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4. 若平行四边形的一个内角为$90°$,则这个四边形是
矩形
；若平行四边形的一组邻边相等,则这个四边形是菱形
。答案
4.矩形 菱形
解析
【分析】
解题时需结合平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定定理思考：1. 先回忆平行四边形的角的性质：平行四边形邻角互补、对角相等，若有一个内角为90°，可推导出其余三个角也为90°，对应符合矩形的判定条件；2. 再回忆平行四边形的边的性质：平行四边形对边相等，若一组邻边相等，可推导出四条边全部相等，对应符合菱形的判定条件。
【解析】
1. 对于第一空：根据平行四边形的性质，平行四边形的邻角互补、对角相等，若其中一个内角为90°，则其余三个内角也均为90°，结合矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知该平行四边形是矩形。
2. 对于第二空：根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，若一组邻边相等，则该平行四边形的四条边长度均相等，结合菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知该平行四边形是菱形。
【答案】
矩形 菱形
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的基础概念题，核心考查平行四边形与特殊平行四边形的从属关系和判定规则，掌握基础定义和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时需结合平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定定理思考：1. 先回忆平行四边形的角的性质：平行四边形邻角互补、对角相等，若有一个内角为90°，可推导出其余三个角也为90°，对应符合矩形的判定条件；2. 再回忆平行四边形的边的性质：平行四边形对边相等，若一组邻边相等，可推导出四条边全部相等，对应符合菱形的判定条件。
【解析】
1. 对于第一空：根据平行四边形的性质，平行四边形的邻角互补、对角相等，若其中一个内角为90°，则其余三个内角也均为90°，结合矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知该平行四边形是矩形。
2. 对于第二空：根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，若一组邻边相等，则该平行四边形的四条边长度均相等，结合菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知该平行四边形是菱形。
【答案】
矩形 菱形
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的基础概念题，核心考查平行四边形与特殊平行四边形的从属关系和判定规则，掌握基础定义和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB=AD$, $∠ BAD=90°$,以 $AB$ 为边作等边三角形 $ABE$,连接 $DE$。求 $∠ AED$ 的度数。
答案
5. 解: $\because △ ABE$ 是等边三角形，
$\therefore AB=AE,∠ BAE=60°$。
$\because AB=AD,∠ BAD=90°$，
$\therefore AD=AE,∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=30°$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠ DAE)=75°$，
$\therefore ∠ AED$ 的度数是 $75°$。
$\therefore AB=AE,∠ BAE=60°$。
$\because AB=AD,∠ BAD=90°$，
$\therefore AD=AE,∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=30°$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ADE = \frac{1}{2}(180° - ∠ DAE)=75°$，
$\therefore ∠ AED$ 的度数是 $75°$。
解析
【分析】
解题时先从已知的特殊三角形入手：首先回忆等边三角形的性质，得到边和角的等量关系；再结合正方形给出的边、角条件，通过等量代换判断出△ADE是等腰三角形；接下来计算等腰△ADE的顶角度数，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=60°。
∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAD - ∠BAE = 90° - 60° = 30°，
∴△ADE为等腰三角形，∠AED=∠ADE，
根据三角形内角和为180°可得：
∠AED = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠DAE) = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用基础题，解题核心是通过边的等量关系识别出等腰△ADE，准确计算出等腰三角形的顶角度数，同学们需熟练掌握各类特殊三角形的边角特征，才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的特殊三角形入手：首先回忆等边三角形的性质，得到边和角的等量关系；再结合正方形给出的边、角条件，通过等量代换判断出△ADE是等腰三角形；接下来计算等腰△ADE的顶角度数，最后利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE，∠BAE=60°。
∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAD - ∠BAE = 90° - 60° = 30°，
∴△ADE为等腰三角形，∠AED=∠ADE，
根据三角形内角和为180°可得：
∠AED = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠DAE) = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用基础题，解题核心是通过边的等量关系识别出等腰△ADE，准确计算出等腰三角形的顶角度数，同学们需熟练掌握各类特殊三角形的边角特征，才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在矩形$ABCD$中,$∠A=90°$,$AD=2AB$,$∠ABC$的平分线交边$AD$于点$E$,连接$CE$。下列结论正确的是(
