登录
1. 如图，$AD // BE // FC$，$AB:BC=2:3$，$DF=15$，则$EF$的长为（
A.9
B.10
C.11.5
D.12
（第1题）
A
）。A.9
B.10
C.11.5
D.12
（第1题）答案
A
解析
【分析】
观察到图中有一组平行线$AD// BE// FC$，同时截两条直线$AC$和$FD$，首先想到运用平行线分线段成比例定理，可得到截得的对应线段成比例，即$AB:BC=DE:EF$；已知$AB:BC=2:3$，$DF=DE+EF=15$，我们可以通过设参数的方式，将比例关系转化为方程求解，即可算出$EF$的长度。
【解析】
解：$\because AD// BE// FC$
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设$DE=2k$，$EF=3k$（$k\ne0$）
$\because DF=DE+EF=15$
$\therefore 2k+3k=15$
解得$k=3$
$\therefore EF=3k=3×3=9$
故选：A
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到被平行线截得的对应线段，列出正确的比例关系，再结合线段和的条件求解即可。
【难度系数】
0.8
观察到图中有一组平行线$AD// BE// FC$，同时截两条直线$AC$和$FD$，首先想到运用平行线分线段成比例定理，可得到截得的对应线段成比例，即$AB:BC=DE:EF$；已知$AB:BC=2:3$，$DF=DE+EF=15$，我们可以通过设参数的方式，将比例关系转化为方程求解，即可算出$EF$的长度。
【解析】
解：$\because AD// BE// FC$
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$
设$DE=2k$，$EF=3k$（$k\ne0$）
$\because DF=DE+EF=15$
$\therefore 2k+3k=15$
解得$k=3$
$\therefore EF=3k=3×3=9$
故选：A
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到被平行线截得的对应线段，列出正确的比例关系，再结合线段和的条件求解即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，且相似比为$\frac{4}{5}$，点E在边BC上，则下列结论不正确的是（
A.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{25}{16}$
D.$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{4}$
C
）。A.$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=\frac{25}{16}$
D.$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{4}$
答案
C
解析
【分析】
本题可根据相似三角形的性质逐一分析选项：首先明确相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比等于相似比的平方，且要注意相似比的对应顺序（$△ ABC$与$△ ADE$的相似比为$\frac{4}{5}$，即$△ ABC$的边长对应除以$△ ADE$的对应边长等于$\frac{4}{5}$），据此判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ADE$，相似比为$\frac{4}{5}$，即$△ ABC$与$△ ADE$的相似比$k=\frac{4}{5}$。
选项A：相似三角形对应边成比例，AB对应AD，BC对应DE，因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{4}{5}$，A结论正确，不符合题意；
选项B：相似三角形对应角相等，因此$∠ BAC=∠ DAE$，等式两边同时减去公共角$∠ BAE$，可得$∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$，即$∠ 1=∠ 2$，B结论正确，不符合题意；
选项C：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}≠\frac{25}{16}$，C结论错误，符合题意；
选项D：相似三角形对应边成比例，AC对应AE，因此$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{5}$，变形可得$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{4}$，D结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的应用，相似三角形面积比规律
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是明确相似比的对应顺序，牢记相似三角形边、角、面积的相关性质，避免因混淆两个三角形的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
本题可根据相似三角形的性质逐一分析选项：首先明确相似三角形对应边成比例、对应角相等，面积比等于相似比的平方，且要注意相似比的对应顺序（$△ ABC$与$△ ADE$的相似比为$\frac{4}{5}$，即$△ ABC$的边长对应除以$△ ADE$的对应边长等于$\frac{4}{5}$），据此判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知$△ ABC ∽ △ ADE$，相似比为$\frac{4}{5}$，即$△ ABC$与$△ ADE$的相似比$k=\frac{4}{5}$。
选项A：相似三角形对应边成比例，AB对应AD，BC对应DE，因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{4}{5}$，A结论正确，不符合题意；
