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1. 某商品现在的售价为每件 50 元，每星期可卖出 90 件. 经过市场调查发现：每降价 1 元，每星期可多卖出 15 件. 已知商品的进价为每件 30 元，设每件降价 $ x $(单位：元)，每星期售出商品的利润为 $ y $(单位：元)，则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为(
A.$ y=(50-x)(90+15x)-30x $
B.$ y=(50-30-x)(90+15x) $
C.$ y=(50-30-x)(90-15x) $
D.$ y=(50-x)(90-15x)-30x $
B
).A.$ y=(50-x)(90+15x)-30x $
B.$ y=(50-30-x)(90+15x) $
C.$ y=(50-30-x)(90-15x) $
D.$ y=(50-x)(90-15x)-30x $
答案
1. B
解析
【分析】
要推导利润y关于降价x的函数解析式，首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们只需要分别求出降价x元后的单件利润、总销售量，再代入等量关系即可得到对应解析式，最后匹配选项即可。
第一步求单件利润：商品原售价50元，进价30元，降价x元后，每件的实际售价为(50-x)元，减去单件进价30元，就能得到降价后的单件利润。
第二步求总销售量：原来每星期卖90件，每降价1元多卖15件，降价x元后增加的销量是15x件，加上原有销量就能得到总销售量。
最后将两个结果相乘就是总利润y。
【解析】
销售问题中，总利润的计算公式为：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销售总数量}$
1. 计算降价$x$元后的单件利润：
原售价50元，降价$x$元后售价为$(50-x)$元，进价为30元，因此单件利润为：$50-x-30=(50-30-x)$元
2. 计算降价$x$元后的总销售量：
原销量为90件，每降价1元多卖15件，降价$x$元后多卖$15x$件，因此总销量为：$(90+15x)$件
3. 代入总利润公式得：
$y=(50-30-x)(90+15x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 实际问题列函数解析式
【点评】
本题属于销售类函数的基础应用题目，解题核心是牢记总利润的计算逻辑，注意区分价格变动对销量的影响：降价时销量上升，不要误写为销量减少的表达式，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.8
要推导利润y关于降价x的函数解析式，首先明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×总销售量。我们只需要分别求出降价x元后的单件利润、总销售量，再代入等量关系即可得到对应解析式，最后匹配选项即可。
第一步求单件利润：商品原售价50元，进价30元，降价x元后，每件的实际售价为(50-x)元，减去单件进价30元，就能得到降价后的单件利润。
第二步求总销售量：原来每星期卖90件，每降价1元多卖15件，降价x元后增加的销量是15x件，加上原有销量就能得到总销售量。
最后将两个结果相乘就是总利润y。
【解析】
销售问题中，总利润的计算公式为：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单件利润} × \mathrm{销售总数量}$
1. 计算降价$x$元后的单件利润：
原售价50元，降价$x$元后售价为$(50-x)$元，进价为30元，因此单件利润为：$50-x-30=(50-30-x)$元
2. 计算降价$x$元后的总销售量：
原销量为90件，每降价1元多卖15件，降价$x$元后多卖$15x$件，因此总销量为：$(90+15x)$件
3. 代入总利润公式得：
$y=(50-30-x)(90+15x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 实际问题列函数解析式
【点评】
本题属于销售类函数的基础应用题目，解题核心是牢记总利润的计算逻辑，注意区分价格变动对销量的影响：降价时销量上升，不要误写为销量减少的表达式，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 某商店销售一种商品，其利润$y$(单位：元)关于销售单价$x$(单位：元)的函数解析式为$y=-x^2 +10x +20$，则该商品的最大利润为(
A.20元
B.45元
C.50元
D.70元
B
)。A.20元
B.45元
C.50元
D.70元
答案
2. B
解析
【分析】
本题是二次函数在利润问题中的最值应用，解题思路清晰：首先判断给出的利润函数属于二次函数，其二次项系数为-1小于0，因此函数图象开口向下，存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，只需通过配方法或者顶点纵坐标公式计算出顶点的y值，即可得到最大利润。
【解析】
已知利润函数为$y=-x^2 +10x +20$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，$y$有最大值。
我们用配方法求解：
对函数变形配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+10x+20\\&=-(x^2-10x)+20\\&=-(x^2-10x+25-25)+20\\&=-(x-5)^2+25+20\\&=-(x-5)^2+45\end{aligned}$
当$x=5$时，$y$取得最大值45，即该商品的最大利润为45元。
也可使用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算：代入$a=-1,b=10,c=20$，得$\frac{4×(-1)×20-10^2}{4×(-1)}=\frac{-180}{-4}=45$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是掌握开口向下的二次函数在顶点处取得最大值的性质，熟练运用配方法或顶点公式求最值即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在利润问题中的最值应用，解题思路清晰：首先判断给出的利润函数属于二次函数，其二次项系数为-1小于0，因此函数图象开口向下，存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，只需通过配方法或者顶点纵坐标公式计算出顶点的y值，即可得到最大利润。
【解析】
已知利润函数为$y=-x^2 +10x +20$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图象开口向下，$y$有最大值。
我们用配方法求解：
对函数变形配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+10x+20\\&=-(x^2-10x)+20\\&=-(x^2-10x+25-25)+20\\&=-(x-5)^2+25+20\\&=-(x-5)^2+45\end{aligned}$
当$x=5$时，$y$取得最大值45，即该商品的最大利润为45元。
