5.如图，已知∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，∠ABD=40°，则∠C=。

40°

【分析】
解题时我们可以从已知的直角条件入手：首先，△ABC是直角三角形，两个锐角∠A和∠C的和为90°；其次BD垂直AC，所以△ABD也是直角三角形，两个锐角∠A和∠ABD的和也为90°。观察两个式子可发现∠A是公共角，根据同角的余角相等，就能直接得到∠C和∠ABD相等，代入已知角度即可求出结果。也可以先计算∠CBD的度数，再在Rt△BCD中利用两锐角互余求∠C，两种思路都可行。
【解析】
解：
∵ ∠ABC=90°，
∴ 在Rt△ABC中，∠A + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ BD⊥AC，垂足为D，
∴ ∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠A + ∠ABD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∴ ∠C = ∠ABD（同角的余角相等）。
又
∵ ∠ABD=40°，
∴ ∠C=40°。
【答案】
40°
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
3. 垂直的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用直角三角形的锐角性质推导角的等量关系，解题时只要找准图中的直角三角形，理清角之间的和差关系就能快速得出答案，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

6.△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，则与∠A相等的角是。

∠BCD

【分析】
解题时先从已知的直角条件入手，结合直角三角形的性质思考：首先在Rt△ABC中，可得出∠A和∠B互余；再根据CD是AB边上的高，可知△CDB也是直角三角形，能推出∠BCD和∠B也互余；最后根据“同角的余角相等”，即可找到与∠A相等的角。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDB=90°，
∴ ∠BCD + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ ∠A和∠BCD都与∠B互余，
∴ ∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。
【答案】
∠BCD
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余；2.同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础题，核心是利用直角三角形的锐角性质和余角的性质推导等角，解题时要注意挖掘图形中隐含的互余关系，熟练掌握相关性质可快速解题。
【难度系数】
0.9

7. 判断满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
(1)在$△ ABC$中，$∠ A=30°,∠ C=∠ B$；
(2)三角形三个内角的度数比为$1:2:6$。

(1) 解:因为$∠A=30°,∠C=∠B,∠A+∠B+∠C=180°$，
所以$∠C=∠B=75°$，
所以△ABC是锐角三角形。
(2) 解:因为三角形三个内角的度数比为1:2:6，
所以最大角为$\frac{6}{1+2+6}×180°=120°＞90°$，
所以满足条件的三角形是钝角三角形。

【分析】
判断三角形按角分类的核心是确定三角形中最大内角的度数：若最大内角小于90°，为锐角三角形；等于90°为直角三角形；大于90°为钝角三角形。两类问题均需结合三角形内角和为180°的性质求解：
(1) 已知一个内角的度数，且另外两个内角相等，可先用内角和求出另外两个角的总度数，再计算出每个角的度数，找到最大角后判断类型；
(2) 已知三个内角的度数比，可按比例分配的方法直接算出最大内角的度数，再判断类型。
【解析】
(1) 因为在△ABC中，∠A=30°，∠C=∠B，且三角形内角和为180°，
所以∠B+∠C=180°-∠A=180°-30°=150°，
所以∠C=∠B=150°÷2=75°，
△ABC的最大内角为75°＜90°，因此是锐角三角形。
(2) 因为三角形三个内角的度数比为1:2:6，三角形内角和为180°，
所以最大内角的度数为$\frac{6}{1+2+6}×180°=120°$，
120°＞90°，因此满足条件的三角形是钝角三角形。
【答案】
(1) 锐角三角形；(2) 钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题型，主要考查三角形内角和的应用以及三角形按角分类的判断方法，解题的关键是准确求出三角形的最大内角度数，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

8.计算：
(1)在△ABC中，已知∠B=2∠A，∠C=∠A+40°，求∠A；
(2)在△ABC中，已知∠A=90°，∠B−∠C=20°，求∠C。

(1) 解:因为$∠B=2∠A,∠C=∠A+40°$，$∠A+∠B+∠C=180°$，
所以$∠A+2∠A+∠A+40°=180°$，
所以$∠A=35°$。
(2) 解:因为$∠A=90°$，
所以$∠B+∠C=90°$,所以$∠B=90°-∠C$。
又因为$∠B-∠C=20°$，
所以$∠C=35°$。

【分析】
这两道题均为三角形角度计算类题目，解题核心依据是三角形内角和为180°。第(1)题中∠B、∠C都与∠A有明确的数量关系，可将∠B、∠C全部替换为含∠A的表达式，代入三角形内角和公式得到只含∠A的一元一次方程，解方程即可求出∠A；第(2)题已知三角形为直角三角形，先根据直角三角形两锐角和为90°得到∠B与∠C的和，再结合题目给出的∠B与∠C的差，代入消元即可求出∠C的度数。
【解析】
(1) 解：由三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°。
已知∠B=2∠A，∠C=∠A+40°，代入上式得：
∠A+2∠A+∠A+40°=180°
合并同类项得4∠A=140°，解得∠A=35°。
(2) 解：已知∠A=90°，由三角形内角和为180°可得∠B+∠C=180°-90°=90°，即∠B=90°-∠C。
又因为∠B-∠C=20°，将∠B=90°-∠C代入得：
90°-∠C-∠C=20°
化简得2∠C=70°，解得∠C=35°。
【答案】
(1) ∠A=35°；(2) ∠C=35°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程应用
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题思路是将角的数量关系代入内角和性质转化为方程求解，熟练掌握三角形内角和相关性质是解决这类问题的核心，这类题型是后续几何角度运算的重要基础。
【难度系数】
0.85

9. 请把下面的探究过程补充完整。
如图,已知$AD⊥BC$于点D,点E在AC上,点G在AB上,$∠2+∠C=90°,∠1=∠2$。GD与AC平行吗,为什么?