选项B：相似三角形对应角相等，因此$∠ BAC=∠ DAE$，等式两边同时减去公共角$∠ BAE$，可得$∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$，即$∠ 1=∠ 2$，B结论正确，不符合题意；
选项C：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}}=(\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}≠\frac{25}{16}$，C结论错误，符合题意；
选项D：相似三角形对应边成比例，AC对应AE，因此$\frac{AC}{AE}=\frac{4}{5}$，变形可得$\frac{AE}{AC}=\frac{5}{4}$，D结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的应用，相似三角形面积比规律
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是明确相似比的对应顺序，牢记相似三角形边、角、面积的相关性质，避免因混淆两个三角形的对应关系出错。
【难度系数】
0.8
3. 如图，△ABC与△A₁B₁C₁位似，位似中心是点O，OA:AA₁=1:3。若△ABC的面积为5，则△A₁B₁C₁的面积为（
A.10
B.15
C.20
D.45
C
）。A.10
B.15
C.20
D.45
答案
C
解析
【分析】
这道题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先明确位似是特殊的相似，位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似图形的面积比等于相似比的平方。第一步先根据已知的OA与AA₁的比例关系，结合图形中位似中心和两个三角形的位置，推导得出OA与OA₁的比值，即两个三角形的相似比；再根据面积比和相似比的关系，代入△ABC的面积即可计算出△A₁B₁C₁的面积。
【解析】
解：
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=\frac{OA}{OA_1}$。
已知$OA:AA_1=1:3$，可得$AA_1=3OA$，
由图可知位似中心O在点A和点A₁之间，因此$AA_1=OA+OA_1$，
将$AA_1=3OA$代入得：$3OA=OA+OA_1$，解得$OA_1=2OA$，
∴相似比$k=\frac{OA}{OA_1}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
把$S_{△ ABC}=5$代入得：$\frac{5}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{1}{4}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=5×4=20$。
【答案】
C
【知识点】
位似的性质、相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是容易误将OA:AA₁直接当做相似比，解题时需要结合图形判断位似中心与对应点的位置关系，正确推导对应点到位似中心的距离比，再结合相似图形面积比的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
这道题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先明确位似是特殊的相似，位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似图形的面积比等于相似比的平方。第一步先根据已知的OA与AA₁的比例关系，结合图形中位似中心和两个三角形的位置，推导得出OA与OA₁的比值，即两个三角形的相似比；再根据面积比和相似比的关系，代入△ABC的面积即可计算出△A₁B₁C₁的面积。
【解析】
解：
∵△ABC与△A₁B₁C₁位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$k=\frac{OA}{OA_1}$。
已知$OA:AA_1=1:3$，可得$AA_1=3OA$，
由图可知位似中心O在点A和点A₁之间，因此$AA_1=OA+OA_1$，
将$AA_1=3OA$代入得：$3OA=OA+OA_1$，解得$OA_1=2OA$，
∴相似比$k=\frac{OA}{OA_1}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
把$S_{△ ABC}=5$代入得：$\frac{5}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{1}{4}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=5×4=20$。
【答案】
C
【知识点】
位似的性质、相似三角形的性质
【点评】
本题的易错点是容易误将OA:AA₁直接当做相似比，解题时需要结合图形判断位似中心与对应点的位置关系，正确推导对应点到位似中心的距离比，再结合相似图形面积比的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,连接AC,BD,△ABC是等边三角形,DE//BC,DE与AC交于点E,△ADE∽△DBC。
(1)猜想∠ADB与∠DBC之间的数量关系,并说明理由;
(2)求证:点E是线段AC的黄金分割点。
(1)猜想∠ADB与∠DBC之间的数量关系,并说明理由;
(2)求证:点E是线段AC的黄金分割点。
答案
(1)解:∠ADB=2∠DBC。理由如下：
∵△ADE∽△DBC，
∴∠ADE=∠DBC。
∵DE//BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠DBC=∠BDE=∠ADE。
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB=2∠DBC。
(2)证明:如图，
∵△ADE∽△DBC，
∴∠AED=∠DCB。
