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6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，以点$B$为圆心，任意长为半径画弧，交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$，分别以$D,E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧交于点$F$，作射线$BF$；再以点$A$为圆心画弧，交射线$BF$于点$G,H$，分别以$G,H$为圆心，大于$\frac{1}{2}GH$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，作射线$AP$交$BF$于点$Q$。则$AQ$的长为
$2\sqrt{13}$
。答案
$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先识别尺规作图的含义：第一步作图得到射线BF是∠ABC的角平分线，第二步作图得到射线AP垂直于BF，即∠AQB=90°。解题思路如下：①先利用勾股定理计算Rt△ABC中AC的长度；②延长AQ交BC的延长线于点M，通过角平分线、垂直的条件构造全等三角形△ABQ≌△MBQ，得到AB=BM、AQ=QM的结论；③计算CM的长度，在Rt△ACM中用勾股定理求出AM的长，最后根据AQ是AM的一半即可求出结果。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 分析作图性质，构造全等三角形：
由尺规作图规则可知：BF平分$∠ ABC$，即$∠ ABQ=∠ CBQ$，且$AP⊥ BF$，即$∠ AQB=∠ MQB=90°$。
延长AQ交BC的延长线于点M，在$△ ABQ$和$△ MBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ MBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ MQB=90°\end{cases}$
$\therefore△ ABQ≌△ MBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BM=13$，$AQ=QM=\frac{1}{2}AM$。
3. 计算AQ的长度：
$CM=BM-BC=13-5=8$，
在$Rt△ ACM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
尺规作图的识别，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是正确识别尺规作图得到的角平分线和垂直关系，通过构造全等三角形转化线段关系，将未知线段转化到直角三角形中用勾股定理求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先识别尺规作图的含义：第一步作图得到射线BF是∠ABC的角平分线，第二步作图得到射线AP垂直于BF，即∠AQB=90°。解题思路如下：①先利用勾股定理计算Rt△ABC中AC的长度；②延长AQ交BC的延长线于点M，通过角平分线、垂直的条件构造全等三角形△ABQ≌△MBQ，得到AB=BM、AQ=QM的结论；③计算CM的长度，在Rt△ACM中用勾股定理求出AM的长，最后根据AQ是AM的一半即可求出结果。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
2. 分析作图性质，构造全等三角形：
由尺规作图规则可知：BF平分$∠ ABC$，即$∠ ABQ=∠ CBQ$，且$AP⊥ BF$，即$∠ AQB=∠ MQB=90°$。
延长AQ交BC的延长线于点M，在$△ ABQ$和$△ MBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ MBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ MQB=90°\end{cases}$
$\therefore△ ABQ≌△ MBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BM=13$，$AQ=QM=\frac{1}{2}AM$。
3. 计算AQ的长度：
$CM=BM-BC=13-5=8$，
在$Rt△ ACM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×4\sqrt{13}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
尺规作图的识别，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是正确识别尺规作图得到的角平分线和垂直关系，通过构造全等三角形转化线段关系，将未知线段转化到直角三角形中用勾股定理求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.【跨学科】如图所示的是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像。已知蜡烛的高AB为5.4 cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，AE//OF，求像CD的高。
答案
解:
∵AE//OF,AB//MN，
∴四边形OBAE为平行四边形，
∴AE=OB=6 cm。
∵AE//OF，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$。
∵AE=6 cm,OF=10 cm，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB//CD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB=5.4 cm，
∴$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
∴CD=13.5，
故像CD的高为13.5 cm。
∵AE//OF,AB//MN，
∴四边形OBAE为平行四边形，
∴AE=OB=6 cm。
∵AE//OF，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$。
∵AE=6 cm,OF=10 cm，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB//CD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB=5.4 cm，
∴$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
∴CD=13.5，
故像CD的高为13.5 cm。
解析
【分析】
解题时先从图中的平行关系入手：首先由AE//OF、AB//MN可判定四边形OBAE是平行四边形，得到AE的长度等于OB；再利用AE//OF，根据平行线分线段成比例得到AC与OC的比值，进而推导出OA与OC的比值；最后根据AB//CD可得△OAB与△OCD相似，利用相似三角形对应边成比例代入已知的AB长度，即可求出像CD的高度。
【解析】
解：
∵AE//OF，AB//MN，
∴四边形OBAE为平行四边形，
∴AE=OB=6 cm。
∵AE//OF，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$。
∵AE=6 cm，OF=10 cm，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC-AC}{OC}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB=5.4 cm，