也可使用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算：代入$a=-1,b=10,c=20$，得$\frac{4×(-1)×20-10^2}{4×(-1)}=\frac{-180}{-4}=45$，结果一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是掌握开口向下的二次函数在顶点处取得最大值的性质，熟练运用配方法或顶点公式求最值即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 有一种银行存款按复利计算，即一期到期后，将本期的利息计入下一期的本金。若期数以年为单位，年利率为x，本金是10 000元，那么两年后本息和y(单位：元)关于x的函数解析式为
$y=10\ 000(1+x)^2$
。答案
3. $y=10\ 000(1+x)^2$
解析
【分析】
解题时首先要明确复利的计算规则：每一期的本金为上一期的本息和。我们可以分两步推导：先计算第一年末的本息和，再将第一年末的本息和作为第二年的本金，计算第二年末的本息和，最终整理得到y关于x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算1年后的本息和。
已知本金为10000元，年利率为x，1年的利息为$10000x$元，因此1年后的本息和为：
$10000 + 10000x = 10000(1+x)$元。
第二步：计算2年后的本息和。
按照复利规则，第二年的本金为第一年末的本息和$10000(1+x)$元，第二年的利息为$10000(1+x) · x$元，因此2年后的本息和y为：
$y = 10000(1+x) + 10000(1+x)x$
提取公因式$10000(1+x)$，化简得：
$y = 10000(1+x)(1+x) = 10000(1+x)^2$
【答案】
$y=10000(1+x)^2$
【知识点】
1. 复利计算
2. 列二次函数解析式
3. 代数式化简
【点评】
本题是利率类的实际应用题，解题核心是理解复利“利滚利”的计息规则，分步推导各期的本息和即可得到对应的函数关系式，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确复利的计算规则：每一期的本金为上一期的本息和。我们可以分两步推导：先计算第一年末的本息和，再将第一年末的本息和作为第二年的本金，计算第二年末的本息和，最终整理得到y关于x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算1年后的本息和。
已知本金为10000元，年利率为x，1年的利息为$10000x$元，因此1年后的本息和为：
$10000 + 10000x = 10000(1+x)$元。
第二步：计算2年后的本息和。
按照复利规则，第二年的本金为第一年末的本息和$10000(1+x)$元，第二年的利息为$10000(1+x) · x$元，因此2年后的本息和y为：
$y = 10000(1+x) + 10000(1+x)x$
提取公因式$10000(1+x)$，化简得：
$y = 10000(1+x)(1+x) = 10000(1+x)^2$
【答案】
$y=10000(1+x)^2$
【知识点】
1. 复利计算
2. 列二次函数解析式
3. 代数式化简
【点评】
本题是利率类的实际应用题，解题核心是理解复利“利滚利”的计息规则，分步推导各期的本息和即可得到对应的函数关系式，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
4. 某果园有100棵橘子树，平均每棵树结600个橘子. 根据经验估计，每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橘子. 设果园增种x棵橘子树，果园所结橘子总个数为y(单位：个)，则果园里增种
10
棵橘子树时，所结橘子总个数最多.答案
4. 10
解析
【分析】
要解决橘子总个数最多的问题，首先需要根据题意建立总个数y和增种棵数x的函数关系：总个数=总棵数×单棵结果数，代入对应含x的表达式可得到二次函数关系式，再结合二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值），用顶点横坐标公式即可求出对应的x值，最后验证x的实际意义是否合理。
【解析】
根据题意，增种x棵树后，果园总共有$(100+x)$棵橘子树，此时平均每棵树结$(600-5x)$个橘子，因此总个数y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(100+x)(600-5x)\\&=-5x^2 + 100x + 60000\end{aligned}$
这是关于x的二次函数，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此函数图象开口向下，当x取顶点横坐标时，y取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-5)}=10$
验证：当$x=10$时，单棵结果数为$600-5×10=550＞0$，符合实际意义。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际生产中的应用类基础题，解题的核心是准确根据数量关系列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，注意最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决橘子总个数最多的问题，首先需要根据题意建立总个数y和增种棵数x的函数关系：总个数=总棵数×单棵结果数，代入对应含x的表达式可得到二次函数关系式，再结合二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值），用顶点横坐标公式即可求出对应的x值，最后验证x的实际意义是否合理。
【解析】
根据题意，增种x棵树后，果园总共有$(100+x)$棵橘子树，此时平均每棵树结$(600-5x)$个橘子，因此总个数y的表达式为：
$\begin{aligned}y&=(100+x)(600-5x)\\&=-5x^2 + 100x + 60000\end{aligned}$
这是关于x的二次函数，其中二次项系数$a=-5＜0$，因此函数图象开口向下，当x取顶点横坐标时，y取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=100$得：
$x=-\frac{100}{2×(-5)}=10$
验证：当$x=10$时，单棵结果数为$600-5×10=550＞0$，符合实际意义。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际生产中的应用类基础题，解题的核心是准确根据数量关系列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解最值，注意最终结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
5. 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件. 为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售. 经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件. 请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(单位：元)关于销售单价x(单位：元)的函数解析式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大及最大利润.
