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2. 某商店购入一批产品，进价为10元/件，计划采取线上和线下两种方式进行销售. 经过调查发现，线下的月销售量$ y $(单位：件)与售价$ x $(单位：元)($ 10 ≤ x ≤ 22 $)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
(1)求$ y $关于$ x $的函数解析式.
(2)若保持线上售价比线下售价每件少2元，且线上的月销量都是700件.当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？
(1)求$ y $关于$ x $的函数解析式.
(2)若保持线上售价比线下售价每件少2元，且线上的月销量都是700件.当线下售价为多少时，线上与线下的月总利润最大？最大利润是多少？
答案
2. (1)设$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，把(10，900)，(11，850)代入解析式得$\begin{cases}10k+b=900,\\11k+b=850,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-50,\\b=1\ 400.\end{cases}$$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-50x+1\ 400(10≤ x≤22)$.
(2)设月总利润为$w$元. $w=(x-10)(-50x+1\ 400)+(x-2-10)×700=-50x^2+2\ 600x-22\ 400=-50(x-26)^2+11\ 400$. $\because -50＜0$，$10≤ x≤22$，$\therefore$当$x=22$时，$w$取得最大值，此时$w=10\ 600$.
(2)设月总利润为$w$元. $w=(x-10)(-50x+1\ 400)+(x-2-10)×700=-50x^2+2\ 600x-22\ 400=-50(x-26)^2+11\ 400$. $\because -50＜0$，$10≤ x≤22$，$\therefore$当$x=22$时，$w$取得最大值，此时$w=10\ 600$.
解析
【分析】
(1) 已知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再结合题目给出的x的取值范围，就能得到完整的函数解析式。
(2) 利润问题核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，本题总利润由线下利润和线上利润两部分组成：线下单件利润为$(x-10)$元，销量为第一问求出的y；线上售价为$(x-2)$元，单件利润为$(x-2-10)$元，销量固定为700件。将两部分利润相加得到总利润w关于x的二次函数，整理为顶点式后，结合二次函数开口方向和x的取值范围$10≤x≤22$，即可求出最大利润及对应的线下售价。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,900)$、$(11,850)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=900\\11k+b=850\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-50$，
将$k=-50$代入$10k+b=900$，解得$b=1400$，
结合x的取值范围，可得y关于x的函数解析式为$y=-50x+1400(10≤ x≤22)$。
(2) 设月总利润为w元，
线下利润为$(x-10)(-50x+1400)$，线上利润为$(x-2-10)×700$，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-50x+1400)+(x-12)×700\\&=-50x^2+2600x-22400\\&=-50(x-26)^2+11400\end{aligned}$
$\because -50＜0$，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=26$，
$\therefore$当$x＜26$时，w随x的增大而增大，
又$\because 10≤ x≤22$，
$\therefore$当$x=22$时，w取得最大值，代入得$w=-50×(22-26)^2+11400=10600$。
【答案】
(1) $y=-50x+1400(10≤ x≤22)$
(2) 当线下售价为22元时，线上与线下的月总利润最大，最大利润是10600元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售类函数综合题，考查一次函数解析式求解和二次函数最值计算，解题时要注意自变量的实际取值范围，不能直接取二次函数顶点横坐标作为最值点，避免忽略范围导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再结合题目给出的x的取值范围，就能得到完整的函数解析式。
(2) 利润问题核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，本题总利润由线下利润和线上利润两部分组成：线下单件利润为$(x-10)$元，销量为第一问求出的y；线上售价为$(x-2)$元，单件利润为$(x-2-10)$元，销量固定为700件。将两部分利润相加得到总利润w关于x的二次函数，整理为顶点式后，结合二次函数开口方向和x的取值范围$10≤x≤22$，即可求出最大利润及对应的线下售价。
【解析】
(1) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(10,900)$、$(11,850)$代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=900\\11k+b=850\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-50$，
将$k=-50$代入$10k+b=900$，解得$b=1400$，
结合x的取值范围，可得y关于x的函数解析式为$y=-50x+1400(10≤ x≤22)$。
(2) 设月总利润为w元，
线下利润为$(x-10)(-50x+1400)$，线上利润为$(x-2-10)×700$，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-10)(-50x+1400)+(x-12)×700\\&=-50x^2+2600x-22400\\&=-50(x-26)^2+11400\end{aligned}$
$\because -50＜0$，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=26$，
$\therefore$当$x＜26$时，w随x的增大而增大，
又$\because 10≤ x≤22$，
$\therefore$当$x=22$时，w取得最大值，代入得$w=-50×(22-26)^2+11400=10600$。
【答案】
(1) $y=-50x+1400(10≤ x≤22)$
(2) 当线下售价为22元时，线上与线下的月总利润最大，最大利润是10600元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售类函数综合题，考查一次函数解析式求解和二次函数最值计算，解题时要注意自变量的实际取值范围，不能直接取二次函数顶点横坐标作为最值点，避免忽略范围导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 某园林企业计划投资种植树木和花卉. 根据市场调查与预测，种植树木的利润 $ y_1 $ 与投资量 $ x $ 成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润 $ y_2 $ 与投资量 $ x $ 成二次函数关系，如图2所示(注: 利润与投资量的单位都是万元).
(1)直接写出利润 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 关于投资量 $ x $ 的函数解析式.
(2)如果这家企业投入资金8万元种植树木和花卉，至少能获得多少利润? 能获得的最大利润是多少?
