应的函数解析式为$y=-3x^2$。
1. 将抛物线向右平移4个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，将自变量$x$替换为$x-4$，可得第一次平移后的解析式为：$y=-3(x-4)^2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，在解析式整体后减去5，可得最终解析式为：$y=-3(x-4)^2 -5$。
【答案】
$y=-3(x-4)^2-5$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考察对平移规则的掌握程度，易错点是混淆左右平移对应的加减符号，需注意“左加右减”仅针对自变量x进行操作，若x前有系数要先提取系数再做加减。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记二次函数的平移规律：平移不改变抛物线的形状和开口方向，即二次项系数不变，平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”的原则。首先处理向右平移4个单位的操作：向右平移时，相同函数值对应的新自变量比原自变量大4，因此需将原解析式中的x替换为x-4；再处理向下平移5个单位的操作：向下平移时，相同自变量对应的新函数值比原函数值小5，因此需在第一次平移后的解析式基础上整体减去5，最终得到目标解析式。
【解析】
解：已知原抛物线对应的函数解析式为$y=-3x^2$。
1. 将抛物线向右平移4个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，将自变量$x$替换为$x-4$，可得第一次平移后的解析式为：$y=-3(x-4)^2$；
2. 再将得到的抛物线向下平移5个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，在解析式整体后减去5，可得最终解析式为：$y=-3(x-4)^2 -5$。
【答案】
$y=-3(x-4)^2-5$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考察对平移规则的掌握程度，易错点是混淆左右平移对应的加减符号，需注意“左加右减”仅针对自变量x进行操作，若x前有系数要先提取系数再做加减。
【难度系数】
0.8
5.若$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=(x+2)^2+c$的图象上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
。答案
5.$y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
拿到本题后，首先观察已知的二次函数解析式为顶点式，解题思路可从两个方向入手：一是直接将三点横坐标代入解析式，求出对应的y值表达式后比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线上的点，横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大，计算三点横坐标到对称轴的距离后即可比较y值大小，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将A、B、C三点的横坐标分别代入二次函数$y=(x+2)^2+c$：
当$x=-4$时，$y_1=(-4+2)^2 + c = 4 + c$；
当$x=-3$时，$y_2=(-3+2)^2 + c = 1 + c$；
当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2 + c = 9 + c$；
因为$1+c ＜ 4+c ＜ 9+c$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=(x+2)^2+c$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
A点到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$；
B点到对称轴的距离：$|-3 - (-2)|=1$；
C点到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$；
因为$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以利用抛物线的增减性、对称性快速判断，熟练掌握二次函数的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
拿到本题后，首先观察已知的二次函数解析式为顶点式，解题思路可从两个方向入手：一是直接将三点横坐标代入解析式，求出对应的y值表达式后比较大小；二是利用二次函数的性质判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线上的点，横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大，计算三点横坐标到对称轴的距离后即可比较y值大小，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将A、B、C三点的横坐标分别代入二次函数$y=(x+2)^2+c$：
当$x=-4$时，$y_1=(-4+2)^2 + c = 4 + c$；
当$x=-3$时，$y_2=(-3+2)^2 + c = 1 + c$；
当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2 + c = 9 + c$；
因为$1+c ＜ 4+c ＜ 9+c$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=(x+2)^2+c$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
开口向上的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
A点到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$；
B点到对称轴的距离：$|-3 - (-2)|=1$；
C点到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$；
因为$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以利用抛物线的增减性、对称性快速判断，熟练掌握二次函数的基本特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
50 数学 九年级 上册 人教版
6.如图,在平面直角坐标系中,A,B是x轴上方抛物线$y=-x^2 + c$上的两个点,C,D是x轴上的两个点.若四边形ABCD是边长为4的正方形,则c的值为
6.如图,在平面直角坐标系中,A,B是x轴上方抛物线$y=-x^2 + c$上的两个点,C,D是x轴上的两个点.若四边形ABCD是边长为4的正方形,则c的值为
8
.答案
6.8
解析
【分析】
