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二、填空题
7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，若$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则$△ ABC$是三角形（按边分）。
7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，若$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，则$△ ABC$是三角形（按边分）。
答案
等边
解析
解：
∵∠A，∠B都是锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ A=60°$，
∵$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ B=60°$，
∴$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴$∠ A=∠ B=∠ C$，
∴△ABC是等边三角形。
∵∠A，∠B都是锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$∠ A=60°$，
∵$\tan B=\sqrt{3}$，
∴$∠ B=60°$，
∴$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴$∠ A=∠ B=∠ C$，
∴△ABC是等边三角形。
8.为传播数学文化，提升学生数学核心素养，某学校开展数学阅读月活动.小丽和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，则两人恰好都抽到《九章算术》的概率是.
答案
解：
将《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》分别记为A，B，C，用列表法列出所有等可能的结果：
| 小丽\小红 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
总共有9种等可能的结果，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果只有1种，
因此两人恰好都抽到《九章算术》的概率是$\frac{1}{9}$。
将《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》分别记为A，B，C，用列表法列出所有等可能的结果：
| 小丽\小红 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
总共有9种等可能的结果，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果只有1种，
因此两人恰好都抽到《九章算术》的概率是$\frac{1}{9}$。
9.一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，若它的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有个.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
由俯视图可得，底层的小立方块共有4个。
由左视图可知，几何体前排的小立方块层数只能为1，后排的小立方块最高层数为3。
要使小立方块总数最少，只需后排3个位置中仅有1个位置的小立方块为3层，其余2个位置均为1层。
计算得最少总个数为：1 + 3 + 1 + 1 = 6。
由俯视图可得，底层的小立方块共有4个。
由左视图可知，几何体前排的小立方块层数只能为1，后排的小立方块最高层数为3。
要使小立方块总数最少，只需后排3个位置中仅有1个位置的小立方块为3层，其余2个位置均为1层。
计算得最少总个数为：1 + 3 + 1 + 1 = 6。
10.如图，若$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$是位似图形，则位似中心的坐标是.
答案
$\boldsymbol{(4,3)}$
解析
解：位似中心是位似图形对应顶点连线的交点，分别作直线$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$，三条直线交于点$(4,3)$，即位似中心的坐标为$(4,3)$。
11.我们把顶角为$36°$的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 36°$，$AB = AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。若$BC=4$，则$CD$的长为。
（第11题） （第12题）
（第11题） （第12题）答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}-2}$
解析
解：
∵ $AB=AC$，$∠ A=36°$
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵ $BD$平分$∠ ABC$
∴ $∠ DBC=∠ ABD=36°$
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$
∴ $∠ BDC=∠ C$，得$BD=BC=4$
又∵ $∠ A=∠ ABD=36°$，∴ $AD=BD=4$
由题意，顶角为$36°$的等腰三角形底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$△ ABC$是黄金三角形，因此：
$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$BC=4$，解得：
$AC=\frac{4×2}{\sqrt{5}-1}=2\sqrt{5}+2$
∴ $CD=AC-AD=(2\sqrt{5}+2)-4=2\sqrt{5}-2$
最终
∵ $AB=AC$，$∠ A=36°$
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵ $BD$平分$∠ ABC$
∴ $∠ DBC=∠ ABD=36°$
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=72°$
∴ $∠ BDC=∠ C$，得$BD=BC=4$
又∵ $∠ A=∠ ABD=36°$，∴ $AD=BD=4$
由题意，顶角为$36°$的等腰三角形底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$△ ABC$是黄金三角形，因此：
$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入$BC=4$，解得：
$AC=\frac{4×2}{\sqrt{5}-1}=2\sqrt{5}+2$
∴ $CD=AC-AD=(2\sqrt{5}+2)-4=2\sqrt{5}-2$
最终
12. 提升题 如图，在矩形ABCD中，AB=$4\sqrt{3}$，AD=6，P是矩形边上一动点。当∠APB=60°时，BP的长为。
。
。
答案
解：分三种情况讨论：
1. 当点P在BC边上时：
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABP=90°，
在Rt△ABP中，∠APB=60°，AB=4√3，
由$\tan∠ APB=\frac{AB}{BP}$，得$\tan60°=\frac{4\sqrt{3}}{BP}$，
解得$BP=4$，满足$BP≤ BC=6$，符合条件。
2. 当点P在AD边上时：
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAP=90°，
在Rt△ABP中，∠APB=60°，AB=4√3，
由$\tan∠ APB=\frac{AB}{AP}$，得$\tan60°=\frac{4\sqrt{3}}{AP}$，
解得$AP=4＜AD=6$，符合条件，
由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8$。
3. 当点P在CD边上时：
以AB为边在矩形内部作等边三角形ABP，
等边三角形AB边上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}=6$，
∵ AB到CD的距离等于AD=6，
∴ 该等边三角形的顶点P恰好落在CD边上，
此时$∠ APB=60°$，$BP=AB=4\sqrt{3}$，符合条件。
综上，BP的长为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$或$\boldsymbol{8}$。
1. 当点P在BC边上时：
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABP=90°，
在Rt△ABP中，∠APB=60°，AB=4√3，
由$\tan∠ APB=\frac{AB}{BP}$，得$\tan60°=\frac{4\sqrt{3}}{BP}$，
解得$BP=4$，满足$BP≤ BC=6$，符合条件。
2. 当点P在AD边上时：
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAP=90°，
在Rt△ABP中，∠APB=60°，AB=4√3，
由$\tan∠ APB=\frac{AB}{AP}$，得$\tan60°=\frac{4\sqrt{3}}{AP}$，
解得$AP=4＜AD=6$，符合条件，
由勾股定理得$BP=\sqrt{AB^2+AP^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=8$。
3. 当点P在CD边上时：
以AB为边在矩形内部作等边三角形ABP，
等边三角形AB边上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}=6$，
∵ AB到CD的距离等于AD=6，
∴ 该等边三角形的顶点P恰好落在CD边上，
此时$∠ APB=60°$，$BP=AB=4\sqrt{3}$，符合条件。
综上，BP的长为$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$或$\boldsymbol{8}$。
三、解答题
13.由6个相同的小正方体组成的几何体如图所示.
