登录
如图①，抛物线$y=-x^2+2x+3$与$x$轴交于$A,B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，$D$是抛物线的顶点，直线$l$经过$B,C$两点，连接$AC$。
(1)求点$A,B,C,D$的坐标和直线$l$对应的函数解析式。
(2)在$x$轴上找一点$Q$，使得$QC+QD$的值最小，则点$Q$的坐标为
(3)一题多解 如图②，求四边形$ACDB$的面积。
(4)如图③，在直线$l$上方的抛物线上，是否存在一点$M$，使$△ CMB$的面积最大？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求点$A,B,C,D$的坐标和直线$l$对应的函数解析式。
(2)在$x$轴上找一点$Q$，使得$QC+QD$的值最小，则点$Q$的坐标为
$(\dfrac{3}{7},0)$
。(3)
(4)如图③，在直线$l$上方的抛物线上，是否存在一点$M$，使$△ CMB$的面积最大？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4)$，直线$l$对应的函数解析式为$y=-x+3$。
(2)$(\dfrac{3}{7},0)$
(3)9
(4)存在.点$M(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
(2)$(\dfrac{3}{7},0)$
(3)9
(4)存在.点$M(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标，令y=0解方程可得x轴上A、B点坐标，令x=0可得y轴上C点坐标；将抛物线解析式配方为顶点式即可得到顶点D的坐标；已知直线l过B、C两点，用待定系数法代入两点坐标即可求出直线l的解析式。
(2) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，x轴为对称轴，作点C关于x轴的对称点C'，根据对称性质QC=QC'，则QC+QD的最小值为线段C'D的长度，求出直线C'D与x轴的交点即为Q点。
(3) 求不规则四边形面积可采用割补法，将四边形分割为规则的三角形和梯形，分别计算各部分面积后求和即可。
(4) 求三角形最大面积可采用铅锤法：设M点横坐标为t，过M作x轴垂线交直线BC于N，用含t的式子表示出MN的长度，再结合三角形面积公式得到关于t的二次函数，利用二次函数最值性质求出t的值，进而得到M点坐标。
【解析】
(1) ①求A、B坐标：令抛物线解析式中y=0，得$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
②求C坐标：令$x=0$，代入抛物线得$y=3$，
∴$C(0,3)$。
③求D坐标：将抛物线配方得$y=-(x-1)^2+4$，
∴顶点$D(1,4)$。
④求直线l解析式：设直线l的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，
∴直线l的解析式为$y=-x+3$。
(2) 作点C关于x轴的对称点$C'(0,-3)$，连接$C'D$交x轴于Q，此时$QC+QD$最小。设直线$C'D$的解析式为$y=mx+n$，将$C'(0,-3)$、$D(1,4)$代入得$\begin{cases}n=-3\\m+n=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=7\\n=-3\end{cases}$，即$y=7x-3$。令$y=0$，得$7x-3=0$，$x=\frac{3}{7}$，
∴$Q(\frac{3}{7},0)$。
(3) 过D作$DE⊥x$轴于点E，则$E(1,0)$。
$S_{四边形ACDB}=S_{△ AOC}+S_{梯形OCDE}+S_{△ DEB}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$
$S_{梯形OCDE}=\frac{1}{2}×(OC+DE)× OE=\frac{1}{2}×(3+4)×1=\frac{7}{2}$
$S_{△ DEB}=\frac{1}{2}× EB× DE=\frac{1}{2}×(3-1)×4=4$
∴$S_{四边形ACDB}=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}+4=9$。
(4) 存在，求解如下：
设点M的横坐标为$t(0＜t＜3)$，过M作$MN⊥x$轴交直线BC于点N，则$M(t,-t^2+2t+3)$，$N(t,-t+3)$。
∴$MN=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$
$S_{△ CMB}=S_{△ CMN}+S_{△ BMN}=\frac{1}{2}× MN×(x_B-x_C)=\frac{1}{2}×(-t^2+3t)×3=-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$
该二次函数开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{9}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}$时，面积最大。
将$t=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式得$y=-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，
