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1. 某型号飞机着陆后滑行的距离$y$(单位：m)关于滑行时间$x$(单位：s)的函数解析式是$y=60x-1.5x^2$，该型号飞机着陆后滑行了
600
m才能停下来。答案
1. 600
解析
【分析】
飞机着陆后滑行直到停下来的过程中，滑行距离逐渐增大，停下来时滑行距离达到最大值，因此本题本质是求二次函数$y=60x-1.5x^2$的最大值。我们可以将二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向判断最值位置，进而求出最大滑行距离。
【解析】
首先将函数整理为标准二次函数形式，再进行配方：
$y=60x-1.5x^2=-1.5x^2+60x$
提取二次项系数：
$y=-1.5(x^2-40x)$
对括号内的式子配方：
$y=-1.5(x^2-40x+400-400)=-1.5[(x-20)^2-400]$
展开得到顶点式：
$y=-1.5(x-20)^2+600$
$\because$ 二次项系数$-1.5＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点为函数最高点，即当$x=20$时，$y$取得最大值600，对应飞机滑行20s后停下来，总滑行距离为600m。
【答案】
600
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题核心是将实际场景中的“停下来”转化为二次函数取最大值的条件，结合二次函数顶点式求最值的方法即可求解，是二次函数实际应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
飞机着陆后滑行直到停下来的过程中，滑行距离逐渐增大，停下来时滑行距离达到最大值，因此本题本质是求二次函数$y=60x-1.5x^2$的最大值。我们可以将二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向判断最值位置，进而求出最大滑行距离。
【解析】
首先将函数整理为标准二次函数形式，再进行配方：
$y=60x-1.5x^2=-1.5x^2+60x$
提取二次项系数：
$y=-1.5(x^2-40x)$
对括号内的式子配方：
$y=-1.5(x^2-40x+400-400)=-1.5[(x-20)^2-400]$
展开得到顶点式：
$y=-1.5(x-20)^2+600$
$\because$ 二次项系数$-1.5＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点为函数最高点，即当$x=20$时，$y$取得最大值600，对应飞机滑行20s后停下来，总滑行距离为600m。
【答案】
600
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题核心是将实际场景中的“停下来”转化为二次函数取最大值的条件，结合二次函数顶点式求最值的方法即可求解，是二次函数实际应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，矩形ABCD的边长AB＝3 cm，AD＝16 cm，点P，Q分别从点A，D同时出发，点P在边AD上沿AD方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q在边CD上沿DC方向以1 cm/s的速度匀速运动.设运动时间为x(单位：s)，△PDQ的面积为y(单位：cm²).
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)求△PDQ面积的最大值.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)求△PDQ面积的最大值.
答案
(1)$y=-x^2+8x(0＜x≤3)$；(2)$△ PDQ$面积的最大值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 先根据点P、Q的运动速度和运动时间，表示出△PDQ的两条直角边PD、DQ的长度，再利用直角三角形面积公式推导y与x的函数关系；结合点Q的运动上限（CD的总长度）和运动时间的实际意义确定x的取值范围。(2) 先判断二次函数的开口方向与对称轴，再结合x的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出面积的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知：点P运动x秒的路程$AP=2x\ \mathrm{cm}$，点Q运动x秒的路程$DQ=x\ \mathrm{cm}$。
∵ $AD=16\ \mathrm{cm}$，
∴ $PD=AD-AP=(16-2x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ D=90°$，$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PDQ$的面积$y=\frac{1}{2}· PD· DQ=\frac{1}{2}×(16-2x)· x$，
化简得：$y=-x^2+8x$。
∵ 点Q在CD上运动，最多运动到点C，且运动时间大于0，
∴ $0＜x≤3$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+8x(0＜x≤3)$。
(2) 对于二次函数$y=-x^2+8x$，
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-1)}=4$，
∴ 当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而增大，
结合$x$的取值范围$0＜x≤3$，可知当$x=3$时，$y$取得最大值，
代入得：$y=-3^2+8×3=15$，即最大值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$y=-x^2+8x(0＜x≤3)$；(2)$△ PDQ$面积的最大值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；动点问题；二次函数的性质
【点评】
本题结合动点场景考查二次函数的实际应用，解题时要注意先结合实际运动情况确定自变量的取值范围，求最值时不能直接代入顶点坐标计算，要结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值点。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据点P、Q的运动速度和运动时间，表示出△PDQ的两条直角边PD、DQ的长度，再利用直角三角形面积公式推导y与x的函数关系；结合点Q的运动上限（CD的总长度）和运动时间的实际意义确定x的取值范围。(2) 先判断二次函数的开口方向与对称轴，再结合x的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出面积的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知：点P运动x秒的路程$AP=2x\ \mathrm{cm}$，点Q运动x秒的路程$DQ=x\ \mathrm{cm}$。
∵ $AD=16\ \mathrm{cm}$，
∴ $PD=AD-AP=(16-2x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ D=90°$，$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $△ PDQ$的面积$y=\frac{1}{2}· PD· DQ=\frac{1}{2}×(16-2x)· x$，
化简得：$y=-x^2+8x$。
∵ 点Q在CD上运动，最多运动到点C，且运动时间大于0，
∴ $0＜x≤3$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+8x(0＜x≤3)$。
(2) 对于二次函数$y=-x^2+8x$，
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-1)}=4$，
∴ 当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而增大，
结合$x$的取值范围$0＜x≤3$，可知当$x=3$时，$y$取得最大值，
代入得：$y=-3^2+8×3=15$，即最大值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)$y=-x^2+8x(0＜x≤3)$；(2)$△ PDQ$面积的最大值为$15\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；动点问题；二次函数的性质
【点评】
本题结合动点场景考查二次函数的实际应用，解题时要注意先结合实际运动情况确定自变量的取值范围，求最值时不能直接代入顶点坐标计算，要结合自变量的取值范围和函数增减性判断最值点。
【难度系数】
0.7
3. 某校田径运动场的示意图如图所示，其中AB和CD为直线跑道，两端为半圆形跑道.
