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13. [2026合肥期末]安徽是中国重要的茶叶产区.某茶叶公司销售某种茶叶,每千克成本为60元,规定每千克售价需超过成本,但不高于100元,经调查发现,其日销量y(单位:kg)与售价x(单位:元/kg)之间的函数关系如图所示,设该茶叶的日销售利润为w元.
(1)请直接写出y与x,w与x之间的函数解析式.
(2)若该茶叶的日销量不低于80 kg,当单价定为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元?
(1)请直接写出y与x,w与x之间的函数解析式.
(2)若该茶叶的日销量不低于80 kg,当单价定为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元?
答案
13.解：(1)$y=-2x+240(60＜x≤100)$,
$w=-2x^2+360x-14\ 400(60＜x≤100)$.
(2)当单价定为80元时,每天获得的利润最大,为1 600元
$w=-2x^2+360x-14\ 400(60＜x≤100)$.
(2)当单价定为80元时,每天获得的利润最大,为1 600元
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数解析式：由图象可知y是x的一次函数，已知两点坐标(60,120)、(80,80)，先设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数k、b，再结合题干“售价超过成本、不高于100元”的限制确定x的取值范围；求w与x的函数解析式：根据“日销售利润=每千克利润×日销量”的等量关系，每千克利润为(x-60)元，代入y的表达式化简即可，x的取值范围与y的一致。
(2) 先根据“日销量不低于80kg”即y≥80列不等式，求解得到x的取值范围，再结合二次函数w的开口方向、对称轴判断该范围内w的增减性，进而找到最大利润对应的售价和最大利润值。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(60,120)$、$(80,80)$代入解析式得：
$\begin{cases}60k+b=120 \\80k+b=80 \end{cases}$
两式相减得$20k=-40$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$60k+b=120$，得$-120+b=120$，解得$b=240$，
结合售价限制$60＜x≤100$，得$y=-2x+240(60＜x≤100)$。
根据日销售利润的计算公式：$w=(x-60)y$，代入y的表达式得：
$w=(x-60)(-2x+240)=-2x^2+360x-14400$，
即$w=-2x^2+360x-14400(60＜x≤100)$。
(2) 由题意得$y≥80$，代入y的解析式：
$-2x+240≥80$，解得$x≤80$，
结合售价范围得x的取值为$60＜x≤80$。
二次函数$w=-2x^2+360x-14400$中$a=-2＜0$，开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{360}{2×(-2)}=90$，
因此当$x≤90$时，w随x的增大而增大，
在$60＜x≤80$范围内，x取最大值80时w取得最大值，
代入$x=80$得：$w=(80-60)×(-2×80+240)=20×80=1600$（元）。
【答案】
(1)$y=-2x+240(60＜x≤100)$，$w=-2x^2+360x-14400(60＜x≤100)$；
(2)当单价定为80元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题核心是先根据图象求出一次函数解析式，再结合利润公式推导二次函数，最后根据二次函数的增减性求最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数解析式：由图象可知y是x的一次函数，已知两点坐标(60,120)、(80,80)，先设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求解参数k、b，再结合题干“售价超过成本、不高于100元”的限制确定x的取值范围；求w与x的函数解析式：根据“日销售利润=每千克利润×日销量”的等量关系，每千克利润为(x-60)元，代入y的表达式化简即可，x的取值范围与y的一致。
(2) 先根据“日销量不低于80kg”即y≥80列不等式，求解得到x的取值范围，再结合二次函数w的开口方向、对称轴判断该范围内w的增减性，进而找到最大利润对应的售价和最大利润值。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(60,120)$、$(80,80)$代入解析式得：
$\begin{cases}60k+b=120 \\80k+b=80 \end{cases}$
两式相减得$20k=-40$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$60k+b=120$，得$-120+b=120$，解得$b=240$，
结合售价限制$60＜x≤100$，得$y=-2x+240(60＜x≤100)$。
根据日销售利润的计算公式：$w=(x-60)y$，代入y的表达式得：
$w=(x-60)(-2x+240)=-2x^2+360x-14400$，
即$w=-2x^2+360x-14400(60＜x≤100)$。
(2) 由题意得$y≥80$，代入y的解析式：
$-2x+240≥80$，解得$x≤80$，
结合售价范围得x的取值为$60＜x≤80$。
二次函数$w=-2x^2+360x-14400$中$a=-2＜0$，开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{360}{2×(-2)}=90$，
因此当$x≤90$时，w随x的增大而增大，
在$60＜x≤80$范围内，x取最大值80时w取得最大值，
代入$x=80$得：$w=(80-60)×(-2×80+240)=20×80=1600$（元）。
【答案】
(1)$y=-2x+240(60＜x≤100)$，$w=-2x^2+360x-14400(60＜x≤100)$；
(2)当单价定为80元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题核心是先根据图象求出一次函数解析式，再结合利润公式推导二次函数，最后根据二次函数的增减性求最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