∵∠AED是△DCE的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠3。
∵∠DCB=∠1+∠3，
∴∠EDC=∠1。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠EDC=60°。
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠3=∠EDC=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=DE=DC。
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC。
∵△ADE∽△DBC，
∴$\frac{EA}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
解析
【分析】
(1) 要探究∠ADB与∠DBC的数量关系，首先利用相似三角形的对应角相等得到∠ADE=∠DBC，再结合DE//BC的平行线性质得到内错角∠BDE=∠DBC，观察∠ADB是由∠ADE和∠BDE组成的，即可推导两角的倍数关系。
(2) 要证明点E是AC的黄金分割点，需证明黄金分割的比例关系$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$（即$CE^2=EA· AC$）。首先利用相似三角形对应角相等、外角性质推导角的关系，结合等边三角形和平行线的性质证明△CDE为等边三角形，得到CE=DE=CD，再结合等边△ABC中AC=BC，将相似三角形得到的边的比例式进行线段代换，即可得到所需比例式。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ ADB=2∠ DBC}$，理由如下：
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$∠ ADE=∠ DBC$。
∵$DE // BC$，
∴$∠ DBC=∠ BDE$，
∴$∠ DBC=∠ BDE=∠ ADE$。
∵$∠ ADB=∠ ADE+∠ BDE$，
∴$∠ ADB=2∠ DBC$。
(2) 证明：
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$∠ AED=∠ DCB$。
∵$∠ AED$是$△ DCE$的外角，
∴$∠ AED=∠ EDC+∠ 3$。
又
∵$∠ DCB=∠ 1+∠ 3$，
∴$∠ EDC=∠ 1$。
∵$△ ABC$为等边三角形，
∴$∠ 1=∠ 2=60°$，$AC=BC$，
∴$∠ EDC=60°$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ 3=∠ 2=60°$，
∴$∠ 3=∠ EDC=60°$，
∴$△ CDE$为等边三角形，
∴$CE=DE=DC$。
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$\frac{EA}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
将$CD=CE$，$DE=CE$，$BC=AC$代入得：
$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$，满足黄金分割的比例关系，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【答案】
(1) $∠ ADB=2∠ DBC$，理由如下：
∵△ADE∽△DBC，
∴∠ADE=∠DBC。
∵DE//BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠DBC=∠BDE=∠ADE。
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB=2∠DBC。
(2)证明:如图，
∵△ADE∽△DBC，
∴∠AED=∠DCB。
∵∠AED是△DCE的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠3。
∵∠DCB=∠1+∠3，
∴∠EDC=∠1。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠EDC=60°。
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠3=∠EDC=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=DE=DC。
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC。
∵△ADE∽△DBC，
∴$\frac{EA}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【知识点】
相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质；黄金分割的定义
【点评】
本题是几何综合题，将平行线、等边三角形、相似三角形、黄金分割等知识点结合考查，需要熟练掌握各基础知识点的性质，通过角的等量代换、线段的比例代换逐步推导结论，能够提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要探究∠ADB与∠DBC的数量关系，首先利用相似三角形的对应角相等得到∠ADE=∠DBC，再结合DE//BC的平行线性质得到内错角∠BDE=∠DBC，观察∠ADB是由∠ADE和∠BDE组成的，即可推导两角的倍数关系。
(2) 要证明点E是AC的黄金分割点，需证明黄金分割的比例关系$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$（即$CE^2=EA· AC$）。首先利用相似三角形对应角相等、外角性质推导角的关系，结合等边三角形和平行线的性质证明△CDE为等边三角形，得到CE=DE=CD，再结合等边△ABC中AC=BC，将相似三角形得到的边的比例式进行线段代换，即可得到所需比例式。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ ADB=2∠ DBC}$，理由如下：
