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知识点一 按角将三角形分类
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形
、直角三角形
、钝角三角形
。答案
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
解析
【分析】
本题要求填写按内角大小划分的三角形三类名称，解题时可先回忆分类判断标准：我们通过三角形中最大内角的类型判断三角形类别，若最大内角是小于90°的锐角，对应为锐角三角形；若最大内角是等于90°的直角，对应为直角三角形；若最大内角是大于90°且小于180°的钝角，对应为钝角三角形，依次填写三类名称即可。
【解析】
根据三角形按内角大小的分类规则：
1. 三个内角均为锐角的三角形叫做锐角三角形；
2. 有一个内角为直角的三角形叫做直角三角形；
3. 有一个内角为钝角的三角形叫做钝角三角形。
因此按内角大小可将三角形分为上述三类。
【答案】
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
【知识点】
三角形按角分类；锐角三角形；直角与钝角三角形
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形分类相关基础定义的记忆情况，牢记教材核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.95
本题要求填写按内角大小划分的三角形三类名称，解题时可先回忆分类判断标准：我们通过三角形中最大内角的类型判断三角形类别，若最大内角是小于90°的锐角，对应为锐角三角形；若最大内角是等于90°的直角，对应为直角三角形；若最大内角是大于90°且小于180°的钝角，对应为钝角三角形，依次填写三类名称即可。
【解析】
根据三角形按内角大小的分类规则：
1. 三个内角均为锐角的三角形叫做锐角三角形；
2. 有一个内角为直角的三角形叫做直角三角形；
3. 有一个内角为钝角的三角形叫做钝角三角形。
因此按内角大小可将三角形分为上述三类。
【答案】
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
【知识点】
三角形按角分类；锐角三角形；直角与钝角三角形
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形分类相关基础定义的记忆情况，牢记教材核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.95
知识点二 直角三角形的表示方法及性质
1.通常，我们用符号“
2.直角三角形的两个锐角
1.通常，我们用符号“
Rt△ABC
”表示“直角三角形ABC”。如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。2.直角三角形的两个锐角
互余
。答案
1. Rt△ABC
2. 互余
2. 互余
解析
【分析】
本题考查直角三角形的基础概念与性质，解题思路如下：
第1题：回忆直角三角形的符号表示规定，我们在表示直角三角形时，会在三角形符号“△”前添加特定的缩写符号，结合三角形的顶点字母即可得到正确表示。
第2题：结合三角形内角和为180°的性质，直角三角形有一个内角为90°，计算剩余两个锐角的和，再根据角的和差关系判断两个锐角的关系即可。
【解析】
1. 根据数学中对直角三角形表示方法的规定，用符号“Rt△”表示直角三角形，因此直角三角形ABC记作$\mathrm{Rt}△ ABC$。
2. 已知三角形的内角和为$180°$，直角三角形存在一个度数为$90°$的直角，因此两个锐角的度数之和为$180°-90°=90°$，和为$90°$的两个角互为余角，即互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
1. $\mathrm{Rt}△ ABC$
2. 互余
【知识点】
直角三角形的表示；直角三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础概念考察题，内容均来自课本基础定义与性质，主要考查学生对基础知识点的识记掌握程度，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形的基础概念与性质，解题思路如下：
第1题：回忆直角三角形的符号表示规定，我们在表示直角三角形时，会在三角形符号“△”前添加特定的缩写符号，结合三角形的顶点字母即可得到正确表示。
第2题：结合三角形内角和为180°的性质，直角三角形有一个内角为90°，计算剩余两个锐角的和，再根据角的和差关系判断两个锐角的关系即可。
【解析】
1. 根据数学中对直角三角形表示方法的规定，用符号“Rt△”表示直角三角形，因此直角三角形ABC记作$\mathrm{Rt}△ ABC$。
2. 已知三角形的内角和为$180°$，直角三角形存在一个度数为$90°$的直角，因此两个锐角的度数之和为$180°-90°=90°$，和为$90°$的两个角互为余角，即互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
1. $\mathrm{Rt}△ ABC$
2. 互余
【知识点】
直角三角形的表示；直角三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础概念考察题，内容均来自课本基础定义与性质，主要考查学生对基础知识点的识记掌握程度，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 △ABC中，如果∠A=$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{3}$∠C，那么△ABC是什么三角形？
[点拨] 本题考查三角形内角和定理以及如何利用角度之间的关系判断三角形的形状。解答本题的关键是借助方程思想，列方程求角的度数。
[解] 设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。
根据题意，得x+2x+3x=180°。
解得x=30°。
