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2. 如图，点 D 在$△ ABC$的边 AC 上，添加一个条件使$△ ADB ∽ △ ABC$，下面是小明和小亮添加的条件的证明过程。下列判断不正确的是(
小明：
添加条件：$∠ ABD = ∠ C$。
证明：$\because ∠ ABD = ∠ C, ∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
小亮：
添加条件：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$。
证明：$\because ∠ A = ∠ A$，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ABC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
A.小明的证明过程没有问题
B.小亮的证明过程没有问题
C.小明添加的条件没有问题
D.小亮添加的条件有问题
B
)。小明：
添加条件：$∠ ABD = ∠ C$。
证明：$\because ∠ ABD = ∠ C, ∠ A = ∠ A$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
小亮：
添加条件：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$。
证明：$\because ∠ A = ∠ A$，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ABC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
A.小明的证明过程没有问题
B.小亮的证明过程没有问题
C.小明添加的条件没有问题
D.小亮添加的条件有问题
答案
B
解析
【分析】
要判断四个选项的正误，需结合相似三角形的判定定理分别分析小明和小亮的条件、证明是否正确：首先回忆相似三角形的常见判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（注意夹角必须是两组成比例对应边的夹角）。先分析小明的情况：∠A是两个三角形的公共角，添加∠ABD=∠C后，满足两角分别相等，可判定相似，因此小明的条件和证明都正确。再分析小亮的情况：他给出的成比例边为$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，但公共角∠A并不是这两组成比例边的夹角，因此不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，小亮的证明和添加的条件都存在问题，据此即可判断各选项对错。
【解析】
结合相似三角形的判定定理逐一分析：
1. 分析小明的证明与条件：
∠A是△ADB和△ABC的公共角，添加$∠ABD = ∠C$后，两个三角形有两组角分别相等，符合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，因此小明添加的条件正确，证明过程无误，故A、C选项的判断正确。
2. 分析小亮的证明与条件：
小亮给出的比例式为$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，若使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理，要求相等的角必须是两组成比例对应边的夹角。此处两组成比例的边分别是△ADB的AB、BD，和△ABC的AC、CB，它们的夹角分别是∠ABD和∠C，不是公共角∠A，因此不满足判定条件，小亮的证明过程错误，添加的条件也不能判定两个三角形相似，故D选项的判断正确，B选项的判断错误。
题目要求选择判断不正确的选项，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题的易错点是对“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理理解不到位，忽略相等的角必须是两组成比例对应边的夹角，误用非夹角的等角进行判定，解题时要注意对应边和对应角的匹配关系。
【难度系数】
0.7
要判断四个选项的正误，需结合相似三角形的判定定理分别分析小明和小亮的条件、证明是否正确：首先回忆相似三角形的常见判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（注意夹角必须是两组成比例对应边的夹角）。先分析小明的情况：∠A是两个三角形的公共角，添加∠ABD=∠C后，满足两角分别相等，可判定相似，因此小明的条件和证明都正确。再分析小亮的情况：他给出的成比例边为$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，但公共角∠A并不是这两组成比例边的夹角，因此不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，小亮的证明和添加的条件都存在问题，据此即可判断各选项对错。
【解析】
结合相似三角形的判定定理逐一分析：
1. 分析小明的证明与条件：
∠A是△ADB和△ABC的公共角，添加$∠ABD = ∠C$后，两个三角形有两组角分别相等，符合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，因此小明添加的条件正确，证明过程无误，故A、C选项的判断正确。
2. 分析小亮的证明与条件：
小亮给出的比例式为$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}$，若使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理，要求相等的角必须是两组成比例对应边的夹角。此处两组成比例的边分别是△ADB的AB、BD，和△ABC的AC、CB，它们的夹角分别是∠ABD和∠C，不是公共角∠A，因此不满足判定条件，小亮的证明过程错误，添加的条件也不能判定两个三角形相似，故D选项的判断正确，B选项的判断错误。
题目要求选择判断不正确的选项，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 对应边与对应角识别
【点评】
本题的易错点是对“两边成比例且夹角相等”的相似判定定理理解不到位，忽略相等的角必须是两组成比例对应边的夹角，误用非夹角的等角进行判定，解题时要注意对应边和对应角的匹配关系。
【难度系数】
0.7
3. 将直角三角形纸片$ABC(∠ C=90°)$按如图所示的方式折叠两次后展开，下列结论正确的是（
A.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$
B.$BC=2DE=3MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{3}NQ$
D.$MN=\frac{1}{3}PQ=\frac{1}{4}BC$
D
）。A.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$
