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6. 为拓宽高端市场，某水产品养殖基地正规划开展特定高端水产品的专业化养殖项目. 经过市场调查得到如下信息：
(1)若该水产品的总产量为5 760 kg，求x的值.
(2)当养殖面积定为多少时，该水产品养殖基地所得利润最大？最大利润是多少？
(1)若该水产品的总产量为5 760 kg，求x的值.
(2)当养殖面积定为多少时，该水产品养殖基地所得利润最大？最大利润是多少？
答案
6. (1)由题意，得$(960-40x)x=5\ 760$，解得$x_1=x_2=12$.
(2)设该水产品养殖基地所得利润为$y$万元，$y=0.05(960-40x)x-(62+4x)=-2x^2+44x-62=-2(x-11)^2+180$. $\therefore$当$x=11$时，$y$有最大值180. 所以当养殖面积定为11亩时，该水产品养殖基地所得利润最大，最大利润是180万元.
(2)设该水产品养殖基地所得利润为$y$万元，$y=0.05(960-40x)x-(62+4x)=-2x^2+44x-62=-2(x-11)^2+180$. $\therefore$当$x=11$时，$y$有最大值180. 所以当养殖面积定为11亩时，该水产品养殖基地所得利润最大，最大利润是180万元.
解析
【分析】
(1) 求解x的核心是明确总产量的计算逻辑：总产量=每亩产量×养殖面积，根据题目给出的总产量为5760kg的条件，直接列一元二次方程求解即可。
(2) 求利润最大值首先要明确利润的等量关系：利润=总销售额-养殖总成本。总销售额=销售单价×总产量，结合已知信息先列出利润关于养殖面积x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质，通过配方法求出顶点坐标，即可得到最大值及对应的x值，注意要验证x的取值符合实际意义。
【解析】
(1) 由题意可知，总产量=每亩产量×养殖面积，因此列方程：
$x(960-40x)=5760$
整理得：$x^2-24x+144=0$，即$(x-12)^2=0$
解得：$x_1=x_2=12$
(2) 设该养殖基地所得利润为$y$万元，根据“利润=总销售额-养殖成本”列式：
总销售额为$0.05 × x(960-40x)$万元，养殖成本为$(62+4x)$万元，因此：
$\begin{aligned}y&=0.05x(960-40x)-(62+4x)\\&=-2x^2+48x-4x-62\\&=-2x^2+44x-62\end{aligned}$
对函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-22x)-62\\&=-2(x^2-22x+121-121)-62\\&=-2(x-11)^2+242-62\\&=-2(x-11)^2+180\end{aligned}$
$\because -2＜0$，$\therefore$该二次函数开口向下，当$x=11$时，$y$取得最大值，最大值为180。
验证：当$x=11$时，每亩产量$960-40×11=520\mathrm{kg}＞0$，符合实际意义。
【答案】
(1) $x$的值为12；
(2) 当养殖面积定为11亩时，所得利润最大，最大利润是180万元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题以实际养殖经营场景为载体，考查了方程与函数在实际问题中的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程和函数表达式，同时要注意结合实际意义验证自变量的取值是否合理，熟练掌握二次函数的性质是求最值的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 求解x的核心是明确总产量的计算逻辑：总产量=每亩产量×养殖面积，根据题目给出的总产量为5760kg的条件，直接列一元二次方程求解即可。
(2) 求利润最大值首先要明确利润的等量关系：利润=总销售额-养殖总成本。总销售额=销售单价×总产量，结合已知信息先列出利润关于养殖面积x的二次函数表达式，再根据二次函数的性质，通过配方法求出顶点坐标，即可得到最大值及对应的x值，注意要验证x的取值符合实际意义。
【解析】
(1) 由题意可知，总产量=每亩产量×养殖面积，因此列方程：
$x(960-40x)=5760$
整理得：$x^2-24x+144=0$，即$(x-12)^2=0$
解得：$x_1=x_2=12$
(2) 设该养殖基地所得利润为$y$万元，根据“利润=总销售额-养殖成本”列式：
总销售额为$0.05 × x(960-40x)$万元，养殖成本为$(62+4x)$万元，因此：
$\begin{aligned}y&=0.05x(960-40x)-(62+4x)\\&=-2x^2+48x-4x-62\\&=-2x^2+44x-62\end{aligned}$
对函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-22x)-62\\&=-2(x^2-22x+121-121)-62\\&=-2(x-11)^2+242-62\\&=-2(x-11)^2+180\end{aligned}$
$\because -2＜0$，$\therefore$该二次函数开口向下，当$x=11$时，$y$取得最大值，最大值为180。
验证：当$x=11$时，每亩产量$960-40×11=520\mathrm{kg}＞0$，符合实际意义。
【答案】
(1) $x$的值为12；
(2) 当养殖面积定为11亩时，所得利润最大，最大利润是180万元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题以实际养殖经营场景为载体，考查了方程与函数在实际问题中的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程和函数表达式，同时要注意结合实际意义验证自变量的取值是否合理，熟练掌握二次函数的性质是求最值的核心。
【难度系数】
0.7
1. 某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%.经过试销发现，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)符合一次函数关系：$y=-x+120$.有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.