14. 数形结合思想 如图，将二次函数$y=-x^2+6x-5$在$x$轴下方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象。若直线$y=x+b$与这个图象恰好有3个公共点，则$b$的值为
$\dfrac{5}{4}$或$-1$
。答案
14.$\dfrac{5}{4}$或$-1$
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步先求出原二次函数与x轴的交点，明确翻折后新图象的分段解析式；第二步分析直线与新图象有3个公共点的两种临界情形：一是直线与中间未翻折的抛物线段相切，二是直线经过翻折的左端点(1,0)；第三步分别对两种情形列方程求解，验证解的合理性即可得到b的值。
【解析】
首先求原二次函数$y=-x^2+6x-5$与x轴的交点：
令$y=0$，即$-x^2+6x-5=0$，因式分解得$-(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，即原抛物线与x轴交于$(1,0)$、$(5,0)$两点。
根据翻折规则，新图象的分段解析式为：
当$1＜x＜5$时，$y=-x^2+6x-5$；当$x≤1$或$x≥5$时，$y=x^2-6x+5$。
分两种情况讨论直线$y=x+b$与新图象有3个公共点的情形：
1. 直线与中间段抛物线相切
联立$\begin{cases}y=x+b\\y=-x^2+6x-5\end{cases}$，整理得$x^2-5x+(5+b)=0$。
相切时方程有唯一解，判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-5)^2-4×1×(5+b)=25-20-4b=0$，解得$b=\dfrac{5}{4}$。
此时方程的解为$x=\dfrac{5}{2}$，落在$1＜x＜5$范围内，符合要求。
2. 直线经过翻折端点$(1,0)$
将$(1,0)$代入$y=x+b$得：$0=1+b$，解得$b=-1$。
验证可知此时直线$y=x-1$与新图象共有3个交点，符合要求。
若直线过$(5,0)$时$b=-5$，此时仅存在2个公共点，不符合要求，舍去。
综上，$b$的值为$\dfrac{5}{4}$或$-1$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$或$-1$
【知识点】
二次函数图象翻折、函数交点问题、一元二次方程判别式
【点评】
本题重点考查数形结合思想，解题的关键是准确找到交点个数为3的临界条件，求解后要注意验证解是否对应图象的取值范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步展开：第一步先求出原二次函数与x轴的交点，明确翻折后新图象的分段解析式；第二步分析直线与新图象有3个公共点的两种临界情形：一是直线与中间未翻折的抛物线段相切，二是直线经过翻折的左端点(1,0)；第三步分别对两种情形列方程求解，验证解的合理性即可得到b的值。
【解析】
首先求原二次函数$y=-x^2+6x-5$与x轴的交点：
令$y=0$，即$-x^2+6x-5=0$，因式分解得$-(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$，即原抛物线与x轴交于$(1,0)$、$(5,0)$两点。
根据翻折规则，新图象的分段解析式为：
当$1＜x＜5$时，$y=-x^2+6x-5$；当$x≤1$或$x≥5$时，$y=x^2-6x+5$。
分两种情况讨论直线$y=x+b$与新图象有3个公共点的情形：
1. 直线与中间段抛物线相切
联立$\begin{cases}y=x+b\\y=-x^2+6x-5\end{cases}$，整理得$x^2-5x+(5+b)=0$。
相切时方程有唯一解，判别式$\Delta=0$，即：
$\Delta=(-5)^2-4×1×(5+b)=25-20-4b=0$，解得$b=\dfrac{5}{4}$。
此时方程的解为$x=\dfrac{5}{2}$，落在$1＜x＜5$范围内，符合要求。
2. 直线经过翻折端点$(1,0)$
将$(1,0)$代入$y=x+b$得：$0=1+b$，解得$b=-1$。
验证可知此时直线$y=x-1$与新图象共有3个交点，符合要求。
若直线过$(5,0)$时$b=-5$，此时仅存在2个公共点，不符合要求，舍去。
综上，$b$的值为$\dfrac{5}{4}$或$-1$。
【答案】
$\dfrac{5}{4}$或$-1$
【知识点】
二次函数图象翻折、函数交点问题、一元二次方程判别式
【点评】
本题重点考查数形结合思想，解题的关键是准确找到交点个数为3的临界条件，求解后要注意验证解是否对应图象的取值范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
15. 分类讨论思想 已知抛物线$y=x^2 -2x +1$经过$A(a+1,y_1),B(2a-1,y_2)$两点，若$y_1 ＜ y_2$，则$a$的取值范围是
$a＜\dfrac{2}{3}$或$a＞2$
。答案
15.$a＜\dfrac{2}{3}$或$a＞2$
解析
【分析】
首先将抛物线解析式化为顶点式，确定其开口方向与对称轴：该抛物线开口向上，因此抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可推出点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，据此列出绝对值不等式，再通过平方去绝对值、解一元二次不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
先化简抛物线解析式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
因为开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大，且$y_1＜y_2$，所以：
$|(a+1)-1| ＜ |(2a-1)-1|$
化简得：$|a| ＜ |2a-2|$
由于不等式两边均为非负数，两边同时平方，不等号方向不变：
$a^2 ＜ (2a-2)^2$
展开右侧并整理：
$a^2 ＜ 4a^2-8a+4$
$3a^2-8a+4＞0$
因式分解得：$(3a-2)(a-2)＞0$
分两种情况讨论：
① $\begin{cases}3a-2＞0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$a＞2$；
