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|变式训练2| 已知 $a,b,c$ 是 $△ ABC$ 的三边长，$a=5,b=2$，且 $c$ 为奇数。
(1)求 $△ ABC$ 的周长；
(2)判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由。
(1)求 $△ ABC$ 的周长；
(2)判断 $△ ABC$ 的形状，并说明理由。
答案
解:(1)根据三角形三边关系,可得5−2＜c＜5+2,即3＜c＜7。因为c为奇数，所以c=5，所以△ABC的周长为5+5+2=12。
(2)因为a=c=5,b=2，所以△ABC是等腰三角形。
(2)因为a=c=5,b=2，所以△ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
解题时按以下思路思考：(1)求三角形周长需要知道三边长度，已知a、b的长度，因此要先求第三边c的值。求c的取值需用到三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先得到c的取值范围，再结合c是奇数的限定条件确定c的具体值，最后将三边相加即可得到周长。(2)判断三角形形状时，根据求出的三边长度，查看是否有相等的边，结合等腰三角形的定义就能完成判定。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，
因此可得：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$。
已知$c$为奇数，因此符合条件的$c$的值为5。
则$△ ABC$的周长为$5 + 2 + 5 = 12$。
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
由(1)可知$c = 5$，又已知$a = 5$，因此$a = c$，
根据“有两条边相等的三角形是等腰三角形”，可得$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为12；
(2) $△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
三角形三边关系、等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形基础题型，解题的关键是先利用三边关系确定第三边的取值范围，再结合题目给出的限定条件求出第三边的具体值，进而解决后续问题，解题时注意不要忽略第三边的取值限制。
【难度系数】
0.8
解题时按以下思路思考：(1)求三角形周长需要知道三边长度，已知a、b的长度，因此要先求第三边c的值。求c的取值需用到三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先得到c的取值范围，再结合c是奇数的限定条件确定c的具体值，最后将三边相加即可得到周长。(2)判断三角形形状时，根据求出的三边长度，查看是否有相等的边，结合等腰三角形的定义就能完成判定。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，
因此可得：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$。
已知$c$为奇数，因此符合条件的$c$的值为5。
则$△ ABC$的周长为$5 + 2 + 5 = 12$。
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
由(1)可知$c = 5$，又已知$a = 5$，因此$a = c$，
根据“有两条边相等的三角形是等腰三角形”，可得$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
(1) $△ ABC$的周长为12；
(2) $△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
三角形三边关系、等腰三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形基础题型，解题的关键是先利用三边关系确定第三边的取值范围，再结合题目给出的限定条件求出第三边的具体值，进而解决后续问题，解题时注意不要忽略第三边的取值限制。
【难度系数】
0.8
1.已知三角形的两边长分别为3 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长可能是(
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.13 cm
C
)A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.13 cm
答案
C
解析
【分析】
要判断三角形第三边的可能长度，首先回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长，求出第三边的取值范围，再逐一比对选项，选出符合范围的数值即可。
【解析】
设此三角形第三边的长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $ 8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3 $
计算得 $ 5 ＜ x ＜ 11 $
逐一分析选项：
A. $ 4\,\mathrm{cm} ＜ 5\,\mathrm{cm} $，不符合范围，排除；
B. $ 5\,\mathrm{cm} = 5\,\mathrm{cm} $，不满足大于5，无法构成三角形，排除；
C. $ 5\,\mathrm{cm} ＜ 6\,\mathrm{cm} ＜ 11\,\mathrm{cm} $，符合范围；
D. $ 13\,\mathrm{cm} ＞ 11\,\mathrm{cm} $，不符合范围，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题的核心是准确根据已知边长求出第三边的取值范围，注意范围不包含端点，避免误选边界值。
【难度系数】
0.8
要判断三角形第三边的可能长度，首先回忆三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先根据已知的两条边长，求出第三边的取值范围，再逐一比对选项，选出符合范围的数值即可。
【解析】
设此三角形第三边的长为$ x \, \mathrm{cm} $，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $ 8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3 $
