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10. 新情境 小明借助工具设计的抛物线形帐篷如图所示. 在抛物线上取 A,B,C,D 四点,且线段 AB,CD 都与地面平行,抛物线最高点 P 到 AB 的距离为 0.6 m,AB=2 m,CD=4 m,则点 B 到 CD 的距离为
1.8
m.答案
10.1.8
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用抛物线的轴对称性，合理建立平面直角坐标系，将抛物线顶点设为原点，对称轴设为y轴，简化二次函数解析式的形式；再将AB对应的已知点坐标代入解析式，求出二次函数的系数；接着根据CD的长度求出CD所在位置的纵坐标；最后计算两点纵坐标的差的绝对值，即可得到点B到CD的距离。
【解析】
解：以抛物线的最高点P为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，此时抛物线开口向下，可设解析式为$ y=ax^2 (a＜0) $。
已知P到AB的距离为0.6m，$AB=2\ \mathrm{m}$，因此点B的坐标为$(1, -0.6)$，将其代入解析式得：
$-0.6 = a× 1^2$，解得$a=-0.6$，即抛物线解析式为$ y=-0.6x^2 $。
已知$CD=4\ \mathrm{m}$，因此点D的横坐标为2，将$x=2$代入解析式得：
$y=-0.6× 2^2=-2.4$，即CD所在直线的纵坐标为$-2.4$。
由于AB、CD均平行于水平地面，点B到CD的距离为两点纵坐标差的绝对值：
$|-0.6 - (-2.4)|=1.8\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1.8
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的帐篷设计情境，考查二次函数的实际应用，解题核心是根据抛物线的对称性合理建立平面直角坐标系简化运算，再结合抛物线上点的坐标特征求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用抛物线的轴对称性，合理建立平面直角坐标系，将抛物线顶点设为原点，对称轴设为y轴，简化二次函数解析式的形式；再将AB对应的已知点坐标代入解析式，求出二次函数的系数；接着根据CD的长度求出CD所在位置的纵坐标；最后计算两点纵坐标的差的绝对值，即可得到点B到CD的距离。
【解析】
解：以抛物线的最高点P为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，此时抛物线开口向下，可设解析式为$ y=ax^2 (a＜0) $。
已知P到AB的距离为0.6m，$AB=2\ \mathrm{m}$，因此点B的坐标为$(1, -0.6)$，将其代入解析式得：
$-0.6 = a× 1^2$，解得$a=-0.6$，即抛物线解析式为$ y=-0.6x^2 $。
已知$CD=4\ \mathrm{m}$，因此点D的横坐标为2，将$x=2$代入解析式得：
$y=-0.6× 2^2=-2.4$，即CD所在直线的纵坐标为$-2.4$。
由于AB、CD均平行于水平地面，点B到CD的距离为两点纵坐标差的绝对值：
$|-0.6 - (-2.4)|=1.8\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1.8
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的帐篷设计情境，考查二次函数的实际应用，解题核心是根据抛物线的对称性合理建立平面直角坐标系简化运算，再结合抛物线上点的坐标特征求解，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.6
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=24\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,当点$Q$到达点$C$时,两点都停止运动.如果$P,Q$两点分别从$A,B$两点同时出发,运动时间为$t\ \mathrm{s}$,$△ PBQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$S$随$t$变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(2)当$t$为何值时,面积$S$最大?最大面积是多少?
(1)求$S$随$t$变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(2)当$t$为何值时,面积$S$最大?最大面积是多少?
答案
11.解：(1)$S=-4t^2+24t(0＜t＜6)$.
(2)当$t=3$时,面积$S$最大,最大面积是$36\ \mathrm{cm}^2$.
(2)当$t=3$时,面积$S$最大,最大面积是$36\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题思路可分两步梳理：
(1) 求S与t的函数关系式：首先明确△PBQ是直角三角形，面积为两条直角边乘积的一半。先根据P、Q的运动速度和时间t，分别表示出两条直角边PB、BQ的长度，代入面积公式化简，再结合两点的运动停止条件确定t的取值范围即可。
(2) 求S的最大值：得到的S是关于t的二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处对应S的最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应t的值，再代入函数式算出最大面积即可。
【解析】
解：(1) 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$，$\therefore PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$，
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore △ PBQ$的面积$S=\frac{1}{2}· PB· BQ$，
代入边长得：$S=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$，
$\because$点Q到达C时两点停止运动，Q运动到C的时间为$24÷4=6\ \mathrm{s}$，且运动时间大于0，
$\therefore$自变量t的取值范围是$0＜t＜6$。
(2) 对于二次函数$S=-4t^2+24t$，其中$a=-4＜0$，$b=24$，
$\therefore$抛物线开口向下，函数有最大值，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$时，S取得最大值，
将$t=3$代入函数式得：$S=-4×3^2+24×3=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$S=-4t^2+24t(0＜t＜6)$；
(2)当$t=3$时，面积$S$最大，最大面积是$36\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；动点面积计算
【点评】
本题将动点问题与二次函数相结合，解题的关键是结合几何图形的面积公式列出正确的函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围要符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题思路可分两步梳理：
(1) 求S与t的函数关系式：首先明确△PBQ是直角三角形，面积为两条直角边乘积的一半。先根据P、Q的运动速度和时间t，分别表示出两条直角边PB、BQ的长度，代入面积公式化简，再结合两点的运动停止条件确定t的取值范围即可。
(2) 求S的最大值：得到的S是关于t的二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处对应S的最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应t的值，再代入函数式算出最大面积即可。
【解析】
