15.如图,四边形ABCD是正方形,G为边CD上一点,连接AG并延长,交BC的延长线于点F,连接BD,交AF于点E,连接EC.求证:
(1)$△ ADE≌△ CDE$;
(2)$AE^2 = EF· EG$.

证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = CD，∠ADE = ∠CDE = 45°，
又∵ DE = DE，
∴ △ADE ≌ △CDE（SAS）。
(2) 由(1)中△ADE ≌ △CDE，可得AE = CE，∠DAE = ∠DCE。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD // BF，
∴ ∠DAE = ∠F，
∴ ∠DCE = ∠F。
又∵ ∠CEG = ∠FEC，
∴ △CEG ∽ △FEC，
∴ $\frac{CE}{EF}=\frac{EG}{CE}$，即 $CE^2 = EF· EG$。
∵ AE = CE，
∴ $AE^2 = EF· EG$。

16.【问题背景】如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.
【问题情境】
(1)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式进行选拔，获胜的同学担任主持.游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11，则小明胜，否则小亮胜.这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由.
【应用思考】
(2)请你利用这四张卡片，设计一种对两人都公平的游戏规则.

解：
(1) 列表如下：
| 小明\小亮 | 3 | 6 | 8 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | - | 9 | 11 | 13 |
| 6 | 9 | - | 14 | 16 |
| 8 | 11 | 14 | - | 18 |
| 10 | 13 | 16 | 18 | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两数之和大于11的结果有8种，和不大于11的结果有4种。
∴ $P(\mathrm{小明胜})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，$P(\mathrm{小亮胜})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
∵ $\frac{2}{3} ≠ \frac{1}{3}$，
∴ 这个游戏不公平。
(2) 游戏规则示例：小明先从中抽取一张卡片，小亮再从剩余的3张中抽取一张卡片，若两人抽取的卡片数字之和为奇数，则小明胜；若两人抽取的卡片数字之和为偶数，则小亮胜。
（答案不唯一，满足双方获胜概率均为$\frac{1}{2}$即可）