计算得 $ 5 ＜ x ＜ 11 $
逐一分析选项：
A. $ 4\,\mathrm{cm} ＜ 5\,\mathrm{cm} $，不符合范围，排除；
B. $ 5\,\mathrm{cm} = 5\,\mathrm{cm} $，不满足大于5，无法构成三角形，排除；
C. $ 5\,\mathrm{cm} ＜ 6\,\mathrm{cm} ＜ 11\,\mathrm{cm} $，符合范围；
D. $ 13\,\mathrm{cm} ＞ 11\,\mathrm{cm} $，不符合范围，排除。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题的核心是准确根据已知边长求出第三边的取值范围，注意范围不包含端点，避免误选边界值。
【难度系数】
0.8
2. 已知下列几组线段长度的比例:①1:3:4;②1:2:3;③3:4:5;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥1:4:6。其中可构成三角形的有(
A. 1组 B. 2组 C. 3组 C. 4组
B
)A. 1组 B. 2组 C. 3组 C. 4组
答案
B
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：任意两边之和大于第三边，由于题目给出的是线段长度的比例，我们可以直接将比例的数值当作对应边长来验证（因为比例同时扩大相同倍数，边的和的大小关系不变）。为了简化计算，不需要验证所有两边之和的组合，只需要验证较短两条边的和是否大于最长边即可：如果较短两边之和大于最长边，那么其余两边之和必然大于第三边；如果小于或等于，就无法构成三角形。接下来对6组比例逐一验证即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，判断时可采用简便方法：较短两边之和大于最长边即可构成三角形，我们将各比例的数值直接作为边长验证：
①1:3:4：较短两边为1和3，1+3=4，等于最长边4，无法构成三角形；
②1:2:3：较短两边为1和2，1+2=3，等于最长边3，无法构成三角形；
③3:4:5：较短两边为3和4，3+4=7＞5，满足条件，可以构成三角形；
④3:3:6：较短两边为3和3，3+3=6，等于最长边6，无法构成三角形；
⑤6:6:10：较短两边为6和6，6+6=12＞10，满足条件，可以构成三角形；
⑥1:4:6：较短两边为1和4，1+4=5＜6，不满足条件，无法构成三角形。
综上，可构成三角形的是③和⑤，共2组。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是掌握简化判断的技巧，同时要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：任意两边之和大于第三边，由于题目给出的是线段长度的比例，我们可以直接将比例的数值当作对应边长来验证（因为比例同时扩大相同倍数，边的和的大小关系不变）。为了简化计算，不需要验证所有两边之和的组合，只需要验证较短两条边的和是否大于最长边即可：如果较短两边之和大于最长边，那么其余两边之和必然大于第三边；如果小于或等于，就无法构成三角形。接下来对6组比例逐一验证即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，判断时可采用简便方法：较短两边之和大于最长边即可构成三角形，我们将各比例的数值直接作为边长验证：
①1:3:4：较短两边为1和3，1+3=4，等于最长边4，无法构成三角形；
②1:2:3：较短两边为1和2，1+2=3，等于最长边3，无法构成三角形；
③3:4:5：较短两边为3和4，3+4=7＞5，满足条件，可以构成三角形；
④3:3:6：较短两边为3和3，3+3=6，等于最长边6，无法构成三角形；
⑤6:6:10：较短两边为6和6，6+6=12＞10，满足条件，可以构成三角形；
⑥1:4:6：较短两边为1和4，1+4=5＜6，不满足条件，无法构成三角形。
综上，可构成三角形的是③和⑤，共2组。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的核心是掌握简化判断的技巧，同时要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.7
3.已知一个等腰三角形的两边长之比为1:4，周长为18，则这个等腰三角形的底边长为(
A.2
B.6
C.8
D.2或8
A
)A.2
B.6
C.8
D.2或8
答案
A
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形两边相等的性质和三角形三边关系求解。首先根据等腰三角形两边长的比为1:4，分两种情况讨论：①腰长与底边长的比为1:4；②底边长与腰长的比为1:4。分别设未知数列方程求出边长后，必须验证三边是否满足“三角形两边之和大于第三边”，排除不能构成三角形的情况，最终得到正确的底边长。
【解析】
设比例系数为x，分两种情况讨论：
1. 若腰长:底边长=1:4，即腰长为x，底边长为4x
根据周长公式列方程：$x + x + 4x = 18$
解得$x=3$，此时三边长分别为3、3、12
∵$3 + 3 = 6 ＜ 12$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况舍去。
2. 若底边长:腰长=1:4，即底边长为x，腰长为4x
根据周长公式列方程：$x + 4x + 4x = 18$
解得$x=2$，此时三边长分别为2、8、8
∵$2 + 8 ＞ 8$，$8 + 8 ＞ 2$，满足三角形三边关系，
∴底边长为2。
综上，这个等腰三角形的底边长为2，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题的核心考点是分类讨论思想的应用，易错点是学生求出两种边长后忽略验证三角形的构成条件，误选D。解题时要牢记：涉及等腰三角形边长的问题，求出边长后必须先检验是否满足三边关系，排除不符合的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形两边相等的性质和三角形三边关系求解。首先根据等腰三角形两边长的比为1:4，分两种情况讨论：①腰长与底边长的比为1:4；②底边长与腰长的比为1:4。分别设未知数列方程求出边长后，必须验证三边是否满足“三角形两边之和大于第三边”，排除不能构成三角形的情况，最终得到正确的底边长。
【解析】
设比例系数为x，分两种情况讨论：
1. 若腰长:底边长=1:4，即腰长为x，底边长为4x
根据周长公式列方程：$x + x + 4x = 18$
解得$x=3$，此时三边长分别为3、3、12
∵$3 + 3 = 6 ＜ 12$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况舍去。
2. 若底边长:腰长=1:4，即底边长为x，腰长为4x
