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知识点一 按边将三角形分类
1. 有
2. 三边都相等的三角形是
3. 两条直角边相等的直角三角形叫作
1. 有
两边相等
的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰。2. 三边都相等的三角形是
等边
三角形，也叫作正三角形。3. 两条直角边相等的直角三角形叫作
等腰直角
三角形。答案
1. 两边相等
2. 等边
3. 等腰直角
2. 等边
3. 等腰直角
解析
【分析】
这道题考查三角形按边分类的相关基础概念，解题时只需回忆教材中对应特殊三角形的定义，逐空对应填写即可。第1空对应等腰三角形的定义，第2空对应三边都相等的三角形的名称，第3空结合边相等和直角两个特征判断对应三角形名称。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，因此本空填“两边相等”。
2. 根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形，因此本空填“等边”。
3. 两条直角边相等的直角三角形，同时具备等腰三角形和直角三角形的特征，因此叫作等腰直角三角形，本空填“等腰直角”。
【答案】
1. 两边相等；2. 等边；3. 等腰直角
【知识点】
等腰三角形定义；等边三角形定义；等腰直角三角形定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对三角形分类相关基础定义的掌握情况，熟练记忆教材相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形按边分类的相关基础概念，解题时只需回忆教材中对应特殊三角形的定义，逐空对应填写即可。第1空对应等腰三角形的定义，第2空对应三边都相等的三角形的名称，第3空结合边相等和直角两个特征判断对应三角形名称。
【解析】
1. 根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，因此本空填“两边相等”。
2. 根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形，因此本空填“等边”。
3. 两条直角边相等的直角三角形，同时具备等腰三角形和直角三角形的特征，因此叫作等腰直角三角形，本空填“等腰直角”。
【答案】
1. 两边相等；2. 等边；3. 等腰直角
【知识点】
等腰三角形定义；等边三角形定义；等腰直角三角形定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对三角形分类相关基础定义的掌握情况，熟练记忆教材相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
知识点二 三角形三边的关系
1. 三角形的任意两边之和
2. 三角形的任意两边之差
1. 三角形的任意两边之和
大于第三边
。2. 三角形的任意两边之差
小于第三边
。答案
1. 大于第三边
2. 小于第三边
2. 小于第三边
解析
【分析】
这道题考查三角形三边关系的基础性质，我们可以结合三角形的构成逻辑来理解记忆：①如果要让三条线段能围成三角形，那么任意两条线段的长度加起来必须比第三条长，否则无法首尾相接形成封闭图形，由此可得两边之和的关系；②我们还可以通过两边之和的关系推导两边之差的关系，对任意三角形三边a、b、c，由a+b＞c可推出c-b＜a，同理可得所有两边的差都小于第三边，记住这两个基础结论即可解题。
【解析】
1. 若三角形任意两边之和不大于第三边，会出现两条线段长度之和小于或等于第三条线段的情况，无法首尾顺次连接构成封闭的三角形，因此三角形的任意两边之和大于第三边。
2. 由“三角形任意两边之和大于第三边”的结论，对任意三角形的三边a、b、c，有a + b ＞ c，移项可得c - b ＜ a，同理可证其余任意两边的差都小于第三边，因此三角形的任意两边之差小于第三边。
【答案】
1. 大于第三边
2. 小于第三边
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形三边基础性质的直接考查，属于基础识记类题目，该知识点是判断三条线段能否构成三角形、求解三角形边长取值范围等题型的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形三边关系的基础性质，我们可以结合三角形的构成逻辑来理解记忆：①如果要让三条线段能围成三角形，那么任意两条线段的长度加起来必须比第三条长，否则无法首尾相接形成封闭图形，由此可得两边之和的关系；②我们还可以通过两边之和的关系推导两边之差的关系，对任意三角形三边a、b、c，由a+b＞c可推出c-b＜a，同理可得所有两边的差都小于第三边，记住这两个基础结论即可解题。
【解析】
1. 若三角形任意两边之和不大于第三边，会出现两条线段长度之和小于或等于第三条线段的情况，无法首尾顺次连接构成封闭的三角形，因此三角形的任意两边之和大于第三边。
2. 由“三角形任意两边之和大于第三边”的结论，对任意三角形的三边a、b、c，有a + b ＞ c，移项可得c - b ＜ a，同理可证其余任意两边的差都小于第三边，因此三角形的任意两边之差小于第三边。
【答案】
1. 大于第三边
2. 小于第三边
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是对三角形三边基础性质的直接考查，属于基础识记类题目，该知识点是判断三条线段能否构成三角形、求解三角形边长取值范围等题型的核心依据，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
例1 若一个三角形三边长分别为3，5，x，则x的值可以是
[点拨] 由三角形三边关系可求得x的取值范围。
[解] 由三角形三边关系，可得$2＜x＜8$，x的取值只要在这个范围之内即可。
4（答案不唯一，满足2＜x＜8即可）
（只需填一个数）。[点拨] 由三角形三边关系可求得x的取值范围。
[解] 由三角形三边关系，可得$2＜x＜8$，x的取值只要在这个范围之内即可。
答案
由三角形三边关系，可得$2＜x＜8$，x的取值只要在这个范围之内即可。
解析
【分析】
遇到求三角形第三边取值的问题，首先要回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题已知两条边长为3和5，我们只需要计算出这两条边的差与和，就能得到第三边x的取值范围，最后在范围内任选一个数值即可。
【解析】
解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得：$2 ＜ x ＜ 8$
因此只要x的取值在2到8之间（不包含2和8）都符合要求，例如取$x=4$。
【答案】
4（答案不唯一，满足$2＜x＜8$即可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题时只需牢记三边关系规则，准确计算出第三边的取值范围即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
遇到求三角形第三边取值的问题，首先要回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题已知两条边长为3和5，我们只需要计算出这两条边的差与和，就能得到第三边x的取值范围，最后在范围内任选一个数值即可。