A.$∠BEC=80°$
B.$CE=\sqrt{3}CD$
C.$∠ABC=50°$
D.点$E$是$AD$的中点
D
)。A.$∠BEC=80°$
B.$CE=\sqrt{3}CD$
C.$∠ABC=50°$
D.点$E$是$AD$的中点
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先结合矩形的性质分析已知条件：矩形四个内角均为90°、对边相等，因此可直接得出∠ABC=90°，排除选项C；再结合角平分线的性质，可得BE将∠ABC分为两个45°的角，由此可判断△ABE是等腰直角三角形，得到AB=AE的关系；结合已知AD=2AB，可推导出AE=ED，即可判断选项D是否正确，若需进一步验证其余选项，可设参数表示各边长度，结合勾股定理计算边长、判断角度即可。
【解析】
设AB=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=x，AD=BC=2AB=2x。
① ∠ABC=90°，因此C选项错误；
②
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE=45°=∠ABE，
∴AB=AE=x，
∴ED=AD-AE=2x-x=x，即AE=ED，故点E是AD的中点，D选项正确；
③ 验证其余选项：
在Rt△EDC中，由勾股定理得$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x=\sqrt{2}CD$，故B选项错误；
同理可得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2}x$，在△BEC中，$BE^2+CE^2=(\sqrt{2}x)^2+(\sqrt{2}x)^2=4x^2=BC^2$，由勾股定理逆定理可得∠BEC=90°，故A选项错误。
综上，正确结论为D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊平行四边形的基础题型，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，结合角平分线和等腰直角三角形的特点快速推导边的关系，也可通过设参数的方法简化边长计算，逐一验证选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合矩形的性质分析已知条件：矩形四个内角均为90°、对边相等，因此可直接得出∠ABC=90°，排除选项C；再结合角平分线的性质，可得BE将∠ABC分为两个45°的角，由此可判断△ABE是等腰直角三角形，得到AB=AE的关系；结合已知AD=2AB，可推导出AE=ED，即可判断选项D是否正确，若需进一步验证其余选项，可设参数表示各边长度，结合勾股定理计算边长、判断角度即可。
【解析】
设AB=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=x，AD=BC=2AB=2x。
① ∠ABC=90°，因此C选项错误；
②
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE=45°=∠ABE，
∴AB=AE=x，
∴ED=AD-AE=2x-x=x，即AE=ED，故点E是AD的中点，D选项正确；
③ 验证其余选项：
在Rt△EDC中，由勾股定理得$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x=\sqrt{2}CD$，故B选项错误；
同理可得$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{2}x$，在△BEC中，$BE^2+CE^2=(\sqrt{2}x)^2+(\sqrt{2}x)^2=4x^2=BC^2$，由勾股定理逆定理可得∠BEC=90°，故A选项错误。
综上，正确结论为D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊平行四边形的基础题型，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，结合角平分线和等腰直角三角形的特点快速推导边的关系，也可通过设参数的方法简化边长计算，逐一验证选项。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在菱形ABCD中,AB=BC,过点A作AE⊥BC于点E,若点E是BC的中点,则∠ABC的度数为(
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
B
)。A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先从已知图形是菱形入手，先回忆菱形的性质：菱形的四条边长度相等，因此可直接得到AB=BC。再结合已知条件AE⊥BC且E是BC中点，可判断AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，此时可推出△ABC的三条边都相等，即为等边三角形，结合等边三角形内角的特点即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC（菱形的四条边相等）。
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是结合特殊图形的性质推导得到等边三角形，熟练掌握各类常见几何图形的性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知图形是菱形入手，先回忆菱形的性质：菱形的四条边长度相等，因此可直接得到AB=BC。再结合已知条件AE⊥BC且E是BC中点，可判断AE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AB=AC，此时可推出△ABC的三条边都相等，即为等边三角形，结合等边三角形内角的特点即可求出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC（菱形的四条边相等）。
∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题关键是结合特殊图形的性质推导得到等边三角形，熟练掌握各类常见几何图形的性质能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在矩形ABCD中，$∠ BAD=90°$，$AB=4$，$BC=3$，连接对角线BD，过点A作$AH ⊥ BD$于点H，则线段AH的长为（