根据周长公式列方程：$x + 4x + 4x = 18$
解得$x=2$，此时三边长分别为2、8、8
∵$2 + 8 ＞ 8$，$8 + 8 ＞ 2$，满足三角形三边关系，
∴底边长为2。
综上，这个等腰三角形的底边长为2，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题的核心考点是分类讨论思想的应用，易错点是学生求出两种边长后忽略验证三角形的构成条件，误选D。解题时要牢记：涉及等腰三角形边长的问题，求出边长后必须先检验是否满足三边关系，排除不符合的情况，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
4.已知一个三角形的两边长分别为2和7，第三边的长为整数，则第三边的长为
6或7或8
。答案
6或7或8
解析
【分析】
解决本题的核心是利用三角形三边的长度关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边满足的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边的长为x，根据上述关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再结合题目中“第三边的长为整数”的限定，在范围内筛选出所有符合要求的整数即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$ 7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2 $
化简得$ 5 ＜ x ＜ 9 $
因为第三边的长为整数，所以$ x $可取的整数值为6、7、8。
【答案】
6或7或8
【知识点】
三角形三边关系；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确列出第三边的取值范围，注意范围的边界值不能取，避免出现多算边界值的错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用三角形三边的长度关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边满足的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边的长为x，根据上述关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再结合题目中“第三边的长为整数”的限定，在范围内筛选出所有符合要求的整数即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$ 7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2 $
化简得$ 5 ＜ x ＜ 9 $
因为第三边的长为整数，所以$ x $可取的整数值为6、7、8。
【答案】
6或7或8
【知识点】
三角形三边关系；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确列出第三边的取值范围，注意范围的边界值不能取，避免出现多算边界值的错误。
【难度系数】
0.8
5.若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，
则它的周长为
则它的周长为
17
。答案
17
解析
【分析】
遇到等腰三角形已知两边长求周长的问题，首先要结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论已知的两条边分别作为腰的情况；其次需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），验证每种情况的三条边能否构成三角形，排除不符合的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长分别为3和7，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，则三边长为3、3、7，
因为$3+3=6 ＜ 7$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为7，则三边长为7、7、3，
因为$3+7=10 ＞ 7$，$7+7=14 ＞ 3$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长为$7+7+3=17$。
【答案】
17
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形边长类的常见易错题，解题的核心是先分类讨论腰的长度，再结合三边关系验证能否构成三角形，避免忽略三边限制直接计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
遇到等腰三角形已知两边长求周长的问题，首先要结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论已知的两条边分别作为腰的情况；其次需要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），验证每种情况的三条边能否构成三角形，排除不符合的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
解：已知等腰三角形的两边长分别为3和7，分两种情况讨论：
1. 若腰长为3，则三边长为3、3、7，
因为$3+3=6 ＜ 7$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为7，则三边长为7、7、3，
因为$3+7=10 ＞ 7$，$7+7=14 ＞ 3$，满足三角形三边关系，可构成三角形，
此时周长为$7+7+3=17$。
【答案】
17
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形边长类的常见易错题，解题的核心是先分类讨论腰的长度，再结合三边关系验证能否构成三角形，避免忽略三边限制直接计算得到错误结果。
【难度系数】
0.7
6.已知a,b,c是一个三角形的三边长，则$|b - c - a| + |a - b + c| - |a - b - c| =$
3a−3b+c
。答案
3a−3b+c
解析
【分析】
要解这道题，首先用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此判断每个绝对值内代数式的正负；再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号；最后合并同类项得到结果。思考时注意两点：一是先把绝对值内的式子变形为“两边之和减第三边”的形式，更方便判断正负；二是去绝对值时尤其注意第三个绝对值前带减号，不要算错符号。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，$b+c＞a$。