答案
5. $y=-10x^2+1\ 300x-36\ 000(60≤ x≤90)$。当$x=65$时，$y$有最大值6 250。所以销售单价定为65元时，每周的销售利润最大，最大利润为6 250元.
解析
【分析】
解题的核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的数量关系建立函数解析式，再结合二次函数的性质求最值。首先确定单件利润：售价为x元，进价40元，因此单件利润为(x-40)元；再确定销售量：原价60元时销量300件，每涨价1元少卖10件，因此单价涨了(x-60)元时，销量减少10(x-60)件，即可得到销量的表达式；最后结合x的实际意义（涨价销售且销量不能为负）确定自变量的取值范围。得到二次函数解析式后，因为二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，用顶点坐标公式计算即可得到最大利润对应的单价和最大利润值。
【解析】
解：由题意得，单件利润为$(x-40)$元，
单价为x元时，相比60元涨价了$(x-60)$元，因此销售量为：
$300 - 10(x-60) = 900 - 10x$
总利润$y = 单件利润 × 销售量$，因此：
$y = (x-40)(900-10x)$
展开整理得：
$y = -10x^2 + 1300x - 36000$
接下来确定自变量x的取值范围：
①因为是涨价销售，因此$x ≥ 60$；
②销售量不能为负数，因此$900 - 10x ≥ 0$，解得$x ≤ 90$
故x的取值范围为$60 ≤ x ≤ 90$。
对于二次函数$y = -10x^2 + 1300x - 36000$，其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-10$，$b=1300$得：
$x = -\frac{1300}{2×(-10)} = 65$，65在$60 ≤ x ≤90$范围内，符合实际意义。
将$x=65$代入函数解析式得：
$y = -10×65^2 + 1300×65 - 36000 = 6250$
【答案】
函数解析式为$y=-10x^2+1300x-36000(60≤ x≤90)$；销售单价定为65元时，每周的销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握销售利润的基本数量关系，准确推导销售量与销售单价的表达式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情况。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用“总利润=单件利润×销售量”的数量关系建立函数解析式，再结合二次函数的性质求最值。首先确定单件利润：售价为x元，进价40元，因此单件利润为(x-40)元；再确定销售量：原价60元时销量300件，每涨价1元少卖10件，因此单价涨了(x-60)元时，销量减少10(x-60)件，即可得到销量的表达式；最后结合x的实际意义（涨价销售且销量不能为负）确定自变量的取值范围。得到二次函数解析式后，因为二次项系数小于0，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，用顶点坐标公式计算即可得到最大利润对应的单价和最大利润值。
【解析】
解：由题意得，单件利润为$(x-40)$元，
单价为x元时，相比60元涨价了$(x-60)$元，因此销售量为：
$300 - 10(x-60) = 900 - 10x$
总利润$y = 单件利润 × 销售量$，因此：
$y = (x-40)(900-10x)$
展开整理得：
$y = -10x^2 + 1300x - 36000$
接下来确定自变量x的取值范围：
①因为是涨价销售，因此$x ≥ 60$；
②销售量不能为负数，因此$900 - 10x ≥ 0$，解得$x ≤ 90$
故x的取值范围为$60 ≤ x ≤ 90$。
对于二次函数$y = -10x^2 + 1300x - 36000$，其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-10$，$b=1300$得：
$x = -\frac{1300}{2×(-10)} = 65$，65在$60 ≤ x ≤90$范围内，符合实际意义。
将$x=65$代入函数解析式得：
$y = -10×65^2 + 1300×65 - 36000 = 6250$
【答案】
函数解析式为$y=-10x^2+1300x-36000(60≤ x≤90)$；销售单价定为65元时，每周的销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的实际应用；销售利润计算；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是熟练掌握销售利润的基本数量关系，准确推导销售量与销售单价的表达式，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免求出的最值不符合实际情况。
【难度系数】
0.7
