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3. 用一根长为20 m的绳子围成一个矩形. 设矩形的一边长为x(单位：m)，面积为y(单位：m²)，则y关于x的函数解析式为
$y=-x^2+10x$
，围成的矩形的最大面积是25
m².答案
3. $y=-x^2+10x$ 25
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先根据矩形周长公式，结合已知的一边长x，求出矩形相邻边的长度；第二步利用矩形面积公式列出面积y与x的关系式，整理得到函数解析式。要求最大面积时，观察得到的解析式是开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得，结合二次函数的顶点公式或配方法即可求出最大面积。
【解析】
解：
∵绳子的长度为矩形的周长，周长为20m，矩形的一边长为x m，
∴矩形相邻的另一边长为：$20÷2 - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = x(10 - x) = -x^2 + 10x$，其中自变量x的取值范围为$0＜x＜10$。
接下来求最大面积：
对函数解析式配方可得：$y = -x^2 +10x = -(x^2 -10x +25) +25 = -(x-5)^2 +25$
∵二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=5$时，y取得最大值，最大值为25。
即围成的矩形最大面积为25 $m^2$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；25
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的基础应用，核心考查学生建立函数模型的能力，以及运用二次函数性质求解最值的能力，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步先根据矩形周长公式，结合已知的一边长x，求出矩形相邻边的长度；第二步利用矩形面积公式列出面积y与x的关系式，整理得到函数解析式。要求最大面积时，观察得到的解析式是开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得，结合二次函数的顶点公式或配方法即可求出最大面积。
【解析】
解：
∵绳子的长度为矩形的周长，周长为20m，矩形的一边长为x m，
∴矩形相邻的另一边长为：$20÷2 - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = x(10 - x) = -x^2 + 10x$，其中自变量x的取值范围为$0＜x＜10$。
接下来求最大面积：
对函数解析式配方可得：$y = -x^2 +10x = -(x^2 -10x +25) +25 = -(x-5)^2 +25$
∵二次项系数$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=5$时，y取得最大值，最大值为25。
即围成的矩形最大面积为25 $m^2$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；25
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；矩形的周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的基础应用，核心考查学生建立函数模型的能力，以及运用二次函数性质求解最值的能力，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
4. 九(1)班举办了贺卡设计活动，小明挑选了他最喜欢的一张图片制作了一张如图所示的矩形贺卡. 已知该贺卡的宽为$x$(单位：cm)，长为40 cm，左侧图片部分的长比宽多4 cm. 若$14≤ x≤16$，则右侧留言部分的面积最大为
320
$\mathrm{cm}^2$. 答案
4. 320
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据图形的边长关系，写出右侧留言部分面积关于x的表达式；接着将表达式整理为二次函数的标准形式，分析二次函数的开口方向和对称轴，判断函数在给定自变量范围14≤x≤16内的单调性；最后找到使面积最大的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
设右侧留言部分的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知：
右侧留言部分的宽为$x\ \mathrm{cm}$，长为$40-(x+4)=(36-x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=x(36-x)=-x^2+36x$
这是一个二次函数，其中$a=-1＜0$，函数图像开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2×(-1)}=18$。
因此当$x＜18$时，$S$随$x$的增大而增大。
已知$14≤ x≤16$，该区间在对称轴左侧，因此当$x$取最大值16时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-16^2+36×16=-256+576=320$
【答案】
320
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是结合几何图形的边长关系正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的单调性和自变量的取值范围求解最值，需注意不能直接套用顶点公式求最值，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据图形的边长关系，写出右侧留言部分面积关于x的表达式；接着将表达式整理为二次函数的标准形式，分析二次函数的开口方向和对称轴，判断函数在给定自变量范围14≤x≤16内的单调性；最后找到使面积最大的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
设右侧留言部分的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知：
右侧留言部分的宽为$x\ \mathrm{cm}$，长为$40-(x+4)=(36-x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=x(36-x)=-x^2+36x$
这是一个二次函数，其中$a=-1＜0$，函数图像开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{36}{2×(-1)}=18$。
因此当$x＜18$时，$S$随$x$的增大而增大。
已知$14≤ x≤16$，该区间在对称轴左侧，因此当$x$取最大值16时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=-16^2+36×16=-256+576=320$
【答案】
320
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是结合几何图形的边长关系正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的单调性和自变量的取值范围求解最值，需注意不能直接套用顶点公式求最值，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
5. 如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示. 升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线形，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2 m高时，喷射的水柱在距升降杆1 m处到达最高位置，高度为2.25 m，此时喷射的水柱落地点与O的距离为
（单位：m）
4
m.（单位：m）
答案
5. 4