A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{14}{5}$
D.$\sqrt{5}$
A
）。A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{14}{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据矩形的性质得到AD的长度与∠BAD为直角，第一步利用勾股定理计算出对角线BD的长度；第二步观察△ABD的面积有两种计算方式：一是以AB和AD为直角边计算，二是以BD为底、AH为高计算，利用等面积法建立等式，即可求出AH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AH$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× AH$，
解得：$AH=\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是特殊平行四边形中常见的线段长度计算题，核心是掌握等面积法的应用，同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高表示，建立等式即可求解未知线段，这种方法在直角三角形、特殊四边形的计算中十分常用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据矩形的性质得到AD的长度与∠BAD为直角，第一步利用勾股定理计算出对角线BD的长度；第二步观察△ABD的面积有两种计算方式：一是以AB和AD为直角边计算，二是以BD为底、AH为高计算，利用等面积法建立等式，即可求出AH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AH$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× AH$，
解得：$AH=\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是特殊平行四边形中常见的线段长度计算题，核心是掌握等面积法的应用，同一个三角形的面积可以用不同的底和对应高表示，建立等式即可求解未知线段，这种方法在直角三角形、特殊四边形的计算中十分常用。
【难度系数】
0.8
4. 如图,正方形ABCD的边长为4,∠ADC=90°,AD=CD,点E是边AD的中点,点F是对角线BD上的一个动点,则线段FA+FE的最小值为
$2\sqrt{5}$
。答案
4.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，可结合正方形的轴对称性求解。首先根据正方形性质可知，对角线BD是正方形的一条对称轴，点A与点C关于BD对称，因此BD上任意一点F到A的距离等于到C的距离，即FA=FC。此时求FA+FE的最小值可转化为求FC+FE的最小值，根据“两点之间线段最短”，当C、F、E三点共线时，FC+FE的值最小，即为线段CE的长度，最后用勾股定理计算CE的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD是它的对角线
∴点A与点C关于BD对称，对BD上任意点F都有AF=CF
∴AF+FE=CF+FE
根据两点之间线段最短，当C、F、E三点共线时，CF+FE取得最小值，最小值为线段CE的长度
∵正方形边长为4，E是AD的中点
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=4，且∠CDE=90°
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
即FA+FE的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是典型的“将军饮马”模型应用题目，解题核心是利用图形的对称性将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算即可，解题思路具有较强的典型性。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径类问题，可结合正方形的轴对称性求解。首先根据正方形性质可知，对角线BD是正方形的一条对称轴，点A与点C关于BD对称，因此BD上任意一点F到A的距离等于到C的距离，即FA=FC。此时求FA+FE的最小值可转化为求FC+FE的最小值，根据“两点之间线段最短”，当C、F、E三点共线时，FC+FE的值最小，即为线段CE的长度，最后用勾股定理计算CE的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD是它的对角线
∴点A与点C关于BD对称，对BD上任意点F都有AF=CF
∴AF+FE=CF+FE
根据两点之间线段最短，当C、F、E三点共线时，CF+FE取得最小值，最小值为线段CE的长度
∵正方形边长为4，E是AD的中点
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2，CD=4，且∠CDE=90°
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
即FA+FE的最小值为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
轴对称的性质；勾股定理；最短路径问题
【点评】
本题是典型的“将军饮马”模型应用题目，解题核心是利用图形的对称性将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算即可，解题思路具有较强的典型性。
【难度系数】
0.7
5. 如图，菱形ABCD的面积为24，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成六部分，则阴影部分的面积之和为
12
。答案
5.12
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的对称性：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心。根据中心对称图形的性质，绕对称中心旋转180°后图形能与自身重合，因此过O点的直线分割出的相对的两部分全等、面积相等，由此可推出阴影部分的总面积等于菱形面积的一半，代入已知的菱形面积即可求解。
【解析】
解：