解：(1) 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=12\ \mathrm{cm}$，$\therefore PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$，
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore △ PBQ$的面积$S=\frac{1}{2}· PB· BQ$，
代入边长得：$S=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$，
$\because$点Q到达C时两点停止运动，Q运动到C的时间为$24÷4=6\ \mathrm{s}$，且运动时间大于0，
$\therefore$自变量t的取值范围是$0＜t＜6$。
(2) 对于二次函数$S=-4t^2+24t$，其中$a=-4＜0$，$b=24$，
$\therefore$抛物线开口向下，函数有最大值，
当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$时，S取得最大值，
将$t=3$代入函数式得：$S=-4×3^2+24×3=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$S=-4t^2+24t(0＜t＜6)$；
(2)当$t=3$时，面积$S$最大，最大面积是$36\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值；动点面积计算
【点评】
本题将动点问题与二次函数相结合，解题的关键是结合几何图形的面积公式列出正确的函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围要符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
12. 新情境 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形.如图，以射水鱼所在的位置(看作一点)为原点O，过射水鱼且与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设水柱距射水鱼的高度为y dm，与射水鱼的水平距离为x dm，y与x的函数解析式为$y=a(x-2)^2+h$，水柱的最大高度为6 dm.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)一只昆虫位于点$A(3,\dfrac{16}{3})$处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)一只昆虫位于点$A(3,\dfrac{16}{3})$处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动
$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
dm才能击中昆虫.答案
12.解：(1)$y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6(0≤ x≤ 4)$.
(2)$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
(2)$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
解析
【分析】
(1) 题目给出的函数是二次函数顶点式，已知水柱最大高度为6dm，即抛物线顶点的纵坐标为6，可得h=6；再结合抛物线过原点O(0,0)，将原点坐标代入解析式即可求出a的值，得到函数解析式。令y=0求出抛物线与x轴正半轴的交点，即可确定x的取值范围。
(2) 设射水鱼向右游动m dm，此时射水鱼位置为(m,0)，新水柱的抛物线形状、顶点高度不变，顶点水平位置为(m+2,6)，据此写出平移后的抛物线解析式，再将点A的坐标代入解析式，求解正数m即可。
【解析】
(1)
∵水柱的最大高度为6dm，抛物线$y=a(x-2)^2+h$的顶点纵坐标为最大高度，
∴$h=6$，函数解析式可写为$y=a(x-2)^2+6$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=a(0-2)^2+6$，
解得$a=-\dfrac{3}{2}$，
∴y关于x的函数解析式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6$。
令$y=0$，则$-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$，
结合实际意义，x的取值范围为$0≤ x≤4$。
(2) 设射水鱼水平向右游动$m$dm，此时新的水柱抛物线顶点为$(m+2,6)$，解析式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-m-2)^2+6$。
将$A(3,\dfrac{16}{3})$代入解析式得：
$\dfrac{16}{3}=-\dfrac{3}{2}(3-m-2)^2+6$，
整理得$(m-1)^2=\dfrac{4}{9}$，
解得$m_1=\dfrac{1}{3}$，$m_2=\dfrac{5}{3}$，均符合题意。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6(0≤ x≤ 4)$
(2) $\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数顶点式，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数的应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的性质，结合已知条件确定函数解析式，再根据点与函数的关系求解未知量，能较好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 题目给出的函数是二次函数顶点式，已知水柱最大高度为6dm，即抛物线顶点的纵坐标为6，可得h=6；再结合抛物线过原点O(0,0)，将原点坐标代入解析式即可求出a的值，得到函数解析式。令y=0求出抛物线与x轴正半轴的交点，即可确定x的取值范围。
(2) 设射水鱼向右游动m dm，此时射水鱼位置为(m,0)，新水柱的抛物线形状、顶点高度不变，顶点水平位置为(m+2,6)，据此写出平移后的抛物线解析式，再将点A的坐标代入解析式，求解正数m即可。
【解析】
(1)
∵水柱的最大高度为6dm，抛物线$y=a(x-2)^2+h$的顶点纵坐标为最大高度，
∴$h=6$，函数解析式可写为$y=a(x-2)^2+6$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=a(0-2)^2+6$，
解得$a=-\dfrac{3}{2}$，
∴y关于x的函数解析式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6$。
令$y=0$，则$-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=4$，
结合实际意义，x的取值范围为$0≤ x≤4$。
(2) 设射水鱼水平向右游动$m$dm，此时新的水柱抛物线顶点为$(m+2,6)$，解析式为$y=-\dfrac{3}{2}(x-m-2)^2+6$。
将$A(3,\dfrac{16}{3})$代入解析式得：
$\dfrac{16}{3}=-\dfrac{3}{2}(3-m-2)^2+6$，
整理得$(m-1)^2=\dfrac{4}{9}$，
解得$m_1=\dfrac{1}{3}$，$m_2=\dfrac{5}{3}$，均符合题意。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2+6(0≤ x≤ 4)$
(2) $\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数顶点式，二次函数的平移
【点评】
本题结合生活情境考查二次函数的应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的性质，结合已知条件确定函数解析式，再根据点与函数的关系求解未知量，能较好地考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