(1)如果田径运动场的总长为400 m，其中AB=CD=100 m，试计算内部操场矩形ABCD的面积.
(2)如果田径运动场的总长为300 m，要使内部操场矩形ABCD的面积最大，应将直线跑道设计为多长？操场的最大面积是多少？
(1)如果田径运动场的总长为400 m，其中AB=CD=100 m，试计算内部操场矩形ABCD的面积.
(2)如果田径运动场的总长为300 m，要使内部操场矩形ABCD的面积最大，应将直线跑道设计为多长？操场的最大面积是多少？
答案
(1)两个半圆形跑道的周长为$400-2×100=200(\mathrm{m})$，所以直径$AD=\dfrac{200}{π}\ \mathrm{m}$，所以操场的面积为$AB· AD=100×\dfrac{200}{π}=\dfrac{20\ 000}{π}(\mathrm{m}^2)$。(2)设$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，则$AD=\dfrac{300-2x}{π}\ \mathrm{m}$。所以操场的面积$S=AB· AD=x·\dfrac{300-2x}{π}=\dfrac{2}{π}x(150-x)=\dfrac{2}{π}(-x^2+150x)$。当$x=-\dfrac{150}{-2}=75$时，$S_{\mathrm{最大}}=\dfrac{2}{π}×75×75=\dfrac{11\ 250}{π}$。即将直线跑道设计为75 m时，操场的面积最大，最大面积为$\dfrac{11\ 250}{π}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 首先明确田径运动场总长由两段直道和两个半圆形跑道组成，两个半圆形可拼成一个完整的圆。先计算出两个半圆的总长度即圆的周长，再根据圆的周长公式求出直径AD的长度，最后用矩形面积公式计算即可得到结果。
(2) 要求矩形面积最大值，先设直道长度为x m，用总长减去两段直道长度得到圆的周长，进而得到直径AD关于x的表达式，再将矩形面积表示为关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
(1) 两个半圆形跑道的总长度为：
$400-2×100=200(\mathrm{m})$，即拼成的整圆周长为200 m。
根据圆的周长公式$C=π d$（d为直径），可得直径$AD=\dfrac{200}{π}\ \mathrm{m}$。
矩形ABCD的面积为：
$S=AB· AD=100×\dfrac{200}{π}=\dfrac{20000}{π}(\mathrm{m}^2)$。
(2) 设直线跑道$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，则两个半圆形跑道总长度为$(300-2x)\ \mathrm{m}$，即圆的周长为$(300-2x)\ \mathrm{m}$。
可得直径$AD=\dfrac{300-2x}{π}\ \mathrm{m}$。
矩形面积$S=x·\dfrac{300-2x}{π}=\dfrac{2}{π}(-x^2+150x)$，这是开口向下的二次函数。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时取最大值，代入得$x=\dfrac{150}{2}=75$时，S最大。
最大面积为$S_{\mathrm{最大}}=\dfrac{2}{π}×75×75=\dfrac{11250}{π}(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $\dfrac{20000}{π}\ \mathrm{m}^2$；
(2) 直线跑道设计为75 m时面积最大，最大面积为$\dfrac{11250}{π}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
圆的周长计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活场景，同时考查了几何图形的周长、面积计算和二次函数最值的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为函数模型，再利用对应性质求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确田径运动场总长由两段直道和两个半圆形跑道组成，两个半圆形可拼成一个完整的圆。先计算出两个半圆的总长度即圆的周长，再根据圆的周长公式求出直径AD的长度，最后用矩形面积公式计算即可得到结果。
(2) 要求矩形面积最大值，先设直道长度为x m，用总长减去两段直道长度得到圆的周长，进而得到直径AD关于x的表达式，再将矩形面积表示为关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求解即可。
【解析】
(1) 两个半圆形跑道的总长度为：
$400-2×100=200(\mathrm{m})$，即拼成的整圆周长为200 m。
根据圆的周长公式$C=π d$（d为直径），可得直径$AD=\dfrac{200}{π}\ \mathrm{m}$。
矩形ABCD的面积为：
$S=AB· AD=100×\dfrac{200}{π}=\dfrac{20000}{π}(\mathrm{m}^2)$。
(2) 设直线跑道$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，则两个半圆形跑道总长度为$(300-2x)\ \mathrm{m}$，即圆的周长为$(300-2x)\ \mathrm{m}$。
可得直径$AD=\dfrac{300-2x}{π}\ \mathrm{m}$。
矩形面积$S=x·\dfrac{300-2x}{π}=\dfrac{2}{π}(-x^2+150x)$，这是开口向下的二次函数。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$，当$x=-\dfrac{b}{2a}$时取最大值，代入得$x=\dfrac{150}{2}=75$时，S最大。
最大面积为$S_{\mathrm{最大}}=\dfrac{2}{π}×75×75=\dfrac{11250}{π}(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $\dfrac{20000}{π}\ \mathrm{m}^2$；
(2) 直线跑道设计为75 m时面积最大，最大面积为$\dfrac{11250}{π}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
圆的周长计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活场景，同时考查了几何图形的周长、面积计算和二次函数最值的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为函数模型，再利用对应性质求解。
【难度系数】
0.7