其中正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元.
其中正确结论的个数是(
B
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. B
解析
【分析】
解题首先要先根据题目给出的限制条件确定销售单价x的取值范围，这是判断所有结论的前提。其次明确总利润的计算公式：总利润=（销售单价-成本单价）×销售量，结合给出的销售量与销售单价的一次函数关系，推导出总利润关于x的二次函数表达式。最后分别对三个结论逐一验证：①直接对比90和x的最大值即可判断；②结合二次函数的单调性，在x的取值范围内求最大利润；③列利润为500元的一元二次方程，求解后判断符合取值范围的解的个数即可。
【解析】
首先确定销售单价x的取值范围：
∵ 销售单价不低于成本，且利润不高于成本的45%
∴ $x ≥ 60$，且 $x - 60 ≤ 60 × 45\% = 27$，解得 $x ≤ 87$
即x的取值范围为 $60 ≤ x ≤ 87$。
设总利润为W元，则 $W = (x - 60)y$，代入$y=-x+120$得：
$W=(x-60)(-x+120) = -x^2 + 180x - 7200$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{180}{2×(-1)} = 90$。
逐一判断结论：
① 销售单价90元：$90＞87$，超出x的最大取值，结论①错误；
② 求最大利润：二次函数开口向下，在对称轴左侧W随x的增大而增大，x的最大值为87，因此当x=87时W最大：
$W_{max}=(87-60)×(120-87)=27×33=891$元，结论②正确；
③ 利润为500元时，列方程：
$(x-60)(-x+120)=500$
整理得：$x^2 - 180x + 7700 = 0$
判别式$\Delta=180^2 - 4×1×7700=32400-30800=1600$
解得：$x_1=\frac{180+40}{2}=110$，$x_2=\frac{180-40}{2}=70$
∵ $110＞87$，舍去，仅x=70符合要求，因此只有1个值满足，结论③错误。
综上，仅1个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质和方程求解，要注意舍去不符合实际意义的解，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题首先要先根据题目给出的限制条件确定销售单价x的取值范围，这是判断所有结论的前提。其次明确总利润的计算公式：总利润=（销售单价-成本单价）×销售量，结合给出的销售量与销售单价的一次函数关系，推导出总利润关于x的二次函数表达式。最后分别对三个结论逐一验证：①直接对比90和x的最大值即可判断；②结合二次函数的单调性，在x的取值范围内求最大利润；③列利润为500元的一元二次方程，求解后判断符合取值范围的解的个数即可。
【解析】
首先确定销售单价x的取值范围：
∵ 销售单价不低于成本，且利润不高于成本的45%
∴ $x ≥ 60$，且 $x - 60 ≤ 60 × 45\% = 27$，解得 $x ≤ 87$
即x的取值范围为 $60 ≤ x ≤ 87$。
设总利润为W元，则 $W = (x - 60)y$，代入$y=-x+120$得：
$W=(x-60)(-x+120) = -x^2 + 180x - 7200$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{180}{2×(-1)} = 90$。
逐一判断结论：
① 销售单价90元：$90＞87$，超出x的最大取值，结论①错误；
② 求最大利润：二次函数开口向下，在对称轴左侧W随x的增大而增大，x的最大值为87，因此当x=87时W最大：
$W_{max}=(87-60)×(120-87)=27×33=891$元，结论②正确；
③ 利润为500元时，列方程：
$(x-60)(-x+120)=500$
整理得：$x^2 - 180x + 7700 = 0$
判别式$\Delta=180^2 - 4×1×7700=32400-30800=1600$
解得：$x_1=\frac{180+40}{2}=110$，$x_2=\frac{180-40}{2}=70$
∵ $110＞87$，舍去，仅x=70符合要求，因此只有1个值满足，结论③错误。
综上，仅1个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质和方程求解，要注意舍去不符合实际意义的解，避免忽略取值范围导致判断错误。
【难度系数】
0.6
