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7. 如图,在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=3,AD=5,以点A为圆心,AD的长为半径画弧,交边BC于点E,连接AE,DE,求DE的长。
答案
7. 解:$\because AD=5$,以点 $A$ 为圆心,$AD$ 的长为半径画弧,交边 $BC$ 于点 $E$,
$\therefore AE=AD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ B=90°$,$AB=3$,
由勾股定理,得
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore DC=AB=3$,$BC=AD=5$,$∠ C=90°$,
$\therefore EC=BC-BE=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
$\therefore DE$ 的长是 $\sqrt{10}$。
$\therefore AE=AD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ B=90°$,$AB=3$,
由勾股定理,得
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore DC=AB=3$,$BC=AD=5$,$∠ C=90°$,
$\therefore EC=BC-BE=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,
$\therefore DE$ 的长是 $\sqrt{10}$。
解析
【分析】
解题时首先根据同圆的半径相等，可得AE=AD=5；再结合矩形的性质，可知∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，进而求出EC的长度，最后在Rt△DCE中利用勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
解:$\because AD=5$,以点 $A$ 为圆心,$AD$ 的长为半径画弧,交边 $BC$ 于点 $E$,
$\therefore AE=AD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ B=90°$,$AB=3$,
由勾股定理,得
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore DC=AB=3$,$BC=AD=5$,$∠ C=90°$,
$\therefore EC=BC-BE=5-4=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是利用圆半径相等得到AE与AD的等量关系，结合矩形的边角性质，两次运用勾股定理逐步推导求解，侧重考查基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据同圆的半径相等，可得AE=AD=5；再结合矩形的性质，可知∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长度，进而求出EC的长度，最后在Rt△DCE中利用勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
解:$\because AD=5$,以点 $A$ 为圆心,$AD$ 的长为半径画弧,交边 $BC$ 于点 $E$,
$\therefore AE=AD=5$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$∠ B=90°$,$AB=3$,
由勾股定理,得
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
$\therefore DC=AB=3$,$BC=AD=5$,$∠ C=90°$,
$\therefore EC=BC-BE=5-4=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是利用圆半径相等得到AE与AD的等量关系，结合矩形的边角性质，两次运用勾股定理逐步推导求解，侧重考查基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在菱形ABCD中，AB=BC，∠B=60°，点E，F分别在边AB，AD上，∠ECF=60°。求证：CE=CF。
答案
8. 证明:如图,连接 $AC$。
$\because AB=BC$,$∠ B=60°$,
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BCA=∠ B=60°$,$BC=AC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$,$\therefore ∠ B=∠ DAC$。
$\because ∠ BCA=60°$,$∠ ECF=60°$,
$\therefore ∠ BCA=∠ ECF$,
$\therefore ∠ BCA-∠ ECA=∠ ECF-∠ ECA$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ACF$。
在 $△ BCE$ 和 $△ ACF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ DAC,\\BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$。
解析
【分析】
要证明CE=CF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合已知的∠B=60°、AB=BC以及菱形的性质，可先连接AC构造等边三角形：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△ABC是等边三角形，能得到BC=AC、∠B=∠BCA=60°；再结合∠ECF=60°，可通过角的和差推出∠BCE=∠ACF；然后利用菱形对边平行的性质推导得到∠B=∠CAF，即可通过ASA证明△BCE≌△ACF，最终得到CE=CF。
【解析】
证明：如图，连接$AC$。