所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形。
[点拨] 本题考查三角形内角和定理以及如何利用角度之间的关系判断三角形的形状。解答本题的关键是借助方程思想，列方程求角的度数。
[解] 设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。
根据题意，得x+2x+3x=180°。
解得x=30°。
所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形。
答案
解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。
根据三角形内角和定理，得
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$。
所以$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，
所以$△ ABC$是直角三角形。
根据三角形内角和定理，得
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$。
所以$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，
所以$△ ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
首先观察题目给出的三个内角的数量关系，∠A、∠B、∠C存在明确的倍数关系，我们可以采用设未知数的方法，将三个角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到各个角的度数后，根据最大角的度数即可判断三角形的形状。具体思考路径为：第一步设最小的∠A为x，根据已知倍数关系表示出∠B和∠C；第二步代入三角形内角和公式列方程；第三步解方程得到各角度数；第四步根据角的分类判断三角形类型。
【解析】
设∠A=x，
∵$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
∴$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得$6x=180°$，
解得$x=30°$。
∴$∠ A=30°$，$∠ B=2×30°=60°$，$∠ C=3×30°=90°$，
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类；列方程解几何问题
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是结合角的倍数关系设未知数，利用内角和定理建立方程求解，掌握这种方程思想在几何计算中的应用，能高效解决同类型的角度求解、形状判断类问题。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的三个内角的数量关系，∠A、∠B、∠C存在明确的倍数关系，我们可以采用设未知数的方法，将三个角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和为180°的定理列方程求解，得到各个角的度数后，根据最大角的度数即可判断三角形的形状。具体思考路径为：第一步设最小的∠A为x，根据已知倍数关系表示出∠B和∠C；第二步代入三角形内角和公式列方程；第三步解方程得到各角度数；第四步根据角的分类判断三角形类型。
【解析】
设∠A=x，
∵$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
∴$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得$6x=180°$，
解得$x=30°$。
∴$∠ A=30°$，$∠ B=2×30°=60°$，$∠ C=3×30°=90°$，
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类；列方程解几何问题
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的核心是结合角的倍数关系设未知数，利用内角和定理建立方程求解，掌握这种方程思想在几何计算中的应用，能高效解决同类型的角度求解、形状判断类问题。
【难度系数】
0.8
|变式训练1| 判断满足下列条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形。
(1)如果$∠ A:∠ B:∠ C=1:4:6$，那么$△ ABC$是
(2)如果$∠ A+∠ B=∠ C$，那么$△ ABC$是
(1)如果$∠ A:∠ B:∠ C=1:4:6$，那么$△ ABC$是
钝角
三角形。(2)如果$∠ A+∠ B=∠ C$，那么$△ ABC$是
直角
三角形。答案
(1) 钝角三角形。解：因为$∠A:∠B:∠C=1:4:6,∠A+∠B+∠C=180°$，所以$∠C=\frac{6}{1+4+6}×180°≈98°＞90°$，所以△ABC是钝角三角形。
(2) 直角三角形。解：因为$∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°$，所以$∠C=90°$，所以△ABC是直角三角形。
(2) 直角三角形。解：因为$∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°$，所以$∠C=90°$，所以△ABC是直角三角形。
解析
【分析】
要判断三角形的类型，核心是确定三角形最大内角的度数，结合三角形内角和为180°的性质分析即可：(1)已知三个角的度数比，可通过按比例分配的方法求出最大角的度数，再和90°比较判断类型；(2)已知角的等量关系，可将其代入三角形内角和公式，直接求出∠C的度数，进而判断类型。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，已知∠A:∠B:∠C=1:4:6，三个角的总份数为$1+4+6=11$，其中最大角∠C的度数为：
$∠ C=\frac{6}{1+4+6}×180°=\frac{6}{11}×180°\approx98°$