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的典型题目，解题思路如下：首先结合题目给出的坐标系，确定抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，且抛物线过喷头所在点(0,2)；其次选择顶点式设抛物线的解析式，代入已知点求出解析式的未知系数；最后落地点的纵坐标为0，将y=0代入解析式求出对应的正横坐标值，就是落地点与O的距离。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,2.25)$，且过点$H(0,2)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$）
将$(0,2)$代入解析式得：
$2=a(0-1)^2+2.25$
解得：$a=-0.25$
因此抛物线解析式为：$y=-0.25(x-1)^2+2.25$
落地点处水柱高度为0，令$y=0$，代入得：
$0=-0.25(x-1)^2+2.25$
整理得：$(x-1)^2=9$
解得：$x_1=4$，$x_2=-2$（不符合实际，舍去）
即落地点与O的距离为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，核心是根据已知条件准确求出抛物线解析式，再结合实际问题的取值范围求解，需要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际问题的典型题目，解题思路如下：首先结合题目给出的坐标系，确定抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，且抛物线过喷头所在点(0,2)；其次选择顶点式设抛物线的解析式，代入已知点求出解析式的未知系数；最后落地点的纵坐标为0，将y=0代入解析式求出对应的正横坐标值，就是落地点与O的距离。
【解析】
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为$(1,2.25)$，且过点$H(0,2)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$）
将$(0,2)$代入解析式得：
$2=a(0-1)^2+2.25$
解得：$a=-0.25$
因此抛物线解析式为：$y=-0.25(x-1)^2+2.25$
落地点处水柱高度为0，令$y=0$，代入得：
$0=-0.25(x-1)^2+2.25$
整理得：$(x-1)^2=9$
解得：$x_1=4$，$x_2=-2$（不符合实际，舍去）
即落地点与O的距离为4m。
【答案】
4
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，核心是根据已知条件准确求出抛物线解析式，再结合实际问题的取值范围求解，需要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
6. 某同学推铅球，铅球行进高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与水平距离$x$(单位：$\mathrm{m}$)之间的关系是$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$，铅球运行路线如图所示.
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$.
(1)求铅球推出的水平距离；
(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$.
答案
(1)令$y=0$，可得$-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$(不合题意，舍去)。故水平距离$OA=10\ \mathrm{m}$。(2)由$x=-\dfrac{b}{2a}$可知，对称轴为直线$x=4$。当$x=4$时，$y_{\mathrm{最大}}=-\dfrac{1}{12}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+\dfrac{5}{3}=3＜4$，所以铅球行进高度不能达到4 m。
解析
【分析】
(1)铅球落地时行进高度$y=0$，此时对应的正水平距离$x$就是铅球推出的水平距离，因此只需令$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
(2)要判断铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$，可先求二次函数的最大高度：该二次函数开口向下，顶点处$y$取最大值，先求出对称轴，代入解析式算出最大值后和$4\ \mathrm{m}$比较即可。
【解析】
(1)当铅球落地时$y=0$，代入函数解析式得：
$-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}=0$
两边同乘12去分母整理得：$x^2-8x-20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$
水平距离不能为负，因此$x=-2$舍去，即铅球推出的水平距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2)二次函数$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$中$a=-\dfrac{1}{12}＜0$，函数图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2×(-\dfrac{1}{12})}=4$
将$x=4$代入解析式得最大值：
$y_{\mathrm{最大}}=-\dfrac{1}{12}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+\dfrac{5}{3}=3\ \mathrm{m}$
因为$3＜4$，所以铅球行进高度不能达到$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$10\ \mathrm{m}$；
(2)不能达到$4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的基础应用，解题时需结合实际意义判断变量的取值合理性，掌握二次函数顶点的求解方法和二次函数与一元二次方程的对应关系即可解题。
【难度系数】
0.8
(1)铅球落地时行进高度$y=0$，此时对应的正水平距离$x$就是铅球推出的水平距离，因此只需令$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根即可得到结果。
(2)要判断铅球行进高度能否达到$4\ \mathrm{m}$，可先求二次函数的最大高度：该二次函数开口向下，顶点处$y$取最大值，先求出对称轴，代入解析式算出最大值后和$4\ \mathrm{m}$比较即可。
【解析】
(1)当铅球落地时$y=0$，代入函数解析式得：
$-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}=0$
两边同乘12去分母整理得：$x^2-8x-20=0$
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$
水平距离不能为负，因此$x=-2$舍去，即铅球推出的水平距离为$10\ \mathrm{m}$。
(2)二次函数$y=-\dfrac{1}{12}x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}$中$a=-\dfrac{1}{12}＜0$，函数图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2×(-\dfrac{1}{12})}=4$
将$x=4$代入解析式得最大值：
$y_{\mathrm{最大}}=-\dfrac{1}{12}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+\dfrac{5}{3}=3\ \mathrm{m}$
因为$3＜4$，所以铅球行进高度不能达到$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$10\ \mathrm{m}$；
(2)不能达到$4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的基础应用，解题时需结合实际意义判断变量的取值合理性，掌握二次函数顶点的求解方法和二次函数与一元二次方程的对应关系即可解题。
【难度系数】
0.8
