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3. 小君在课后探究学习中遇到一个函数$y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$，她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题：
(1)函数$y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$的自变量$x$的取值范围是
(2)小君写出该函数$x$与$y$的部分对应值如下表：
①$m$的值为
②小君发现该函数的图象关于$y$轴对称，并用软件画出了该函数在$x≥0$时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
(3)写出方程$\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2 = -\frac{9}{10}$最小的解的近似值：
(4)过点$(0, n)$作垂直于$y$轴的直线$l$，若直线$l$与函数$y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$的图象有两个公共点，则$n$的取值范围是
(1)函数$y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$的自变量$x$的取值范围是
所有实数
.(2)小君写出该函数$x$与$y$的部分对应值如下表：
①$m$的值为
$-\frac{5}{16}$
；②小君发现该函数的图象关于$y$轴对称，并用软件画出了该函数在$x≥0$时的图象，请在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
(3)写出方程$\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2 = -\frac{9}{10}$最小的解的近似值：
$-1.8$
（结果精确到0.1）.(4)过点$(0, n)$作垂直于$y$轴的直线$l$，若直线$l$与函数$y=\frac{1}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^2$的图象有两个公共点，则$n$的取值范围是
$n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$
.答案
3. (1) 所有实数 (2)①$-\frac{5}{16}$ ②如图所示
. (3) $-1.8$[提示：画直线$y=-0.9$，方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$最小的解接近$-2$.∵当$x=-1.7$时，$y=\frac{1}{3}×(-1.7)^4-\frac{4}{3}×(-1.7)^2≈-1.07$；当$x=-1.8$时，$y=\frac{1}{3}×(-1.8)^4-\frac{4}{3}×(-1.8)^2≈-0.83$；当$x=-1.9$时，$y=\frac{1}{3}×(-1.9)^4-\frac{4}{3}×(-1.9)^2≈-0.46$，
∴由图象可知，方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$最小的解的近似值为$-1.8$.] (4)$n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$[提示：
∵$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=\frac{1}{3}(x^4-4x^2)=\frac{1}{3}(x^2-2)^2-\frac{4}{3}$，
∴当$x^2=2$，即$x=±\sqrt{2}$时，$y$有最小值为$-\frac{4}{3}$. 由图象可知，当$n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$时，直线$l$与函数$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2$的图象有两个公共点.]
解析
【分析】
(1) 该函数表达式是整式，整式函数的自变量没有取值限制，因此x可取所有实数。
(2) ①函数中x均为偶次幂，可直接代入对应x的值计算m，也可利用函数关于y轴对称的性质，x与-x的函数值相等进行计算；②补全图象时，利用函数关于y轴对称的性质，将x≥0的部分沿y轴翻折，即可得到x＜0的图象。
(3) 方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$的解就是直线$y=-\frac{9}{10}$与函数图象交点的横坐标，最小的解对应最左侧交点的x值，通过计算x在-2附近的函数值，结合图象判断近似值即可。
(4) 先将函数配方求出最值，再结合图象观察水平线$y=n$与函数图象有2个交点时n的取值：当n等于函数最小值时对应2个交点，当n＞0时正负半轴各1个交点，共2个，其余情况交点数均不为2。
【解析】
(1) 函数$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2$属于整式函数，整式中自变量的取值范围为全体实数，因此x的取值范围是所有实数。
(2) ①代入对应x的值计算：