（1）请画出该几何体的左视图和俯视图；
（2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，那么最多可以添加 块小正方体.
13.由6个相同的小正方体组成的几何体如图所示.
（1）请画出该几何体的左视图和俯视图；
（2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持主视图和俯视图不变，那么最多可以添加 块小正方体.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
（1）左视图：共2列，从左到右第一列有2个竖直对齐的正方形，第二列有1个正方形，与第一列下方的正方形对齐。
俯视图：共2行，第一行有3个并排的正方形，第二行的第1列和第3列位置各有1个正方形。
（2）要保持俯视图不变，底层的5个位置必须都保留，不能新增底层小正方体；要保持主视图不变，从正面看左列最大高度为1，中列最大高度为1，右列最大高度为2。
现有几何体小正方体总数为6，符合要求的最大小正方体总数为7，因此最多可以添加 $7-6=1$ 块小正方体。
（1）左视图：共2列，从左到右第一列有2个竖直对齐的正方形，第二列有1个正方形，与第一列下方的正方形对齐。
俯视图：共2行，第一行有3个并排的正方形，第二行的第1列和第3列位置各有1个正方形。
（2）要保持俯视图不变，底层的5个位置必须都保留，不能新增底层小正方体；要保持主视图不变，从正面看左列最大高度为1，中列最大高度为1，右列最大高度为2。
现有几何体小正方体总数为6，符合要求的最大小正方体总数为7，因此最多可以添加 $7-6=1$ 块小正方体。
14.某楼房为了方便运送物资，在外墙设计了一个简易的滑轮组，如图①.图②为物资起始位置示意图(定滑轮的半径忽略不计)，绳子的末端在定滑轮A处，测得AB=8 m，∠PAB=60°.水平向右拉绳子末端，当物资位于图③所示位置时，∠PDB=45°(图中所有点均在同一平面内，点B，A，D在同一直线上且直线与地面平行，结果保留根号).
(1)求绳子的总长度；
(2)求物资上升的高度BC.
(1)求绳子的总长度；
(2)求物资上升的高度BC.
答案
解：
(1) 在Rt△PAB中，∠PBA=90°，∠PAB=60°，AB=8 m，
∴ $\cos∠ PAB = \frac{AB}{AP}$，
∴ $AP = \frac{AB}{\cos60°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\ \mathrm{m}$，
即绳子的总长度为16 m。
(2) 在Rt△PAB中，
$PB = AB·\tan60° = 8×\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△PBD中，∠PBD=90°，∠PDB=45°，
∴ $\sin∠ PDB = \frac{PB}{PD}$，
∴ $PD = \frac{PB}{\sin45°} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∵ 绳子总长不变，拉绳子后自由端绳长增加的长度等于物资上升的高度，
∴ $BC = PD - AP = 8\sqrt{6} - 16\ \mathrm{m}$。
答：(1) 绳子的总长度为16 m；(2) 物资上升的高度BC为$(8\sqrt{6}-16)\ \mathrm{m}$。
(1) 在Rt△PAB中，∠PBA=90°，∠PAB=60°，AB=8 m，
∴ $\cos∠ PAB = \frac{AB}{AP}$，
∴ $AP = \frac{AB}{\cos60°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\ \mathrm{m}$，
即绳子的总长度为16 m。
(2) 在Rt△PAB中，
$PB = AB·\tan60° = 8×\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在Rt△PBD中，∠PBD=90°，∠PDB=45°，
∴ $\sin∠ PDB = \frac{PB}{PD}$，
∴ $PD = \frac{PB}{\sin45°} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∵ 绳子总长不变，拉绳子后自由端绳长增加的长度等于物资上升的高度，
∴ $BC = PD - AP = 8\sqrt{6} - 16\ \mathrm{m}$。
答：(1) 绳子的总长度为16 m；(2) 物资上升的高度BC为$(8\sqrt{6}-16)\ \mathrm{m}$。