(1)直接写出利润 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 关于投资量 $ x $ 的函数解析式.
(2)如果这家企业投入资金8万元种植树木和花卉，至少能获得多少利润? 能获得的最大利润是多少?
答案
3. (1)如图1所示，设$y_1=kx$. 函数$y_1=kx$的图象过(1，2)，故利润$y_1$关于投资量$x$的函数解析式是$y_1=2x(x≥0)$；如图2所示，抛物线的顶点是原点，设$y_2=ax^2$，函数$y_2=ax^2$的图象过(2，2)，故利润$y_2$关于投资量$x$的函数解析式是$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$.
(2)根据题意，设种植花卉$x$万元($0≤ x≤8$)，则种植树木$(8-x)$万元，利润为$w$万元，$\therefore w=2(8-x)+\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}x^2-2x+16=\frac{1}{2}(x-2)^2+14$. $\because$二次函数图象开口向上，且$0≤ x≤8$，$\therefore$当$x=2$时，$w$的最小值是14. $\therefore$当$x＞2$时，$w$随$x$的增大而增大；$\therefore$当$x=8$时，$w$的最大值是32. 所以这家企业至少能获得14万元利润，能获得的最大利润是32万元.
解析
【分析】
第(1)问：已知种植树木的利润$y_1$与投资量$x$成正比例，可设解析式为$y_1=kx$，代入图1的已知点$P(1,2)$即可求出$k$，得到$y_1$的解析式；种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$是顶点在原点的二次函数，可设解析式为$y_2=ax^2$，代入图2的已知点$Q(2,2)$求出$a$即可得到$y_2$的解析式，注意投资量$x$是非负数。
第(2)问：设种植花卉的投资为$x$万元，则种植树木的投资为$(8-x)$万元，总利润为两类利润之和，代入两个函数解析式得到总利润关于$x$的二次函数，结合$x$的取值范围$0≤ x≤8$，根据二次函数的开口方向和对称轴即可求出区间内的最小、最大利润。
【解析】
(1) 设$y_1=kx(k≠0)$，
∵函数图象过点$P(1,2)$，将$x=1,y=2$代入得$2=k×1$，解得$k=2$，
∴$y_1=2x(x≥0)$。
∵$y_2$对应的抛物线顶点在原点，设$y_2=ax^2(a≠0)$，
∵函数图象过点$Q(2,2)$，将$x=2,y=2$代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入$x$万元种植花卉（$0≤ x≤8$），则投入$(8-x)$万元种植树木，总利润为$w$万元，
根据题意得：
$w=2(8-x)+\frac{1}{2}x^2$
整理得$w=\frac{1}{2}x^2-2x+16=\frac{1}{2}(x-2)^2+14$，
∵二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，且$0≤ x≤8$，
∴当$x=2$时，$w$取得最小值，最小值为14；
当$x＞2$时$w$随$x$的增大而增大，因此当$x=8$时，$w$取得最大值，代入得$w=\frac{1}{2}×(8-2)^2+14=32$。
【答案】
(1) $y_1=2x(x≥0)$，$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$；
(2) 至少能获得14万元利润，能获得的最大利润是32万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；函数实际应用
【点评】
本题结合实际投资场景，考查了一次函数、二次函数解析式的求解，以及二次函数在给定区间内的最值计算，解题时需注意自变量的实际取值范围对最值的影响，是典型的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知种植树木的利润$y_1$与投资量$x$成正比例，可设解析式为$y_1=kx$，代入图1的已知点$P(1,2)$即可求出$k$，得到$y_1$的解析式；种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$是顶点在原点的二次函数，可设解析式为$y_2=ax^2$，代入图2的已知点$Q(2,2)$求出$a$即可得到$y_2$的解析式，注意投资量$x$是非负数。
第(2)问：设种植花卉的投资为$x$万元，则种植树木的投资为$(8-x)$万元，总利润为两类利润之和，代入两个函数解析式得到总利润关于$x$的二次函数，结合$x$的取值范围$0≤ x≤8$，根据二次函数的开口方向和对称轴即可求出区间内的最小、最大利润。
【解析】
(1) 设$y_1=kx(k≠0)$，
∵函数图象过点$P(1,2)$，将$x=1,y=2$代入得$2=k×1$，解得$k=2$，
∴$y_1=2x(x≥0)$。
∵$y_2$对应的抛物线顶点在原点，设$y_2=ax^2(a≠0)$，
∵函数图象过点$Q(2,2)$，将$x=2,y=2$代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
∴$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入$x$万元种植花卉（$0≤ x≤8$），则投入$(8-x)$万元种植树木，总利润为$w$万元，
根据题意得：
$w=2(8-x)+\frac{1}{2}x^2$
整理得$w=\frac{1}{2}x^2-2x+16=\frac{1}{2}(x-2)^2+14$，
∵二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，且$0≤ x≤8$，
∴当$x=2$时，$w$取得最小值，最小值为14；
当$x＞2$时$w$随$x$的增大而增大，因此当$x=8$时，$w$取得最大值，代入得$w=\frac{1}{2}×(8-2)^2+14=32$。
【答案】
(1) $y_1=2x(x≥0)$，$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$；
(2) 至少能获得14万元利润，能获得的最大利润是32万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；函数实际应用
【点评】
本题结合实际投资场景，考查了一次函数、二次函数解析式的求解，以及二次函数在给定区间内的最值计算，解题时需注意自变量的实际取值范围对最值的影响，是典型的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