② $\begin{cases}3a-2＜0 \\ a-2＜0\end{cases}$，解得$a＜\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$a＜\dfrac{2}{3}$或$a＞2$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 绝对值不等式求解
3. 一元二次不等式解法
【点评】
本题核心考查分类讨论思想与二次函数的增减性应用，解题关键是建立“函数值大小”和“点到对称轴距离”的关联，列不等式时注意绝对值的处理，避免因漏解出现错误。
【难度系数】
0.65
首先将抛物线解析式化为顶点式，确定其开口方向与对称轴：该抛物线开口向上，因此抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1＜y_2$，可推出点$A$到对称轴的距离小于点$B$到对称轴的距离，据此列出绝对值不等式，再通过平方去绝对值、解一元二次不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
先化简抛物线解析式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
因为开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大，且$y_1＜y_2$，所以：
$|(a+1)-1| ＜ |(2a-1)-1|$
化简得：$|a| ＜ |2a-2|$
由于不等式两边均为非负数，两边同时平方，不等号方向不变：
$a^2 ＜ (2a-2)^2$
展开右侧并整理：
$a^2 ＜ 4a^2-8a+4$
$3a^2-8a+4＞0$
因式分解得：$(3a-2)(a-2)＞0$
分两种情况讨论：
① $\begin{cases}3a-2＞0 \\ a-2＞0\end{cases}$，解得$a＞2$；
② $\begin{cases}3a-2＜0 \\ a-2＜0\end{cases}$，解得$a＜\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$a＜\dfrac{2}{3}$或$a＞2$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 绝对值不等式求解
3. 一元二次不等式解法
【点评】
本题核心考查分类讨论思想与二次函数的增减性应用，解题关键是建立“函数值大小”和“点到对称轴距离”的关联，列不等式时注意绝对值的处理，避免因漏解出现错误。
【难度系数】
0.65
16. [2025安徽中考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
16.C
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像中提取核心信息：开口方向确定a的符号，与y轴交点确定c的符号，对称轴位置结合a的符号确定b的符号；再结合对称轴公式、x=-1和x=2处的特殊函数值，通过代数变形逐个验证四个选项的不等式是否成立。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，
∴a＞0；
② 抛物线与y轴交于负半轴，x=0时y=c＜0；
③ 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合a＞0可得b＜0。
2. 逐个判断选项：
选项A：a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，A错误。
选项B：抛物线与x轴交点一个在(-1,0)，一个为(2,0)，故对称轴$x=\frac{x_1+x_2}{2}\in(0.5,1)$，即$-\frac{b}{2a}＜1$，变形得2a + b＞0，B错误。
选项D：当x=-1时，代入函数得y=a-b+c，由图像可知x=-1时函数图像在x轴上方，y＞0，故a-b+c＞0，D错误。
选项C：当x=2时，y=4a+2b+c=0，即$a=\frac{-2b -c}{4}$；将其代入x=-1时的函数值不等式a-b+c＞0：
$ \frac{-2b -c}{4} -b +c ＞0 $两边同乘4得：-2b -c -4b +4c ＞0，整理得-6b +3c＞0，即2b -c ＜0，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的函数值；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数的典型考法，需要结合图像提取几何信息转化为代数条件，再通过代数运算推导不等式，重点考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先从二次函数图像中提取核心信息：开口方向确定a的符号，与y轴交点确定c的符号，对称轴位置结合a的符号确定b的符号；再结合对称轴公式、x=-1和x=2处的特殊函数值，通过代数变形逐个验证四个选项的不等式是否成立。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，
∴a＞0；
② 抛物线与y轴交于负半轴，x=0时y=c＜0；
③ 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合a＞0可得b＜0。
2. 逐个判断选项：
选项A：a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，A错误。
选项B：抛物线与x轴交点一个在(-1,0)，一个为(2,0)，故对称轴$x=\frac{x_1+x_2}{2}\in(0.5,1)$，即$-\frac{b}{2a}＜1$，变形得2a + b＞0，B错误。
选项D：当x=-1时，代入函数得y=a-b+c，由图像可知x=-1时函数图像在x轴上方，y＞0，故a-b+c＞0，D错误。
选项C：当x=2时，y=4a+2b+c=0，即$a=\frac{-2b -c}{4}$；将其代入x=-1时的函数值不等式a-b+c＞0：
$ \frac{-2b -c}{4} -b +c ＞0 $两边同乘4得：-2b -c -4b +4c ＞0，整理得-6b +3c＞0，即2b -c ＜0，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的函数值；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数的典型考法，需要结合图像提取几何信息转化为代数条件，再通过代数运算推导不等式，重点考查数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
17. [2025安徽中考改编]已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$.