$\because AB=BC$，$∠ B=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BCA=∠ B=60°$，$BC=AC$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$，$\therefore ∠ B=∠ DAC$。
$\because ∠ BCA=60°$，$∠ ECF=60°$，
$\therefore ∠ BCA=∠ ECF$，
$\therefore ∠ BCA-∠ ECA=∠ ECF-∠ ECA$，
$\therefore ∠ BCE=∠ ACF$。
在$△ BCE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ DAC,\\BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CE=CF$。
【答案】
证明:如图,连接 $AC$。
$\because AB=BC$,$∠ B=60°$,
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BCA=∠ B=60°$,$BC=AC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$,$\therefore ∠ B=∠ DAC$。
$\because ∠ BCA=60°$,$∠ ECF=60°$,
$\therefore ∠ BCA=∠ ECF$,
$\therefore ∠ BCA-∠ ECA=∠ ECF-∠ ECA$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ACF$。
在 $△ BCE$ 和 $△ ACF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ DAC,\\BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型证明题，解题的关键是合理构造辅助线AC得到等边三角形，再结合角的和差运算推导全等条件，能够有效考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明CE=CF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先结合已知的∠B=60°、AB=BC以及菱形的性质，可先连接AC构造等边三角形：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△ABC是等边三角形，能得到BC=AC、∠B=∠BCA=60°；再结合∠ECF=60°，可通过角的和差推出∠BCE=∠ACF；然后利用菱形对边平行的性质推导得到∠B=∠CAF，即可通过ASA证明△BCE≌△ACF，最终得到CE=CF。
【解析】
证明：如图，连接$AC$。
$\because AB=BC$，$∠ B=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BCA=∠ B=60°$，$BC=AC$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$，$\therefore ∠ B=∠ DAC$。
$\because ∠ BCA=60°$，$∠ ECF=60°$，
$\therefore ∠ BCA=∠ ECF$，
$\therefore ∠ BCA-∠ ECA=∠ ECF-∠ ECA$，
$\therefore ∠ BCE=∠ ACF$。
在$△ BCE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ DAC,\\BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CE=CF$。
【答案】
证明:如图,连接 $AC$。
$\because AB=BC$,$∠ B=60°$,
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ BCA=∠ B=60°$,$BC=AC$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$,$\therefore ∠ B=∠ DAC$。
$\because ∠ BCA=60°$,$∠ ECF=60°$,
$\therefore ∠ BCA=∠ ECF$,
$\therefore ∠ BCA-∠ ECA=∠ ECF-∠ ECA$,
$\therefore ∠ BCE=∠ ACF$。
在 $△ BCE$ 和 $△ ACF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ DAC,\\BC=AC,\\∠ BCE=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ ACF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$。
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型证明题，解题的关键是合理构造辅助线AC得到等边三角形，再结合角的和差运算推导全等条件，能够有效考查几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使△ABC落在△AB'C的位置，点B落在B'处，B'C交AD于点E。已知∠D=90°，AD=8，AB=4，求△ACE的面积。
答案
9. 解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$AD=8$,$AB=4$,
$\therefore AD// BC$,$BC=AD=8$,$DC=AB=4$,
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$。
由折叠可得,$∠ BCA=∠ B'CA$,$B'C=BC=8$,
$\therefore ∠ DAC=∠ B'CA$,$\therefore EA=EC$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,$∠ D=90°$,
由勾股定理,得 $EC^2=DE^2+DC^2$。
$\because DE=AD-AE=8-EA$,
$\therefore EA^2=(8-EA)^2+4^2$,解得 $EA=5$,
$\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}EA· DC=\frac{1}{2}×5×4=10$,
$\therefore △ ACE$ 的面积是 $10$。