∵菱形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴将图形绕点O旋转180°后，每一块阴影部分都能与对应的空白部分完全重合，
∴阴影部分的面积之和为菱形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴阴影部分的面积之和$=24×\frac{1}{2}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 菱形的性质
2. 中心对称图形的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的关键是利用中心对称图形的性质，将分散的阴影面积转化为整体菱形面积的一半，避免了分别计算各块阴影面积的繁琐，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的对称性：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心。根据中心对称图形的性质，绕对称中心旋转180°后图形能与自身重合，因此过O点的直线分割出的相对的两部分全等、面积相等，由此可推出阴影部分的总面积等于菱形面积的一半，代入已知的菱形面积即可求解。
【解析】
解：
∵菱形ABCD是中心对称图形，对称中心为对角线的交点O，
∴将图形绕点O旋转180°后，每一块阴影部分都能与对应的空白部分完全重合，
∴阴影部分的面积之和为菱形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴阴影部分的面积之和$=24×\frac{1}{2}=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 菱形的性质
2. 中心对称图形的性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的关键是利用中心对称图形的性质，将分散的阴影面积转化为整体菱形面积的一半，避免了分别计算各块阴影面积的繁琐，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD,点E,F为对角线BD上的两点,若∠EAF=45°,BF=2,DE=4,则EF的长等于
$2\sqrt{5}$
。答案
6.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于正方形中的半角模型问题，解题思路如下：首先观察到AB=AD、∠BAD=90°、∠EAF=45°，符合“共顶点等线段+半角”的特征，优先考虑旋转法构造全等三角形：将△ABF绕点A旋转使AB与AD重合，即可把分散的BF、DE两条线段转化到同一个直角三角形中，同时通过全等将EF与新构造的直角三角形的斜边建立等量关系，最后用勾股定理计算即可得到EF的长度。
【解析】
将△ABF绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，连接EG。
由旋转的性质可得：$AF=AG$，$BF=DG=2$，$∠BAF=∠DAG$，$∠ADG=∠ABF=45°$。
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴$∠ADB=45°$，
∴$∠GDE=∠ADG+∠ADB=45°+45°=90°$，即△GDE为直角三角形。
∵$∠BAD=90°$，$∠EAF=45°$，
∴$∠BAF+∠DAE=∠BAD - ∠EAF=45°$，
替换得$∠DAG+∠DAE=∠GAE=45°$，即$∠GAE=∠EAF$。
在△AEF和△AEG中：
$\{\begin{array}{l}AF=AG \\∠ EAF=∠ GAE \\AE=AE\end{array} $
∴$△ AEF≌△ AEG$（SAS），
∴$EF=EG$。
在Rt△GDE中，$DG=2$，$DE=4$，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{DG^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$EF=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中典型的半角模型应用题，解题关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的已知线段集中到同一个直角三角形中，将所求线段与直角三角形斜边建立关联，这类题能很好地考查几何转化思想和综合运用知识点的能力。
【难度系数】
0.6
本题属于正方形中的半角模型问题，解题思路如下：首先观察到AB=AD、∠BAD=90°、∠EAF=45°，符合“共顶点等线段+半角”的特征，优先考虑旋转法构造全等三角形：将△ABF绕点A旋转使AB与AD重合，即可把分散的BF、DE两条线段转化到同一个直角三角形中，同时通过全等将EF与新构造的直角三角形的斜边建立等量关系，最后用勾股定理计算即可得到EF的长度。
【解析】
将△ABF绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，连接EG。
由旋转的性质可得：$AF=AG$，$BF=DG=2$，$∠BAF=∠DAG$，$∠ADG=∠ABF=45°$。
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴$∠ADB=45°$，
∴$∠GDE=∠ADG+∠ADB=45°+45°=90°$，即△GDE为直角三角形。
∵$∠BAD=90°$，$∠EAF=45°$，
∴$∠BAF+∠DAE=∠BAD - ∠EAF=45°$，
替换得$∠DAG+∠DAE=∠GAE=45°$，即$∠GAE=∠EAF$。
在△AEF和△AEG中：
$\{\begin{array}{l}AF=AG \\∠ EAF=∠ GAE \\AE=AE\end{array} $
∴$△ AEF≌△ AEG$（SAS），
∴$EF=EG$。
在Rt△GDE中，$DG=2$，$DE=4$，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{DG^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$EF=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形中典型的半角模型应用题，解题关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的已知线段集中到同一个直角三角形中，将所求线段与直角三角形斜边建立关联，这类题能很好地考查几何转化思想和综合运用知识点的能力。
【难度系数】
0.6