【解析】
解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得：$2 ＜ x ＜ 8$
因此只要x的取值在2到8之间（不包含2和8）都符合要求，例如取$x=4$。
【答案】
4（答案不唯一，满足$2＜x＜8$即可）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查三角形三边关系的直接应用，解题时只需牢记三边关系规则，准确计算出第三边的取值范围即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
|变式训练1| 已知$△ ABC$的三边长不相等，其中两边的长分别为2和3，且第三边的长为整数，则这个三角形第三边的长为
例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长是多少？
(2)已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长是多少？
[点拨] 解决等腰三角形边长或周长问题时需注意：
(1)分清已知的等腰三角形的边是三角形的腰还是底。
(2)当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论。
(3)分类讨论后的各种情况要用三角形的三边关系进行验证。
[解] (1)等腰三角形的三边长可能是3,3,4，也可能是4,4,3，均可构成三角形，故三角形的周长是10或11。
(2)等腰三角形的三边长可能是3,3,6，也可能是6,6,3，但3,3,6不能构成三角形，故三角形的周长是15。
4
。例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长是多少？
(2)已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则其周长是多少？
[点拨] 解决等腰三角形边长或周长问题时需注意：
(1)分清已知的等腰三角形的边是三角形的腰还是底。
(2)当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论。
(3)分类讨论后的各种情况要用三角形的三边关系进行验证。
[解] (1)等腰三角形的三边长可能是3,3,4，也可能是4,4,3，均可构成三角形，故三角形的周长是10或11。
(2)等腰三角形的三边长可能是3,3,6，也可能是6,6,3，但3,3,6不能构成三角形，故三角形的周长是15。
答案
变式训练1 解:设这个三角形第三边的长为x，则3−2＜x＜3+2,即1＜x＜5。因为第三边的长为整数,且△ABC是不等边三角形，所以x的值为4。
例2 (1)等腰三角形的三边长可能是3,3,4，也可能是4,4,3，均可构成三角形，故三角形的周长是10或11。
(2)等腰三角形的三边长可能是3,3,6，也可能是6,6,3，但3,3,6不能构成三角形，故三角形的周长是15。
例2 (1)等腰三角形的三边长可能是3,3,4，也可能是4,4,3，均可构成三角形，故三角形的周长是10或11。
(2)等腰三角形的三边长可能是3,3,6，也可能是6,6,3，但3,3,6不能构成三角形，故三角形的周长是15。
解析
【分析】
求解变式训练1时，首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为整数、三角形三边长不相等的限定条件，筛选出符合要求的边长。求解例2的等腰三角形周长问题时，因题目未明确已知边是腰还是底，需先分两种情况讨论，列出所有可能的边长组合，再用三角形三边关系逐一验证组合是否成立，最后计算符合条件的周长即可。
【解析】
变式训练1
解：设这个三角形第三边的长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$3-2 ＜ x ＜ 3+2$，即$1 ＜ x ＜ 5$。
已知第三边的长为整数，且$△ ABC$三边长不相等，因此排除$x=2$、$x=3$，得$x=4$。
例2
(1) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为$3+3+4=10$；
② 若腰长为4，三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为$4+4+3=11$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去该情况；
② 若腰长为6，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为$6+6+3=15$。
【答案】
变式训练1：$\boxed{4}$；例2(1)：$\boxed{10}$或$\boxed{11}$；例2(2)：$\boxed{15}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
此类题目是三角形边长、周长计算的基础题型，求解时要注意：普通三角形需结合三边关系确定边长的取值范围，等腰三角形未明确腰和底时必须分类讨论，所有边长组合最后都要验证是否符合三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
求解变式训练1时，首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为整数、三角形三边长不相等的限定条件，筛选出符合要求的边长。求解例2的等腰三角形周长问题时，因题目未明确已知边是腰还是底，需先分两种情况讨论，列出所有可能的边长组合，再用三角形三边关系逐一验证组合是否成立，最后计算符合条件的周长即可。
【解析】
变式训练1
解：设这个三角形第三边的长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$3-2 ＜ x ＜ 3+2$，即$1 ＜ x ＜ 5$。
已知第三边的长为整数，且$△ ABC$三边长不相等，因此排除$x=2$、$x=3$，得$x=4$。
例2
(1) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为$3+3+4=10$；
② 若腰长为4，三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为$4+4+3=11$。
(2) 分两种情况讨论：
① 若腰长为3，三边长为3、3、6，$3+3=6$，不满足三角形三边关系，舍去该情况；
② 若腰长为6，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为$6+6+3=15$。
【答案】
变式训练1：$\boxed{4}$；例2(1)：$\boxed{10}$或$\boxed{11}$；例2(2)：$\boxed{15}$
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形性质；分类讨论思想
【点评】
此类题目是三角形边长、周长计算的基础题型，求解时要注意：普通三角形需结合三边关系确定边长的取值范围，等腰三角形未明确腰和底时必须分类讨论，所有边长组合最后都要验证是否符合三边关系，避免出现错解。
【难度系数】
0.8