首先，抛物线$y=-x^2+c$的对称轴为y轴，因此正方形ABCD关于y轴对称。已知正方形边长为4，可先推导点A的坐标：水平方向上AB长为4，因此点A的横坐标为$4÷2=2$；竖直方向上AD长为4，且D在x轴上，因此点A的纵坐标为4。最后将点A坐标代入抛物线解析式即可求出c的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=-x^2+c$的对称轴为y轴，四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴ 正方形ABCD关于y轴对称，$AB=AD=4$，
∴ 点A的横坐标为$4÷2=2$，纵坐标为4，即$A(2,4)$。
将$A(2,4)$代入$y=-x^2+c$，得：
$4 = -2^2 + c$
解得：$c=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象性质，正方形的性质，待定系数法
【点评】
本题是二次函数与几何图形的基础综合题，解题核心是利用二次函数的对称性确定抛物线上点的坐标，再代入解析式求解参数，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先，抛物线$y=-x^2+c$的对称轴为y轴，因此正方形ABCD关于y轴对称。已知正方形边长为4，可先推导点A的坐标：水平方向上AB长为4，因此点A的横坐标为$4÷2=2$；竖直方向上AD长为4，且D在x轴上，因此点A的纵坐标为4。最后将点A坐标代入抛物线解析式即可求出c的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=-x^2+c$的对称轴为y轴，四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴ 正方形ABCD关于y轴对称，$AB=AD=4$，
∴ 点A的横坐标为$4÷2=2$，纵坐标为4，即$A(2,4)$。
将$A(2,4)$代入$y=-x^2+c$，得：
$4 = -2^2 + c$
解得：$c=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象性质，正方形的性质，待定系数法
【点评】
本题是二次函数与几何图形的基础综合题，解题核心是利用二次函数的对称性确定抛物线上点的坐标，再代入解析式求解参数，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. [2026 盐城二模]已知关于x的二次函数$y=2x^2 - 4x + 5$，当$-2 ＜ x ＜ 2$时，函数y的取值范围为
$3≤ y＜21$
。答案
7.$3≤ y＜21$
解析
【分析】
要确定二次函数在指定开区间内的取值范围，可按以下思路思考：第一步先判断二次函数的开口方向，明确函数有最大值还是最小值；第二步求出二次函数的对称轴，判断对称轴是否落在给定区间内，若在区间内，对称轴处的函数值就是其中一个最值；第三步分别计算区间两个端点对应的函数值，结合开口方向比较函数值大小，再结合开区间端点取不到的特点，最终确定y的取值范围。
【解析】
先将二次函数配方：
$y=2x^2-4x+5=2(x^2-2x)+5=2(x^2-2x+1-1)+5=2(x-1)^2+3$
∵ 二次项系数$a=2＞0$，
∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
∵ 对称轴$x=1$在$-2＜x＜2$的区间内，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$3$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2-1)^2+3=21$；
当$x=2$时，$y=2×(2-1)^2+3=5$。
∵ 开口向上时，自变量离对称轴越远，函数值越大，且给定区间为开区间$-2＜x＜2$，$x=-2$无法取到，
∴ $y＜21$。
综上可得函数y的取值范围。
【答案】
$3≤ y＜21$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数区间取值范围的常规题型，解题核心是结合对称轴和开口方向判断函数增减性，需要注意开区间的端点值无法取到，要准确判断不等号是否带等号。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数在指定开区间内的取值范围，可按以下思路思考：第一步先判断二次函数的开口方向，明确函数有最大值还是最小值；第二步求出二次函数的对称轴，判断对称轴是否落在给定区间内，若在区间内，对称轴处的函数值就是其中一个最值；第三步分别计算区间两个端点对应的函数值，结合开口方向比较函数值大小，再结合开区间端点取不到的特点，最终确定y的取值范围。
【解析】
先将二次函数配方：
$y=2x^2-4x+5=2(x^2-2x)+5=2(x^2-2x+1-1)+5=2(x-1)^2+3$
∵ 二次项系数$a=2＞0$，
∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
∵ 对称轴$x=1$在$-2＜x＜2$的区间内，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$3$。
再计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2-1)^2+3=21$；
当$x=2$时，$y=2×(2-1)^2+3=5$。
∵ 开口向上时，自变量离对称轴越远，函数值越大，且给定区间为开区间$-2＜x＜2$，$x=-2$无法取到，
∴ $y＜21$。
综上可得函数y的取值范围。
【答案】
$3≤ y＜21$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数最值计算
【点评】
本题属于二次函数区间取值范围的常规题型，解题核心是结合对称轴和开口方向判断函数增减性，需要注意开区间的端点值无法取到，要准确判断不等号是否带等号。
【难度系数】
0.7
8.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，有下列结论：
①$b^2-4ac＞0$；
②方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$；
③$3a+c＞0$；
④当$y＜0$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
其中正确的结论为
①$b^2-4ac＞0$；
②方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$；
③$3a+c＞0$；
④当$y＜0$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
其中正确的结论为
①②
.(填序号)答案
8.①②
解析
【分析】
解题时结合二次函数的图像性质与已知条件逐个判断结论：首先根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；再利用二次函数图像的对称性，结合已知交点求出另一个与x轴的交点，得到对应方程的根；接着结合对称轴公式和x=-1时y=0的条件，推导3a+c的取值；最后结合开口方向，确定y＜0时x的取值范围。
【解析】
1. 判断结论①：由图像可知抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(-1,0)$，根据抛物线的对称性，另一个交点的横坐标为$1+[1-(-1)]=3$，即另一个交点为$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$，故②正确。