B.$BC=2DE=3MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{3}NQ$
D.$MN=\frac{1}{3}PQ=\frac{1}{4}BC$
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质确定AC边上各线段的等量关系：两次折叠后AC被四等分，即$AM=MD=DP=PC$；再根据折痕均垂直于AC、$∠ C=90°$，可得$MN// DE// PQ// BC$，进而推出三个小三角形都与$△ ABC$相似；最后结合相似三角形对应边成比例的性质，计算各折痕与BC的比例，逐一判断选项即可。
【解析】
由折叠的性质可得：$AM=MD=DP=PC$，因此$AM:AD:AP:AC=1:2:3:4$。
$\because ∠ C=90°$，折痕均垂直于AC，$\therefore MN// DE// PQ// BC$，
$\therefore △ AMN ∽ △ ADE ∽ △ APQ ∽ △ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，即$MN=\frac{1}{4}BC$；
$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$，即$PQ=\frac{3}{4}BC$，因此$MN=\frac{1}{3}PQ$。
综上可得$MN=\frac{1}{3}PQ=\frac{1}{4}BC$，D选项正确。
再验证其余选项：
A选项：$\frac{MN}{DE}=\frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{PQ}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{3}{4}BC}=\frac{2}{3}$，比值不相等，错误；
B选项：$BC=2DE$成立，但$BC=4MN≠3MN$，错误；
C选项：由相似可得$AN: NQ: QB=1:2:1$，即$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ≠\frac{1}{3}NQ$，错误。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查几何图形的比例关系，解题的核心是从折叠过程中提取线段相等的隐含条件，确定相似三角形的相似比，再结合相似性质推导线段比例，能有效考查学生的空间想象能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质确定AC边上各线段的等量关系：两次折叠后AC被四等分，即$AM=MD=DP=PC$；再根据折痕均垂直于AC、$∠ C=90°$，可得$MN// DE// PQ// BC$，进而推出三个小三角形都与$△ ABC$相似；最后结合相似三角形对应边成比例的性质，计算各折痕与BC的比例，逐一判断选项即可。
【解析】
由折叠的性质可得：$AM=MD=DP=PC$，因此$AM:AD:AP:AC=1:2:3:4$。
$\because ∠ C=90°$，折痕均垂直于AC，$\therefore MN// DE// PQ// BC$，
$\therefore △ AMN ∽ △ ADE ∽ △ APQ ∽ △ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}$，即$MN=\frac{1}{4}BC$；
$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$，即$PQ=\frac{3}{4}BC$，因此$MN=\frac{1}{3}PQ$。
综上可得$MN=\frac{1}{3}PQ=\frac{1}{4}BC$，D选项正确。
再验证其余选项：
A选项：$\frac{MN}{DE}=\frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{PQ}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{3}{4}BC}=\frac{2}{3}$，比值不相等，错误；
B选项：$BC=2DE$成立，但$BC=4MN≠3MN$，错误；
C选项：由相似可得$AN: NQ: QB=1:2:1$，即$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ≠\frac{1}{3}NQ$，错误。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查几何图形的比例关系，解题的核心是从折叠过程中提取线段相等的隐含条件，确定相似三角形的相似比，再结合相似性质推导线段比例，能有效考查学生的空间想象能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$是位似图形，位似中心为点$O$，$OA:AD=1:2$，给出下列结论：
①$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$；
②$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$；
③$\frac{△ OBC的周长}{△ OEF的周长}=\frac{1}{3}$；
④$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\frac{1}{4}$。
其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$△ ABC$与$△ DEF$的相似比为$\frac{1}{3}$；
②$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$；
③$\frac{△ OBC的周长}{△ OEF的周长}=\frac{1}{3}$；
④$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=\frac{1}{4}$。
其中正确的结论有（
B
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
本题考查位似图形与相似三角形性质的综合应用，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。首先根据已知OA:AD=1:2，先求出对应点到位似中心的距离比，即△ABC与△DEF的相似比OA:OD=1:3，再结合相似的性质逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，
∴点A、D共线，点B、E共线，点C、F共线，且$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$，即相似比等于对应点到位似中心的距离比。
已知OA:AD=1:2，
∴$OD=OA+AD$，则$\frac{OA}{OD}=\frac{OA}{OA+AD}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，即△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{3}$。