1. 判断各绝对值内式子的正负：
$b-c-a=b-(a+c)＜0$，$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
2. 依据绝对值的性质去绝对值：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|a-b+c|=a-b+c$
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
3. 代入原式化简计算：
$\begin{aligned}原式&=(-b+c+a)+(a-b+c)-(-a+b+c)\\&=a-b+c+a-b+c+a-b-c\\&=3a-3b+c\end{aligned}$
【答案】
$3a−3b+c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和整式化简结合考察，解题核心是准确利用三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值和去括号时要注意符号变化，避免因粗心算错符号失分。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此判断每个绝对值内代数式的正负；再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号；最后合并同类项得到结果。思考时注意两点：一是先把绝对值内的式子变形为“两边之和减第三边”的形式，更方便判断正负；二是去绝对值时尤其注意第三个绝对值前带减号，不要算错符号。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a+c＞b$，$b+c＞a$。
1. 判断各绝对值内式子的正负：
$b-c-a=b-(a+c)＜0$，$a-b+c=(a+c)-b＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$
2. 依据绝对值的性质去绝对值：
$|b-c-a|=-(b-c-a)=-b+c+a$
$|a-b+c|=a-b+c$
$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$
3. 代入原式化简计算：
$\begin{aligned}原式&=(-b+c+a)+(a-b+c)-(-a+b+c)\\&=a-b+c+a-b+c+a-b-c\\&=3a-3b+c\end{aligned}$
【答案】
$3a−3b+c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和整式化简结合考察，解题核心是准确利用三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值和去括号时要注意符号变化，避免因粗心算错符号失分。
【难度系数】
0.7
7.已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长为a。
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，则当a为何值时，此三角形的周长最大？最大值是多少？
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，则当a为何值时，此三角形的周长最大？最大值是多少？
答案
解:(1)因为三角形的两边长分别为3和6,第三边的长为a，所以6−3＜a＜6+3，即3＜a＜9。
(2)由(1)可知3＜a＜9,因为a为整数，所以当a=8时,此三角形的周长最大，此时周长为3+6+8=17。
(2)由(1)可知3＜a＜9,因为a为整数，所以当a=8时,此三角形的周长最大，此时周长为3+6+8=17。
解析
【分析】
（1）求第三边的取值范围需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。将已知的两边长3和6代入该不等关系，即可求出a的取值范围。
（2）三角形周长为三边长度之和，已知两条边长度固定，要使周长最大，需让第三边a取到取值范围内的最大值。结合a为整数的限制条件，找到a的最大整数值后代入周长公式计算即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。
已知两边长为3和6，第三边长为a，代入得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
计算得：$3 ＜ a ＜ 9$
(2) 由(1)可知$3 ＜ a ＜ 9$，且a为整数，因此a可取的最大值为8。
此时三角形的周长为：$3 + 6 + 8 = 17$
【答案】
(1) $3 ＜ a ＜ 9$；
(2) 当$a=8$时三角形周长最大，最大值为17。
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算；不等式整数解
【点评】
本题属于三角形的基础应用题，解题关键是熟记三角形三边的不等关系，结合限定条件即可快速求解，掌握三边关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
（1）求第三边的取值范围需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。将已知的两边长3和6代入该不等关系，即可求出a的取值范围。
（2）三角形周长为三边长度之和，已知两条边长度固定，要使周长最大，需让第三边a取到取值范围内的最大值。结合a为整数的限制条件，找到a的最大整数值后代入周长公式计算即可。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和。
已知两边长为3和6，第三边长为a，代入得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
计算得：$3 ＜ a ＜ 9$
(2) 由(1)可知$3 ＜ a ＜ 9$，且a为整数，因此a可取的最大值为8。
此时三角形的周长为：$3 + 6 + 8 = 17$
【答案】
(1) $3 ＜ a ＜ 9$；
(2) 当$a=8$时三角形周长最大，最大值为17。
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算；不等式整数解
【点评】
本题属于三角形的基础应用题，解题关键是熟记三角形三边的不等关系，结合限定条件即可快速求解，掌握三边关系是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