3. 判断结论③：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$；又$x=-1$时$y=0$，即$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故③错误。
4. 判断结论④：由图像可知抛物线开口向下，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$y＜0$时，x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，故④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，抛物线的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的图像特征设置考点，解题核心是熟练运用二次函数的对称性、判别式的意义等性质，结合图像分析参数关系和自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时结合二次函数的图像性质与已知条件逐个判断结论：首先根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；再利用二次函数图像的对称性，结合已知交点求出另一个与x轴的交点，得到对应方程的根；接着结合对称轴公式和x=-1时y=0的条件，推导3a+c的取值；最后结合开口方向，确定y＜0时x的取值范围。
【解析】
1. 判断结论①：由图像可知抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：已知抛物线对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(-1,0)$，根据抛物线的对称性，另一个交点的横坐标为$1+[1-(-1)]=3$，即另一个交点为$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1=-1,x_2=3$，故②正确。
3. 判断结论③：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$；又$x=-1$时$y=0$，即$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故③错误。
4. 判断结论④：由图像可知抛物线开口向下，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$y＜0$时，x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，故④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，抛物线的对称性
【点评】
本题围绕二次函数的图像特征设置考点，解题核心是熟练运用二次函数的对称性、判别式的意义等性质，结合图像分析参数关系和自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
9. 跨学科·物理 如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧.已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度$v$(单位:cm/s)与弹簧被压缩的长度$x$(单位:cm)之间的函数关系式为$v=-\dfrac{1}{4}x^2 + x + 3$，则这个过程中，小球速度的最大值为（
A.3.5 cm/s
B.4 cm/s
C.4.5 cm/s
D.5 cm/s
B
）A.3.5 cm/s
B.4 cm/s
C.4.5 cm/s
D.5 cm/s
答案
9.B
解析
【分析】
题目给出小球速度$v$与弹簧压缩长度$x$的函数关系是二次函数，求速度的最大值本质是求开口向下的二次函数的最大值。二次函数中当二次项系数小于0时，图象开口向下，顶点处的函数值就是函数的最大值，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到最大速度。
【解析】
已知函数关系式为$v=-\dfrac{1}{4}x^2 + x + 3$，这是二次函数，其中$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法对函数变形：
$\begin{aligned}v&=-\dfrac{1}{4}x^2 + x + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2 - 4x) + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2 -4x +4 -4) +3\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2 + 1 + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2 +4\end{aligned}$
当$x=2$时，$v$取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的性质
【点评】
本题结合物理运动情境考查二次函数的实际应用，解题核心是将求最大速度的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质和最值计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
题目给出小球速度$v$与弹簧压缩长度$x$的函数关系是二次函数，求速度的最大值本质是求开口向下的二次函数的最大值。二次函数中当二次项系数小于0时，图象开口向下，顶点处的函数值就是函数的最大值，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到最大速度。
【解析】
已知函数关系式为$v=-\dfrac{1}{4}x^2 + x + 3$，这是二次函数，其中$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此函数图象开口向下，存在最大值。
用配方法对函数变形：
$\begin{aligned}v&=-\dfrac{1}{4}x^2 + x + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2 - 4x) + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2 -4x +4 -4) +3\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2 + 1 + 3\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2 +4\end{aligned}$
当$x=2$时，$v$取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的性质
【点评】
本题结合物理运动情境考查二次函数的实际应用，解题核心是将求最大速度的实际问题转化为求二次函数最大值的数学问题，熟练掌握二次函数的性质和最值计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
