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4. 某次投篮，小明成功命中篮筐. 如图所示，已知小明的出手点P离地面高度OP为2 m，篮筐中心A到点O的水平距离OB为5 m，离地面高度AB为3 m. 通过对照片中篮球位置的测量，发现在篮球运动的过程中，当水平距离为1 m时，篮球的高度恰好为3 m. 假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分，根据以上信息完成下列问题.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求篮球运动路线的最高点C离地面的距离；
(3)如果球员小亮准备站在点O与点B之间的线段上(不包括点O和点B)拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为3 m，请求出他能成功拦截的位置范围.(篮球比赛规则中，篮球在经过最高点后下落过程拦截是干扰球，违规.)
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求篮球运动路线的最高点C离地面的距离；
(3)如果球员小亮准备站在点O与点B之间的线段上(不包括点O和点B)拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为3 m，请求出他能成功拦截的位置范围.(篮球比赛规则中，篮球在经过最高点后下落过程拦截是干扰球，违规.)
答案
4. 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。由题意得抛物线过点$(0,2)$，$(1,3)$，$(5,3)$，将各点坐标代入得$\begin{cases} c=2, \\ a+b+c=3, \\ 25a+5b+c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{5}, \\ b=\dfrac{6}{5}, \\ c=2. \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$。(2)$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=-\dfrac{1}{5}(x^2-6x)+2=-\dfrac{1}{5}(x-3)^2+\dfrac{19}{5}$，
∴篮球最高点C离地面的距离为$\dfrac{19}{5}\ \mathrm{m}$。(3)设小亮站在水平距离$x\ \mathrm{m}$处，此时篮球的高度为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$，要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于3 m，就能拦截成功。当$-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=3$时，解得$x=1$或$x=5$。
∵抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。篮球在$0＜x≤3$时处于上升过程，$3＜x＜5$时处于下落过程。根据规则，只能在上升过程拦截，
∴当$0＜x≤1$时，篮球的高度不超过3 m，小亮可以成功拦截。
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$。(2)$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=-\dfrac{1}{5}(x^2-6x)+2=-\dfrac{1}{5}(x-3)^2+\dfrac{19}{5}$，
∴篮球最高点C离地面的距离为$\dfrac{19}{5}\ \mathrm{m}$。(3)设小亮站在水平距离$x\ \mathrm{m}$处，此时篮球的高度为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$，要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于3 m，就能拦截成功。当$-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=3$时，解得$x=1$或$x=5$。
∵抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。篮球在$0＜x≤3$时处于上升过程，$3＜x＜5$时处于下落过程。根据规则，只能在上升过程拦截，
∴当$0＜x≤1$时，篮球的高度不超过3 m，小亮可以成功拦截。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求抛物线解析式：先根据题意确定抛物线上三个已知点的坐标，设二次函数一般式，将三点坐标代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到解析式；
(2) 求最高点高度：将得到的一般式通过配方转化为顶点式，顶点的纵坐标就是最高点离地面的距离；
(3) 求拦截位置范围：首先根据拦截最大高度为3m，求出高度为3m时对应的x值，再结合“下落过程拦截属于违规”的规则，取x在对称轴左侧的区间，同时结合站位在O、B之间的限制，最终得到可拦截的位置范围。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，由题意可知抛物线过点$(0,2)$、$(1,3)$、$(5,3)$，将三点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} c=2, \\ a+b+c=3, \\ 25a+5b+c=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{5}, \\ b=\dfrac{6}{5}, \\ c=2. \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$。
(2) 将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=-\dfrac{1}{5}(x^2-6x)+2=-\dfrac{1}{5}(x-3)^2+\dfrac{19}{5}$
顶点的纵坐标即为最高点高度。
(3) 设小亮站在水平距离O点$x\ \mathrm{m}$处，要拦截成功，需篮球高度不超过3m，且篮球处于上升过程。
令$y=3$，即$-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=3$，解得$x=1$或$x=5$。
已知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，因此当$0＜x≤3$时篮球处于上升阶段，$3＜x＜5$时处于下落阶段（下落拦截违规），结合站位要求$0＜x＜5$，可得符合拦截要求的x范围。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$
(2) $\dfrac{19}{5}\ \mathrm{m}$
(3) 站在距离O点大于0m且不超过1m的位置可成功拦截（或$0＜x≤1$）
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象与性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的坐标信息，同时要注意题干中“下落过程拦截违规”的限制条件，避免忽略约束导致结果出错，能够较好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求抛物线解析式：先根据题意确定抛物线上三个已知点的坐标，设二次函数一般式，将三点坐标代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到解析式；
(2) 求最高点高度：将得到的一般式通过配方转化为顶点式，顶点的纵坐标就是最高点离地面的距离；
(3) 求拦截位置范围：首先根据拦截最大高度为3m，求出高度为3m时对应的x值，再结合“下落过程拦截属于违规”的规则，取x在对称轴左侧的区间，同时结合站位在O、B之间的限制，最终得到可拦截的位置范围。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，由题意可知抛物线过点$(0,2)$、$(1,3)$、$(5,3)$，将三点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} c=2, \\ a+b+c=3, \\ 25a+5b+c=3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{5}, \\ b=\dfrac{6}{5}, \\ c=2. \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$。
(2) 将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=-\dfrac{1}{5}(x^2-6x)+2=-\dfrac{1}{5}(x-3)^2+\dfrac{19}{5}$
顶点的纵坐标即为最高点高度。
(3) 设小亮站在水平距离O点$x\ \mathrm{m}$处，要拦截成功，需篮球高度不超过3m，且篮球处于上升过程。
令$y=3$，即$-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2=3$，解得$x=1$或$x=5$。
已知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，因此当$0＜x≤3$时篮球处于上升阶段，$3＜x＜5$时处于下落阶段（下落拦截违规），结合站位要求$0＜x＜5$，可得符合拦截要求的x范围。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{6}{5}x+2$
(2) $\dfrac{19}{5}\ \mathrm{m}$
(3) 站在距离O点大于0m且不超过1m的位置可成功拦截（或$0＜x≤1$）
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象与性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是准确提取题干中的坐标信息，同时要注意题干中“下落过程拦截违规”的限制条件，避免忽略约束导致结果出错，能够较好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