因为$98°＞90°$，所以$△ ABC$是钝角三角形。
(2) 已知$∠ A+∠ B=∠ C$，结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，将$∠ A+∠ B$替换为$∠ C$，可得：
$∠ C+∠ C=180°$
即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) 钝角；(2) 直角
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是灵活运用三角形内角和定理，结合已知条件求出最大内角的度数，再根据角的分类标准判断三角形的类型。
【难度系数】
0.85
要判断三角形的类型，核心是确定三角形最大内角的度数，结合三角形内角和为180°的性质分析即可：(1)已知三个角的度数比，可通过按比例分配的方法求出最大角的度数，再和90°比较判断类型；(2)已知角的等量关系，可将其代入三角形内角和公式，直接求出∠C的度数，进而判断类型。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，已知∠A:∠B:∠C=1:4:6，三个角的总份数为$1+4+6=11$，其中最大角∠C的度数为：
$∠ C=\frac{6}{1+4+6}×180°=\frac{6}{11}×180°\approx98°$
因为$98°＞90°$，所以$△ ABC$是钝角三角形。
(2) 已知$∠ A+∠ B=∠ C$，结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，将$∠ A+∠ B$替换为$∠ C$，可得：
$∠ C+∠ C=180°$
即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) 钝角；(2) 直角
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是灵活运用三角形内角和定理，结合已知条件求出最大内角的度数，再根据角的分类标准判断三角形的类型。
【难度系数】
0.85
1. 在$△ ABC$中，若$∠ A$是锐角，则$△ ABC$是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状不能确定
D
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.形状不能确定
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形按角分类的标准：锐角三角形要求三个内角都是锐角，直角三角形有1个直角、2个锐角，钝角三角形有1个钝角、2个锐角。已知条件仅给出∠A是锐角，我们可以通过列举不同情况判断三角形的可能形状：如果另外两个角也都是锐角，就是锐角三角形；如果另外两个角里有一个直角，就是直角三角形；如果另外两个角里有一个钝角，就是钝角三角形。三种情况都有可能，因此无法确定三角形的形状。
【解析】
三角形按角可分为三类：
1. 锐角三角形：三个内角均为锐角；
2. 直角三角形：有一个内角为直角，剩余两个内角为锐角；
3. 钝角三角形：有一个内角为钝角，剩余两个内角为锐角。
已知△ABC中仅∠A是锐角，剩余两个角存在多种可能：
若剩余两个角都是锐角，则△ABC是锐角三角形；
若剩余两个角中有一个是直角，则△ABC是直角三角形；
若剩余两个角中有一个是钝角，则△ABC是钝角三角形。
因此仅根据∠A是锐角，无法确定△ABC的形状，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按角分类
2. 锐角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对三角形分类标准的掌握程度，易错点是容易混淆锐角三角形的判定条件，误将“有一个锐角”等同于“三个角都是锐角”，解题时要明确只有三个内角全为锐角的三角形才是锐角三角形。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形按角分类的标准：锐角三角形要求三个内角都是锐角，直角三角形有1个直角、2个锐角，钝角三角形有1个钝角、2个锐角。已知条件仅给出∠A是锐角，我们可以通过列举不同情况判断三角形的可能形状：如果另外两个角也都是锐角，就是锐角三角形；如果另外两个角里有一个直角，就是直角三角形；如果另外两个角里有一个钝角，就是钝角三角形。三种情况都有可能，因此无法确定三角形的形状。
【解析】
三角形按角可分为三类：
1. 锐角三角形：三个内角均为锐角；
2. 直角三角形：有一个内角为直角，剩余两个内角为锐角；
3. 钝角三角形：有一个内角为钝角，剩余两个内角为锐角。
已知△ABC中仅∠A是锐角，剩余两个角存在多种可能：
若剩余两个角都是锐角，则△ABC是锐角三角形；
若剩余两个角中有一个是直角，则△ABC是直角三角形；
若剩余两个角中有一个是钝角，则△ABC是钝角三角形。
因此仅根据∠A是锐角，无法确定△ABC的形状，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按角分类
2. 锐角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对三角形分类标准的掌握程度，易错点是容易混淆锐角三角形的判定条件，误将“有一个锐角”等同于“三个角都是锐角”，解题时要明确只有三个内角全为锐角的三角形才是锐角三角形。
【难度系数】
0.8
2. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, 已知 $∠ B = 90°$, $∠ CED = ∠ A$, 则 $△ CDE$ 为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知的$Rt△ABC$入手，利用直角三角形两个锐角互余的性质得到$∠A$与$∠C$的和为$90°$，再结合题目给出的$∠CED=∠A$进行等量代换，得到$∠CED$与$∠C$的和为$90°$，最后根据三角形内角和为$180°$求出$△CDE$中第三个角的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ C = 90°$