∴$M(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4)$，直线l对应的函数解析式为$y=-x+3$；
(2)$(\dfrac{3}{7},0)$；
(3)$9$；
(4)存在，点M的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，将军饮马模型，铅锤法求面积
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，涵盖了坐标求解、最短路径、不规则图形面积计算、动点面积最值等高频考点，解题过程中用到的待定系数法、割补法、铅锤法都是二次函数题型的常用方法，掌握这些方法能有效解决同类综合题。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标，令y=0解方程可得x轴上A、B点坐标，令x=0可得y轴上C点坐标；将抛物线解析式配方为顶点式即可得到顶点D的坐标；已知直线l过B、C两点，用待定系数法代入两点坐标即可求出直线l的解析式。
(2) 本题属于“将军饮马”最短路径问题，x轴为对称轴，作点C关于x轴的对称点C'，根据对称性质QC=QC'，则QC+QD的最小值为线段C'D的长度，求出直线C'D与x轴的交点即为Q点。
(3) 求不规则四边形面积可采用割补法，将四边形分割为规则的三角形和梯形，分别计算各部分面积后求和即可。
(4) 求三角形最大面积可采用铅锤法：设M点横坐标为t，过M作x轴垂线交直线BC于N，用含t的式子表示出MN的长度，再结合三角形面积公式得到关于t的二次函数，利用二次函数最值性质求出t的值，进而得到M点坐标。
【解析】
(1) ①求A、B坐标：令抛物线解析式中y=0，得$-x^2+2x+3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
②求C坐标：令$x=0$，代入抛物线得$y=3$，
∴$C(0,3)$。
③求D坐标：将抛物线配方得$y=-(x-1)^2+4$，
∴顶点$D(1,4)$。
④求直线l解析式：设直线l的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$，
∴直线l的解析式为$y=-x+3$。
(2) 作点C关于x轴的对称点$C'(0,-3)$，连接$C'D$交x轴于Q，此时$QC+QD$最小。设直线$C'D$的解析式为$y=mx+n$，将$C'(0,-3)$、$D(1,4)$代入得$\begin{cases}n=-3\\m+n=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=7\\n=-3\end{cases}$，即$y=7x-3$。令$y=0$，得$7x-3=0$，$x=\frac{3}{7}$，
∴$Q(\frac{3}{7},0)$。
(3) 过D作$DE⊥x$轴于点E，则$E(1,0)$。
$S_{四边形ACDB}=S_{△ AOC}+S_{梯形OCDE}+S_{△ DEB}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× OC=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$
$S_{梯形OCDE}=\frac{1}{2}×(OC+DE)× OE=\frac{1}{2}×(3+4)×1=\frac{7}{2}$
$S_{△ DEB}=\frac{1}{2}× EB× DE=\frac{1}{2}×(3-1)×4=4$
∴$S_{四边形ACDB}=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}+4=9$。
(4) 存在，求解如下：
设点M的横坐标为$t(0＜t＜3)$，过M作$MN⊥x$轴交直线BC于点N，则$M(t,-t^2+2t+3)$，$N(t,-t+3)$。
∴$MN=(-t^2+2t+3)-(-t+3)=-t^2+3t$
$S_{△ CMB}=S_{△ CMN}+S_{△ BMN}=\frac{1}{2}× MN×(x_B-x_C)=\frac{1}{2}×(-t^2+3t)×3=-\frac{3}{2}t^2+\frac{9}{2}t$
该二次函数开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{9}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}$时，面积最大。
将$t=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式得$y=-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$，
∴$M(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
【答案】
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,3),D(1,4)$，直线l对应的函数解析式为$y=-x+3$；
(2)$(\dfrac{3}{7},0)$；
(3)$9$；
(4)存在，点M的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，将军饮马模型，铅锤法求面积
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，涵盖了坐标求解、最短路径、不规则图形面积计算、动点面积最值等高频考点，解题过程中用到的待定系数法、割补法、铅锤法都是二次函数题型的常用方法，掌握这些方法能有效解决同类综合题。
【难度系数】
0.65