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$∠ ADE=∠ DBC$。
∵$DE // BC$，
∴$∠ DBC=∠ BDE$，
∴$∠ DBC=∠ BDE=∠ ADE$。
∵$∠ ADB=∠ ADE+∠ BDE$，
∴$∠ ADB=2∠ DBC$。
(2) 证明：
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$∠ AED=∠ DCB$。
∵$∠ AED$是$△ DCE$的外角，
∴$∠ AED=∠ EDC+∠ 3$。
又
∵$∠ DCB=∠ 1+∠ 3$，
∴$∠ EDC=∠ 1$。
∵$△ ABC$为等边三角形，
∴$∠ 1=∠ 2=60°$，$AC=BC$，
∴$∠ EDC=60°$。
∵$AB // CD$，
∴$∠ 3=∠ 2=60°$，
∴$∠ 3=∠ EDC=60°$，
∴$△ CDE$为等边三角形，
∴$CE=DE=DC$。
∵$△ ADE ∽ △ DBC$，
∴$\frac{EA}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
将$CD=CE$，$DE=CE$，$BC=AC$代入得：
$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$，满足黄金分割的比例关系，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【答案】
(1) $∠ ADB=2∠ DBC$，理由如下：
∵△ADE∽△DBC，
∴∠ADE=∠DBC。
∵DE//BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠DBC=∠BDE=∠ADE。
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB=2∠DBC。
(2)证明:如图，
∵△ADE∽△DBC，
∴∠AED=∠DCB。
∵∠AED是△DCE的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠3。
∵∠DCB=∠1+∠3，
∴∠EDC=∠1。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠EDC=60°。
∵AB//CD，
∴∠3=∠2=60°，
∴∠3=∠EDC=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=DE=DC。
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC。
∵△ADE∽△DBC，
∴$\frac{EA}{CD}=\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{EA}{CE}=\frac{CE}{AC}$，
∴点E是线段AC的黄金分割点。
【知识点】
相似三角形的性质；等边三角形的判定与性质；黄金分割的定义
【点评】
本题是几何综合题，将平行线、等边三角形、相似三角形、黄金分割等知识点结合考查，需要熟练掌握各基础知识点的性质，通过角的等量代换、线段的比例代换逐步推导结论，能够提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 如图，一张锐角三角形纸片$ABC$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$AD=2DB$。用剪刀沿$DE$所在的直线剪开，若$△ ADE ∽ △ ABC$，则剪出的$△ ADE$的周长为原三角形纸片$ABC$周长的（
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）。A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比。我们首先需要找到△ADE与△ABC的相似比，已知AD和DB的数量关系，可先推出AD与AB的比值，这个比值就是两个三角形的相似比，进而就能得到周长的比值。
【解析】
已知$AD=2DB$，则$AB=AD+DB=2DB+DB=3DB$，因此对应边的比值为$\frac{AD}{AB}=\frac{2DB}{3DB}=\frac{2}{3}$。
因为$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，即剪出的$△ ADE$的周长为原三角形$ABC$周长的$\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形性质，比例线段计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查相似三角形的基本性质，解题的关键是准确求出两个相似三角形的相似比，牢记相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于对应边的相似比。我们首先需要找到△ADE与△ABC的相似比，已知AD和DB的数量关系，可先推出AD与AB的比值，这个比值就是两个三角形的相似比，进而就能得到周长的比值。
【解析】
已知$AD=2DB$，则$AB=AD+DB=2DB+DB=3DB$，因此对应边的比值为$\frac{AD}{AB}=\frac{2DB}{3DB}=\frac{2}{3}$。
因为$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$，即剪出的$△ ADE$的周长为原三角形$ABC$周长的$\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形性质，比例线段计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查相似三角形的基本性质，解题的关键是准确求出两个相似三角形的相似比，牢记相似三角形周长比等于相似比的性质即可快速求解，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.8
