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1. 某只动物在草地上跳跃的路径是一条抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，得到该动物跳跃时其重心的竖直高度$y$(单位：m)关于水平距离$x$(单位：m)的函数解析式为$y=-x^2+2x$，则此动物跳到重心最高的位置时的水平距离为（
A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
A
）。A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
答案
1. A
解析
【分析】
动物跳跃的路径是开口向下的抛物线，重心最高的位置对应抛物线的顶点，要求此时的水平距离，本质是求该抛物线顶点的横坐标。我们可以用两种九年级所学的方法求解：一是利用二次函数一般式的顶点横坐标公式直接计算，二是通过配方法将函数转化为顶点式得到横坐标。
【解析】
方法一：公式法
已知二次函数解析式为$y=-x^2+2x$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=2$。
二次函数顶点的横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
即重心最高时的水平距离为1m。
方法二：配方法
将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x\\&=-(x^2-2x)\\&=-(x^2-2x+1)+1\\&=-(x-1)^2+1\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(1,1)$，顶点横坐标为1，即重心最高时的水平距离为1m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；顶点坐标求解
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点问题，熟练掌握顶点坐标的计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
动物跳跃的路径是开口向下的抛物线，重心最高的位置对应抛物线的顶点，要求此时的水平距离，本质是求该抛物线顶点的横坐标。我们可以用两种九年级所学的方法求解：一是利用二次函数一般式的顶点横坐标公式直接计算，二是通过配方法将函数转化为顶点式得到横坐标。
【解析】
方法一：公式法
已知二次函数解析式为$y=-x^2+2x$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=-1$，$b=2$。
二次函数顶点的横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
即重心最高时的水平距离为1m。
方法二：配方法
将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x\\&=-(x^2-2x)\\&=-(x^2-2x+1)+1\\&=-(x-1)^2+1\end{aligned}$
可得抛物线顶点坐标为$(1,1)$，顶点横坐标为1，即重心最高时的水平距离为1m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；顶点坐标求解
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的基础应用，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点问题，熟练掌握顶点坐标的计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线.
他的跳跃高度 $y$(单位：$\mathrm{m}$)与跳跃时间 $x$(单位：$\mathrm{s}$)之间具有函数关系 $y=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}$，那么他能跳过的最大高度为(
A.$\dfrac{7}{5}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{m}$
C.$1\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{4}{5}\ \mathrm{m}$
他的跳跃高度 $y$(单位：$\mathrm{m}$)与跳跃时间 $x$(单位：$\mathrm{s}$)之间具有函数关系 $y=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}$，那么他能跳过的最大高度为(
A
).A.$\dfrac{7}{5}\ \mathrm{m}$
B.$\dfrac{8}{5}\ \mathrm{m}$
C.$1\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{4}{5}\ \mathrm{m}$
答案
2. A
解析
【分析】
本题要求跳高的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数的二次项系数$a=-\dfrac{3}{5}＜0$，可知抛物线开口向下，函数的最大值就是抛物线顶点的纵坐标，因此我们只需要通过配方法或者顶点坐标公式求出二次函数顶点的纵坐标即可得到答案。
【解析】
已知函数关系式为$y=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}$，其中$a=-\dfrac{3}{5}＜0$，因此该二次函数开口向下，存在最大值。
用配方法化简函数：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x^2-2x)+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x^2-2x+1-1)+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}[(x-1)^2-1]+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x-1)^2+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x-1)^2+\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{7}{5}\ \mathrm{m}$，对应选项A。
（也可使用顶点纵坐标公式验证：对于$y=ax^2+bx+c$，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-\dfrac{3}{5},b=\dfrac{6}{5},c=\dfrac{4}{5}$，计算得结果同样为$\dfrac{7}{5}$。）
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值、二次函数的性质、配方法
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题，核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值问题，只要掌握二次函数最值的求解方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题要求跳高的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数的二次项系数$a=-\dfrac{3}{5}＜0$，可知抛物线开口向下，函数的最大值就是抛物线顶点的纵坐标，因此我们只需要通过配方法或者顶点坐标公式求出二次函数顶点的纵坐标即可得到答案。
【解析】
已知函数关系式为$y=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}$，其中$a=-\dfrac{3}{5}＜0$，因此该二次函数开口向下，存在最大值。
用配方法化简函数：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x^2-2x)+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x^2-2x+1-1)+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}[(x-1)^2-1]+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x-1)^2+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\\&=-\dfrac{3}{5}(x-1)^2+\dfrac{7}{5}\end{aligned}$
当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\dfrac{7}{5}\ \mathrm{m}$，对应选项A。
（也可使用顶点纵坐标公式验证：对于$y=ax^2+bx+c$，最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-\dfrac{3}{5},b=\dfrac{6}{5},c=\dfrac{4}{5}$，计算得结果同样为$\dfrac{7}{5}$。）
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值、二次函数的性质、配方法
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类基础题，核心是将实际问题中的“最大高度”转化为二次函数的最大值问题，只要掌握二次函数最值的求解方法，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