逐一判断结论：
①△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{3}$，结论正确；
②$\frac{AC}{DF}=$相似比$=\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，结论错误；
③
∵$\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$，
∴△OBC∽△OEF，相似比为$\frac{1}{3}$，相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{△OBC的周长}{△OEF的周长}=\frac{1}{3}$，结论正确；
④相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}≠\frac{1}{4}$，结论错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长比；相似三角形面积比
【点评】
本题核心是掌握位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离比，再结合相似三角形的周长、面积与相似比的关系判断即可，解题时要注意不要将OA:AD错认为是位似比，也不要混淆周长比和面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形与相似三角形性质的综合应用，解题思路如下：首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。首先根据已知OA:AD=1:2，先求出对应点到位似中心的距离比，即△ABC与△DEF的相似比OA:OD=1:3，再结合相似的性质逐一判断4个结论的正误即可。
【解析】
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，
∴点A、D共线，点B、E共线，点C、F共线，且$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$，即相似比等于对应点到位似中心的距离比。
已知OA:AD=1:2，
∴$OD=OA+AD$，则$\frac{OA}{OD}=\frac{OA}{OA+AD}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$，即△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{3}$。
逐一判断结论：
①△ABC与△DEF的相似比为$\frac{1}{3}$，结论正确；
②$\frac{AC}{DF}=$相似比$=\frac{1}{3}≠\frac{1}{2}$，结论错误；
③
∵$\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{3}$，
∴△OBC∽△OEF，相似比为$\frac{1}{3}$，相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{△OBC的周长}{△OEF的周长}=\frac{1}{3}$，结论正确；
④相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ABC}}{S_{△DEF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}≠\frac{1}{4}$，结论错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长比；相似三角形面积比
【点评】
本题核心是掌握位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离比，再结合相似三角形的周长、面积与相似比的关系判断即可，解题时要注意不要将OA:AD错认为是位似比，也不要混淆周长比和面积比与相似比的对应关系。
【难度系数】
0.7
5.【跨学科】野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（若某地在等高线上，则其海拔就等于其所在等高线表示的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线表示的数值范围内）。若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则$\frac{AB}{AC}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先观察等高线示意图，确定等高距为100m，得到A、B、C三点的海拔分别为500m、300m、200m。由于等高线是平行且均匀分布的，A、B、C三点共线，根据平行线分线段成比例的性质，线段的长度比等于对应海拔差的比，因此只需要计算AB和AC对应的海拔差，即可求出两者的比值。
【解析】
解：由等高线示意图可知，等高距为100m，A点海拔为500m，B点海拔为300m，C点海拔为200m。
∵A、B、C三点在同一直线上，等高线平行且均匀分布，根据平行线分线段成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{海拔差\_\_\_\_\_\_{AB}}{海拔差\_\_\_\_\_\_{AC}}=\frac{500-300}{500-200}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等高线判读，平行线分线段成比例，比例计算
【点评】
本题是跨学科题型，结合了地理等高线知识和数学比例相关知识，解题的关键是理解等高线的含义，将线段长度的比转化为海拔差的比，注重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察等高线示意图，确定等高距为100m，得到A、B、C三点的海拔分别为500m、300m、200m。由于等高线是平行且均匀分布的，A、B、C三点共线，根据平行线分线段成比例的性质，线段的长度比等于对应海拔差的比，因此只需要计算AB和AC对应的海拔差，即可求出两者的比值。
【解析】
解：由等高线示意图可知，等高距为100m，A点海拔为500m，B点海拔为300m，C点海拔为200m。
∵A、B、C三点在同一直线上，等高线平行且均匀分布，根据平行线分线段成比例，可得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{海拔差\_\_\_\_\_\_{AB}}{海拔差\_\_\_\_\_\_{AC}}=\frac{500-300}{500-200}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等高线判读，平行线分线段成比例，比例计算
【点评】
本题是跨学科题型，结合了地理等高线知识和数学比例相关知识，解题的关键是理解等高线的含义，将线段长度的比转化为海拔差的比，注重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