(1)该抛物线的对称轴为直线$x=$.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合).
①若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,则$y_1$与$y_2$的大小关系为(用“＞”连接);
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时,若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,求$a$与$b$的值.
(1)该抛物线的对称轴为直线$x=$.
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合).
①若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,则$y_1$与$y_2$的大小关系为(用“＞”连接);
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时,若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,求$a$与$b$的值.
答案
解：
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，令$y=0$得$x(ax+b)=0$，方程的两根为$x=0$和$x=4$，
由抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
(2) ① 把$a=\frac{1}{2}$、点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$0=\frac{1}{2}×4^2 +4b$，解得$b=-2$，即$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，
由$x_1=x_2$，得$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$，
因为点A不与原点重合，$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2＞y_1$。
② 由抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，得$16a+4b=0$，即$b=-4a$。
由题意$x_1≠0$，$y_1≠0$，$x_2≠0$，$y_2≠0$，
将$y_1=ax_1^2+bx_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，得：
$x_1(x_2^2-2x_2)=x_2(ax_1^2+bx_1)$，
两边同除以$x_1x_2$，整理得：
$x_2=ax_1 + b + 2$，
因此$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{b+2}{x_1}$，
因为$\frac{x_2}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，所以$b+2=0$，
解得$b=-2$，
将$b=-2$代入$b=-4a$，得$-2=-4a$，解得$a=\frac{1}{2}$。
综上，(1) $\boldsymbol{2}$；(2) ① $\boldsymbol{y_2＞y_1}$；② $a=\frac{1}{2}$，$b=-2$。
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，令$y=0$得$x(ax+b)=0$，方程的两根为$x=0$和$x=4$，
由抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
(2) ① 把$a=\frac{1}{2}$、点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$0=\frac{1}{2}×4^2 +4b$，解得$b=-2$，即$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，
由$x_1=x_2$，得$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$，
因为点A不与原点重合，$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2＞y_1$。
② 由抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，得$16a+4b=0$，即$b=-4a$。
由题意$x_1≠0$，$y_1≠0$，$x_2≠0$，$y_2≠0$，
将$y_1=ax_1^2+bx_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，得：
$x_1(x_2^2-2x_2)=x_2(ax_1^2+bx_1)$，
两边同除以$x_1x_2$，整理得：
$x_2=ax_1 + b + 2$，
因此$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{b+2}{x_1}$，
因为$\frac{x_2}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，所以$b+2=0$，
解得$b=-2$，
将$b=-2$代入$b=-4a$，得$-2=-4a$，解得$a=\frac{1}{2}$。
综上，(1) $\boldsymbol{2}$；(2) ① $\boldsymbol{y_2＞y_1}$；② $a=\frac{1}{2}$，$b=-2$。
解析
【分析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此必然过原点$(0,0)$，结合已知过点$(4,0)$，根据抛物线的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为两个交点横坐标的平均值，直接计算即可得到结果。
(2) ① 已知$a=\frac{1}{2}$，将点$(4,0)$代入抛物线解析式可求出$b$的值，得到$y_1$的表达式，再通过作差法计算$y_2-y_1$，结合点A不与原点重合的条件判断差的正负，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