已知$∠ CED = ∠ A$，将上式中的$∠ A$替换为$∠ CED$，可得：
$∠ CED + ∠ C = 90°$
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CDE = 180° - (∠ CED + ∠ C) = 180° - 90° = 90°$
因此$△ CDE$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质、三角形内角和定理、等量代换
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形相关性质的应用，通过等量代换推导角的数量关系是解题的关键，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的$Rt△ABC$入手，利用直角三角形两个锐角互余的性质得到$∠A$与$∠C$的和为$90°$，再结合题目给出的$∠CED=∠A$进行等量代换，得到$∠CED$与$∠C$的和为$90°$，最后根据三角形内角和为$180°$求出$△CDE$中第三个角的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：
$∠ A + ∠ C = 90°$
已知$∠ CED = ∠ A$，将上式中的$∠ A$替换为$∠ CED$，可得：
$∠ CED + ∠ C = 90°$
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CDE = 180° - (∠ CED + ∠ C) = 180° - 90° = 90°$
因此$△ CDE$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质、三角形内角和定理、等量代换
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形相关性质的应用，通过等量代换推导角的数量关系是解题的关键，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知一个锐角等于$25°$，则另一个锐角的度数是
65°
。答案
65°
解析
【分析】
拿到这道题首先明确已知条件是直角三角形，且已知一个锐角的度数。首先回忆三角形内角和为180°，直角三角形固定有一个内角是90°，因此剩下两个锐角的和为180°-90°=90°，也就是直角三角形的两个锐角互余。要求另一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形
∴△ABC内有一个内角为90°
∵三角形内角和为180°
∴直角三角形两个锐角的和为：180°-90°=90°
∵已知一个锐角为25°
∴另一个锐角的度数为：90°-25°=65°
【答案】
65°
【知识点】
1.直角三角形的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关基础性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确已知条件是直角三角形，且已知一个锐角的度数。首先回忆三角形内角和为180°，直角三角形固定有一个内角是90°，因此剩下两个锐角的和为180°-90°=90°，也就是直角三角形的两个锐角互余。要求另一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形
∴△ABC内有一个内角为90°
∵三角形内角和为180°
∴直角三角形两个锐角的和为：180°-90°=90°
∵已知一个锐角为25°
∴另一个锐角的度数为：90°-25°=65°
【答案】
65°
【知识点】
1.直角三角形的性质
2.三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关基础性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4.已知直角三角形的两个锐角的差为$10°$,则较小的锐角的度数为
40°
。答案
40°
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90°。已知两个锐角的差为10°，即较大锐角比较小锐角大10°，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法求解：设较小锐角的度数为x，用含x的式子表示出较大锐角的度数，再根据两个锐角和为90°列方程求解即可。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°
设较小的锐角的度数为x，则较大的锐角的度数为x+10°
根据题意列方程得：
$x + (x + 10°) = 90°$
$2x + 10° = 90°$
$2x = 80°$
$x = 40°$
即较小的锐角的度数为40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心考查直角三角形的锐角性质，结合角度的和差关系即可求解，掌握基础几何性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90°。已知两个锐角的差为10°，即较大锐角比较小锐角大10°，我们可以通过设未知数列一元一次方程的方法求解：设较小锐角的度数为x，用含x的式子表示出较大锐角的度数，再根据两个锐角和为90°列方程求解即可。
【解析】
解：
∵直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和为90°
设较小的锐角的度数为x，则较大的锐角的度数为x+10°
根据题意列方程得：
$x + (x + 10°) = 90°$
$2x + 10° = 90°$
$2x = 80°$
$x = 40°$
即较小的锐角的度数为40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心考查直角三角形的锐角性质，结合角度的和差关系即可求解，掌握基础几何性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