解:因为$AD⊥BC$,
所以$∠ADC=90°$(),
所以$∠3+∠C=90°$(直角三角形的两个锐角互余)。
又因为$∠2+∠C=90°$(已知),
所以()。
又因为$∠1=∠2$(已知),
所以$∠1=∠3$(),
所以$GD// AC$()。

垂直的意义 ∠2=∠3 同角的余角相等
等量代换 内错角相等,两直线平行

【分析】
要判断GD与AC是否平行，需结合已知条件推导对应角的关系，结合平行线判定定理求证。首先根据AD⊥BC的条件可得∠ADC为直角，进而得到∠3与∠C互余；结合已知∠2与∠C互余，可推出∠2和∠3相等；再结合∠1=∠2的已知条件，通过等量代换得到内错角∠1=∠3，最终即可根据平行线判定定理证明GD//AC。
【解析】
我们逐空推导填写：
1. 由AD⊥BC得到∠ADC=90°，依据是垂直的意义。
2. 已知∠3+∠C=90°，∠2+∠C=90°，∠2和∠3都是∠C的余角，因此可得∠2=∠3，依据是同角的余角相等。
3. 已知∠1=∠2，且已推出∠2=∠3，因此可得∠1=∠3，依据是等量代换。
4. ∠1和∠3是直线GD、AC被AD所截形成的内错角，内错角相等即可推出两直线平行，因此依据是内错角相等，两直线平行。
【答案】
垂直的意义；∠2=∠3；同角的余角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义，余角的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，主要考查相关几何定义、性质和定理的基础应用，解题时理清每一步推导的逻辑关系，准确对应相关定理即可顺利完成解答。
【难度系数】
0.8

10.定义:在一个三角形中,如果一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,那么我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”。例如:在$△ ABC$中,如果$∠ A=80°$,$∠ B=40°$,那么$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”,$△ ABC$是“友爱三角形”。
如图,已知$△ ABC$是“友爱三角形”,且$∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”($∠ A＞∠ B$),$∠ ACB=90°$。
(1)求$∠ A,∠ B$的度数;
(2)若$CD ⊥ AB$于点$D$,则$△ ACD$,$△ BCD$都是“友爱三角形”吗?为什么?

(1) 解:因为$∠A$与$∠B$互为“友爱角”,且$∠A＞∠B$，
所以$∠B=\frac{1}{2}∠A$，
所以$∠A=2∠B$。
在△ABC中,因为$∠ACB=90°$，
所以$∠A+∠B=90°$，
所以$2∠B+∠B=90°$，
所以$∠B=30°$，
所以$∠A=2∠B=60°$。
(2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”,理由如下:
因为$CD⊥AB$，
所以$∠ADC=∠BDC=90°$。
在Rt△ACD中,因为$∠A=60°$，
所以$∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°$，
所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠A$，
所以$∠ACD$与$∠A$互为“友爱角”，
所以△ACD是“友爱三角形”。
在Rt△BCD中,因为$∠B=30°$，
所以$∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°$，
所以$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$，
所以$∠BCD$与$∠B$互为“友爱角”，
所以△BCD是“友爱三角形”。

【分析】
(1) 首先理解“友爱角”的定义：互为友爱角的两个角中，较小角是较大角的$\frac{1}{2}$。已知$∠ A＞∠ B$且二者互为友爱角，可得$∠ A=2∠ B$，再结合直角三角形两锐角和为$90°$的性质，代入即可求出两个角的度数。
(2) 要判断$△ ACD$、$△ BCD$是不是“友爱三角形”，先根据$CD⊥ AB$得到两个三角形都是直角三角形，再分别计算它们的锐角度数，对照“友爱三角形”的定义，验证是否存在两个角满足一个是另一个的$\frac{1}{2}$即可。
【解析】
(1) 解：$\because ∠ A$与$∠ B$互为“友爱角”，且$∠ A＞∠ B$，
$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，即$∠ A=2∠ B$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，
将$∠ A=2∠ B$代入得：$2∠ B+∠ B=90°$，
解得$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ A=2×30°=60°$。
(2) $△ ACD$、$△ BCD$都是“友爱三角形”，理由如下：
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ACD=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$，即$∠ ACD$与$∠ A$互为“友爱角”，
$\therefore △ ACD$是“友爱三角形”。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ B=\frac{1}{2}∠ BCD$，即$∠ B$与$∠ BCD$互为“友爱角”，
$\therefore △ BCD$是“友爱三角形”。
【答案】
(1) $∠ A=60°$，$∠ B=30°$；
(2) $△ ACD$、$△ BCD$都是“友爱三角形”，理由见解析。
【知识点】
新定义理解，直角三角形两锐角互余，垂直的定义
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题的核心是准确理解“友爱角”“友爱三角形”的定义，再结合直角三角形的内角性质完成角度计算，最后对照定义验证即可，重点考查对新定义的应用能力和基础角度计算能力。
【难度系数】
0.7