② 首先利用抛物线过$(4,0)$得到$a$与$b$的关系，再将$y_1$、$y_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$进行化简，整理得到$\frac{x_2}{x_1}$的表达式；若$\frac{x_2}{x_1}$与$x_1$无关，则表达式中含$x_1$的项的系数必须为0，由此列方程求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，令$y=0$得$x(ax+b)=0$，方程的两根为$x=0$和$x=4$，由抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
(2) ① 把$a=\frac{1}{2}$、点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$0=\frac{1}{2}×4^2 +4b$，解得$b=-2$，即$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，
由$x_1=x_2$，得$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$，
因为点A不与原点重合，$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2＞y_1$。
② 由抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，得$16a+4b=0$，即$b=-4a$。
由题意$x_1≠0$，$y_1≠0$，$x_2≠0$，$y_2≠0$，
将$y_1=ax_1^2+bx_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，得：
$x_1(x_2^2-2x_2)=x_2(ax_1^2+bx_1)$，
两边同除以$x_1x_2$，整理得：
$x_2=ax_1 + b + 2$，
因此$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{b+2}{x_1}$，
因为$\frac{x_2}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，所以$b+2=0$，
解得$b=-2$，
将$b=-2$代入$b=-4a$，得$-2=-4a$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) ① $\boldsymbol{y_2＞y_1}$；② $\boldsymbol{a=\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{b=-2}$
【知识点】
二次函数的对称性；作差法比较大小；定值问题求解
【点评】
本题围绕二次函数基础性质设置问题，从基础的对称轴求解，到函数值大小比较，再到定值探究，层层递进，既考查了二次函数的核心基础知识，也考查了代数化简能力和逻辑推理能力，是二次函数章节的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此必然过原点$(0,0)$，结合已知过点$(4,0)$，根据抛物线的对称性，与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为两个交点横坐标的平均值，直接计算即可得到结果。
(2) ① 已知$a=\frac{1}{2}$，将点$(4,0)$代入抛物线解析式可求出$b$的值，得到$y_1$的表达式，再通过作差法计算$y_2-y_1$，结合点A不与原点重合的条件判断差的正负，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
② 首先利用抛物线过$(4,0)$得到$a$与$b$的关系，再将$y_1$、$y_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$进行化简，整理得到$\frac{x_2}{x_1}$的表达式；若$\frac{x_2}{x_1}$与$x_1$无关，则表达式中含$x_1$的项的系数必须为0，由此列方程求解即可得到$a$、$b$的值。
【解析】
(1) 抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，令$y=0$得$x(ax+b)=0$，方程的两根为$x=0$和$x=4$，由抛物线对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
(2) ① 把$a=\frac{1}{2}$、点$(4,0)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$0=\frac{1}{2}×4^2 +4b$，解得$b=-2$，即$y_1=\frac{1}{2}x_1^2-2x_1$，
由$x_1=x_2$，得$y_2-y_1=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$，
因为点A不与原点重合，$x_1≠0$，所以$\frac{1}{2}x_1^2＞0$，即$y_2＞y_1$。
② 由抛物线$y=ax^2+bx$过点$(4,0)$，得$16a+4b=0$，即$b=-4a$。
由题意$x_1≠0$，$y_1≠0$，$x_2≠0$，$y_2≠0$，
将$y_1=ax_1^2+bx_1$，$y_2=x_2^2-2x_2$代入$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$，得：
$x_1(x_2^2-2x_2)=x_2(ax_1^2+bx_1)$，
两边同除以$x_1x_2$，整理得：
$x_2=ax_1 + b + 2$，
因此$\frac{x_2}{x_1}=a+\frac{b+2}{x_1}$，
因为$\frac{x_2}{x_1}$是与$x_1$无关的定值，所以$b+2=0$，
解得$b=-2$，
将$b=-2$代入$b=-4a$，得$-2=-4a$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) ① $\boldsymbol{y_2＞y_1}$；② $\boldsymbol{a=\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{b=-2}$
【知识点】
二次函数的对称性；作差法比较大小；定值问题求解
【点评】
本题围绕二次函数基础性质设置问题，从基础的对称轴求解，到函数值大小比较，再到定值探究，层层递进，既考查了二次函数的核心基础知识，也考查了代数化简能力和逻辑推理能力，是二次函数章节的典型习题。
【难度系数】
0.7