$\therefore AD// BC$,$BC=AD=8$,$DC=AB=4$,
$\therefore ∠ BCA=∠ DAC$。
由折叠可得,$∠ BCA=∠ B'CA$,$B'C=BC=8$,
$\therefore ∠ DAC=∠ B'CA$,$\therefore EA=EC$。
在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,$∠ D=90°$,
由勾股定理,得 $EC^2=DE^2+DC^2$。
$\because DE=AD-AE=8-EA$,
$\therefore EA^2=(8-EA)^2+4^2$,解得 $EA=5$,
$\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}EA· DC=\frac{1}{2}×5×4=10$,
$\therefore △ ACE$ 的面积是 $10$。
解析
【分析】
要计算△ACE的面积，可选择AE为底，CD为高求解，因此核心是求出线段AE的长度。首先利用矩形对边平行的性质可得内错角∠BCA=∠DAC，再结合折叠前后对应角相等的性质，可推出∠DAC=∠B'CA，根据等角对等边得到EA=EC，将两条相等线段转化到Rt△DCE中；接下来设EA的长度为x，用含x的式子表示出DE的长度，再借助勾股定理列方程求解得到EA的长，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=8，AB=4，
∴ AD//BC，BC=AD=8，DC=AB=4，
∴ ∠BCA=∠DAC。
由折叠可得，∠BCA=∠B'CA，B'C=BC=8，
∴ ∠DAC=∠B'CA，
∴ EA=EC。
在Rt△DCE中，∠D=90°，
由勾股定理，得$EC^2=DE^2+DC^2$。
∵ DE=AD-AE=8-EA，
∴ $EA^2=(8-EA)^2+4^2$，解得EA=5，
∴ $S_{△ACE}=\frac{1}{2}EA· DC=\frac{1}{2}×5×4=10$。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何折叠类基础综合题，解题关键是利用折叠的不变性得到等角，进而推出等腰三角形，再结合勾股定理运用方程思想求解线段长度，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算△ACE的面积，可选择AE为底，CD为高求解，因此核心是求出线段AE的长度。首先利用矩形对边平行的性质可得内错角∠BCA=∠DAC，再结合折叠前后对应角相等的性质，可推出∠DAC=∠B'CA，根据等角对等边得到EA=EC，将两条相等线段转化到Rt△DCE中；接下来设EA的长度为x，用含x的式子表示出DE的长度，再借助勾股定理列方程求解得到EA的长，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=8，AB=4，
∴ AD//BC，BC=AD=8，DC=AB=4，
∴ ∠BCA=∠DAC。
由折叠可得，∠BCA=∠B'CA，B'C=BC=8，
∴ ∠DAC=∠B'CA，
∴ EA=EC。
在Rt△DCE中，∠D=90°，
由勾股定理，得$EC^2=DE^2+DC^2$。
∵ DE=AD-AE=8-EA，
∴ $EA^2=(8-EA)^2+4^2$，解得EA=5，
∴ $S_{△ACE}=\frac{1}{2}EA· DC=\frac{1}{2}×5×4=10$。
【答案】
10
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何折叠类基础综合题，解题关键是利用折叠的不变性得到等角，进而推出等腰三角形，再结合勾股定理运用方程思想求解线段长度，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.【综合与实践】如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$。
(1)尺规作图:作$∠ ACB$的平分线$CD$，交$AB$于点$D$，作线段$CD$的垂直平分线$EF$，交$AC$于点$E$，交$CD$于点$O$，交$BC$于点$F$；
(2)在(1)的条件下，连接$DE$，$DF$，试说明四边形$CEDF$的四条边长度相等。
(1)尺规作图:作$∠ ACB$的平分线$CD$，交$AB$于点$D$，作线段$CD$的垂直平分线$EF$，交$AC$于点$E$，交$CD$于点$O$，交$BC$于点$F$；
(2)在(1)的条件下，连接$DE$，$DF$，试说明四边形$CEDF$的四条边长度相等。
答案
10.(1) 解:如图①,$CD$,$EF$ 为所求。
(2) 证明:如图②,连接 $DE$,$DF$。
$\because ∠ ACB$ 的平分线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD$。
$\because$ 线段 $CD$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,
$\therefore CE=DE$,$CF=DF$,$∠ COE=∠ COF=90°$。
在 $△ COE$ 和 $△ COF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCD,\\OC=OC,\\∠ COE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ COF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$,
$\therefore CE=CF=DE=DF$,
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 的四条边长度相等。
解析
【分析】
(1) 尺规作图部分：①作角平分线：以点C为圆心取适当长度为半径画弧交AC、BC于两点，再分别以这两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内部的交点与C连接并延长交AB于D，即可得到角平分线CD；②作垂直平分线：分别以C、D为圆心、大于$\frac{1}{2}$CD的长度为半径画弧，两弧交于CD上下方各一点，连接两点即可得到CD的垂直平分线EF。
(2) 证明部分：要证四边形CEDF四边相等，首先根据垂直平分线的性质可得CE=DE、CF=DF，只需再证明CE=CF即可推出四边相等；观察到CE、CF分别在△COE和△COF中，结合CD是角平分线得∠ACD=∠BCD，EF垂直CD得∠COE=∠COF=90°，加上公共边OC，用ASA可证两三角形全等得到CE=CF，最终推出四条边相等。