$y=\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^4-\frac{4}{3}×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{48}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{16}$，即$m=-\frac{5}{16}$。
②因为函数图象关于y轴对称，将x≥0部分的图象沿y轴翻折，即可得到x＜0部分的图象，补全后如图所示。
(3) 方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$等价于求函数值为-0.9时对应的x值，最小的解为最左侧交点的横坐标：
计算得，当x=-1.7时，$y≈-1.07$；当x=-1.8时，$y≈-0.83$，-0.9介于两个函数值之间，更接近x=-1.8对应的函数值，因此最小解的近似值为-1.8。
(4) 对函数进行配方：
$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=\frac{1}{3}(x^4-4x^2)=\frac{1}{3}(x^2-2)^2-\frac{4}{3}$
当$x^2=2$即$x=±\sqrt{2}$时，y取得最小值$-\frac{4}{3}$，此时直线$y=n$与图象有2个交点；
观察图象可知，当n＞0时，直线$y=n$与图象在x正、负半轴各有1个交点，共2个交点；
当$-\frac{4}{3}＜n＜0$时有4个交点，当n=0时有3个交点，当$n＜-\frac{4}{3}$时无交点。
因此n的取值范围是$n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$。
【答案】
(1) 所有实数
(2) ①$-\frac{5}{16}$；②
(3) $-1.8$
(4) $n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$
【知识点】
函数自变量取值范围；函数图象的对称性；函数与方程的关系
【点评】
本题以高次函数为载体，类比二次函数的探究方法考查函数的相关性质，注重对知识迁移能力、数形结合思想的考查，需要学生结合图象分析解决问题，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 该函数表达式是整式，整式函数的自变量没有取值限制，因此x可取所有实数。
(2) ①函数中x均为偶次幂，可直接代入对应x的值计算m，也可利用函数关于y轴对称的性质，x与-x的函数值相等进行计算；②补全图象时，利用函数关于y轴对称的性质，将x≥0的部分沿y轴翻折，即可得到x＜0的图象。
(3) 方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$的解就是直线$y=-\frac{9}{10}$与函数图象交点的横坐标，最小的解对应最左侧交点的x值，通过计算x在-2附近的函数值，结合图象判断近似值即可。
(4) 先将函数配方求出最值，再结合图象观察水平线$y=n$与函数图象有2个交点时n的取值：当n等于函数最小值时对应2个交点，当n＞0时正负半轴各1个交点，共2个，其余情况交点数均不为2。
【解析】
(1) 函数$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2$属于整式函数，整式中自变量的取值范围为全体实数，因此x的取值范围是所有实数。
(2) ①代入对应x的值计算：
$y=\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^4-\frac{4}{3}×(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{48}-\frac{1}{3}=-\frac{5}{16}$，即$m=-\frac{5}{16}$。
②因为函数图象关于y轴对称，将x≥0部分的图象沿y轴翻折，即可得到x＜0部分的图象，补全后如图所示
。(3) 方程$\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=-\frac{9}{10}$等价于求函数值为-0.9时对应的x值，最小的解为最左侧交点的横坐标：
计算得，当x=-1.7时，$y≈-1.07$；当x=-1.8时，$y≈-0.83$，-0.9介于两个函数值之间，更接近x=-1.8对应的函数值，因此最小解的近似值为-1.8。
(4) 对函数进行配方：
$y=\frac{1}{3}x^4-\frac{4}{3}x^2=\frac{1}{3}(x^4-4x^2)=\frac{1}{3}(x^2-2)^2-\frac{4}{3}$
当$x^2=2$即$x=±\sqrt{2}$时，y取得最小值$-\frac{4}{3}$，此时直线$y=n$与图象有2个交点；
观察图象可知，当n＞0时，直线$y=n$与图象在x正、负半轴各有1个交点，共2个交点；
当$-\frac{4}{3}＜n＜0$时有4个交点，当n=0时有3个交点，当$n＜-\frac{4}{3}$时无交点。
因此n的取值范围是$n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$。
【答案】
(1) 所有实数
(2) ①$-\frac{5}{16}$；②
(3) $-1.8$
(4) $n=-\frac{4}{3}$或$n＞0$
【知识点】
函数自变量取值范围；函数图象的对称性；函数与方程的关系
【点评】
本题以高次函数为载体，类比二次函数的探究方法考查函数的相关性质，注重对知识迁移能力、数形结合思想的考查，需要学生结合图象分析解决问题，综合性较强。
【难度系数】
0.6