【解析】
(1) 作图步骤：
①作∠ACB的平分线：以C为圆心任意长为半径画弧，分别交AC、BC于两点，再分别以这两个点为圆心，大于两点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内交于一点，过C和该交点作射线交AB于D，得到CD；
②作CD的垂直平分线：分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，分别交AC于E、BC于F、CD于O，得到EF，作图结果如图①所示。
(2) 证明：连接DE、DF，如图②。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
∵EF是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，CF=DF，EF⊥CD，即∠COE=∠COF=90°。
在△COE和△COF中：
$\begin{cases}∠ACD=∠BCD,\\OC=OC,\\∠COE=∠COF,\end{cases}$
∴△COE≌△COF(ASA)，
∴CE=CF，
∴CE=CF=DE=DF，即四边形CEDF的四条边长度相等。
【答案】
(1) 解:如图①,$CD$,$EF$ 为所求。
(2) 证明:如图②,连接 $DE$,$DF$。
$\because ∠ ACB$ 的平分线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD$。
$\because$ 线段 $CD$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,
$\therefore CE=DE$,$CF=DF$,$∠ COE=∠ COF=90°$。
在 $△ COE$ 和 $△ COF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCD,\\OC=OC,\\∠ COE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ COF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$,
$\therefore CE=CF=DE=DF$,
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 的四条边长度相等。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，既考查了基础作图的操作能力，又考查了角平分线、垂直平分线性质及全等三角形判定的应用，核心是通过全等三角形转化边的等量关系，属于几何基础综合题，能有效巩固基础几何证明的逻辑思路。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图部分：①作角平分线：以点C为圆心取适当长度为半径画弧交AC、BC于两点，再分别以这两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内部的交点与C连接并延长交AB于D，即可得到角平分线CD；②作垂直平分线：分别以C、D为圆心、大于$\frac{1}{2}$CD的长度为半径画弧，两弧交于CD上下方各一点，连接两点即可得到CD的垂直平分线EF。
(2) 证明部分：要证四边形CEDF四边相等，首先根据垂直平分线的性质可得CE=DE、CF=DF，只需再证明CE=CF即可推出四边相等；观察到CE、CF分别在△COE和△COF中，结合CD是角平分线得∠ACD=∠BCD，EF垂直CD得∠COE=∠COF=90°，加上公共边OC，用ASA可证两三角形全等得到CE=CF，最终推出四条边相等。
【解析】
(1) 作图步骤：
①作∠ACB的平分线：以C为圆心任意长为半径画弧，分别交AC、BC于两点，再分别以这两个点为圆心，大于两点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内交于一点，过C和该交点作射线交AB于D，得到CD；
②作CD的垂直平分线：分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，分别交AC于E、BC于F、CD于O，得到EF，作图结果如图①所示。
(2) 证明：连接DE、DF，如图②。
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD。
∵EF是CD的垂直平分线，
∴CE=DE，CF=DF，EF⊥CD，即∠COE=∠COF=90°。
在△COE和△COF中：
$\begin{cases}∠ACD=∠BCD,\\OC=OC,\\∠COE=∠COF,\end{cases}$
∴△COE≌△COF(ASA)，
∴CE=CF，
∴CE=CF=DE=DF，即四边形CEDF的四条边长度相等。
【答案】
(1) 解:如图①,$CD$,$EF$ 为所求。
(2) 证明:如图②,连接 $DE$,$DF$。
$\because ∠ ACB$ 的平分线 $CD$ 交 $AB$ 于点 $D$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD$。
$\because$ 线段 $CD$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $E$,交 $BC$ 于点 $F$,
$\therefore CE=DE$,$CF=DF$,$∠ COE=∠ COF=90°$。
在 $△ COE$ 和 $△ COF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACD=∠ BCD,\\OC=OC,\\∠ COE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ COE≌△ COF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=CF$,
$\therefore CE=CF=DE=DF$,
$\therefore$ 四边形 $CEDF$ 的四条边长度相等。
【知识点】
1. 尺规作图
2. 线段垂直平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，既考查了基础作图的操作能力，又考查了角平分线、垂直平分线性质及全等三角形判定的应用，核心是通过全等三角形转化边的等量关系，属于几何基础综合题，能有效巩固基础几何证明的逻辑思路。
【难度系数】
0.7