∴$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$CD=13.5$ cm。
【答案】
13.5 cm
【知识点】
平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题结合物理凸透镜成像的场景考查几何知识的应用，需要学生从实际情境中提取平行、线段长度等几何条件，灵活运用平行四边形、相似三角形的相关性质求解，能很好地锻炼跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从图中的平行关系入手：首先由AE//OF、AB//MN可判定四边形OBAE是平行四边形，得到AE的长度等于OB；再利用AE//OF，根据平行线分线段成比例得到AC与OC的比值，进而推导出OA与OC的比值；最后根据AB//CD可得△OAB与△OCD相似，利用相似三角形对应边成比例代入已知的AB长度，即可求出像CD的高度。
【解析】
解：
∵AE//OF，AB//MN，
∴四边形OBAE为平行四边形，
∴AE=OB=6 cm。
∵AE//OF，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{AE}{OF}$。
∵AE=6 cm，OF=10 cm，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC-AC}{OC}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。
∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
∵AB=5.4 cm，
∴$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$CD=13.5$ cm。
【答案】
13.5 cm
【知识点】
平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【点评】
本题结合物理凸透镜成像的场景考查几何知识的应用，需要学生从实际情境中提取平行、线段长度等几何条件，灵活运用平行四边形、相似三角形的相关性质求解，能很好地锻炼跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=60°,CA=6,AD$平分$∠ BAC$,交边$BC$于点$D$,过点$D$作$CA$的平行线,交边$AB$于点$E$。
(1)求$DE$的长;
(2)若$M$是线段$AD$的中点,连接$BM$交线段$DE$于点$F$,延长线段$BM$交边$CA$于点$G$,求$\frac{EF}{DF}$。
(1)求$DE$的长;
(2)若$M$是线段$AD$的中点,连接$BM$交线段$DE$于点$F$,延长线段$BM$交边$CA$于点$G$,求$\frac{EF}{DF}$。
答案
解:(1)
∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
在Rt△ACD中,∠C=90°,∠DAC=30°，
∴AD=2CD。
由勾股定理,得$AD^2-CD^2=CA^2$。
∵CA=6，
∴$(2CD)^2-CD^2=6^2$。
∵CD＞0，
∴$CD=2\sqrt{3}$，
∴$AD=2CD=4\sqrt{3}$。
在Rt△BAC中,∠C=90°,∠BAC=60°，
∴∠CBA=90°-∠BAC=30°，
∴∠CBA=∠DAB=30°，
∴$BD=AD=4\sqrt{3}$，
∴$BC=BD+CD=6\sqrt{3}$。
∵DE//CA，
∴∠BDE=∠C,∠BED=∠BAC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
∵CA=6，
∴DE=4。
(2)
∵M是线段AD的中点，
∴DM=AM。
∵DE//CA，
∴∠MDF=∠MAG,∠DFM=∠AGM，
∴△MDF≌△MAG(AAS)，
∴DF=AG。
∵DE//CA，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BF}{BG}$,$\frac{BF}{BG}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
在Rt△ACD中,∠C=90°,∠DAC=30°，
∴AD=2CD。
由勾股定理,得$AD^2-CD^2=CA^2$。
∵CA=6，
∴$(2CD)^2-CD^2=6^2$。
∵CD＞0，
∴$CD=2\sqrt{3}$，
∴$AD=2CD=4\sqrt{3}$。
在Rt△BAC中,∠C=90°,∠BAC=60°，
∴∠CBA=90°-∠BAC=30°，
∴∠CBA=∠DAB=30°，
∴$BD=AD=4\sqrt{3}$，
∴$BC=BD+CD=6\sqrt{3}$。
∵DE//CA，
∴∠BDE=∠C,∠BED=∠BAC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
∵CA=6，
∴DE=4。
(2)
∵M是线段AD的中点，
∴DM=AM。
∵DE//CA，
∴∠MDF=∠MAG,∠DFM=∠AGM，
∴△MDF≌△MAG(AAS)，
∴DF=AG。
∵DE//CA，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BF}{BG}$,$\frac{BF}{BG}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义得到∠DAB=∠DAC=30°，先在Rt△ACD中，结合30°角的直角三角形性质和勾股定理计算出CD、AD的长度；再在Rt△ABC中求出∠ABC=30°，可得BD=AD，进而求出BC的长度；最后根据DE//AC证明△BDE∽△BCA，利用相似三角形的对应边成比例即可求解DE的长度。
(2) 解题思路：首先由M是AD中点，结合DE//AC得到的角相等，可证△MDF≌△MAG，得到DF=AG；再根据DE//AC，可得EF与AG的比值等于BD与BC的比值，将AG替换为DF，即可得到EF与DF的比值。
【解析】
(1)
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴AD=2CD。
由勾股定理，得$AD^2-CD^2=CA^2$。
∵CA=6，
∴$(2CD)^2-CD^2=6^2$。
∵CD＞0，
∴$CD=2\sqrt{3}$，
∴$AD=2CD=4\sqrt{3}$。
在Rt△BAC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠CBA=90°-∠BAC=30°，
∴∠CBA=∠DAB=30°，
∴$BD=AD=4\sqrt{3}$，
∴$BC=BD+CD=6\sqrt{3}$。
∵DE//CA，
∴∠BDE=∠C，∠BED=∠BAC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{BD}{BC}=\frac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$。
∵CA=6，
∴DE=$\frac{2}{3}×6=4$。
(2)
∵M是线段AD的中点，
∴DM=AM。
∵DE//CA，
∴∠MDF=∠MAG，∠DFM=∠AGM，
∴△MDF≌△MAG(AAS)，
∴DF=AG。
∵DE//CA，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BF}{BG}$，$\frac{BF}{BG}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{EF}{AG}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=4}$；(2) $\boldsymbol{\frac{EF}{DF}=\frac{2}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，涉及角平分线、平行线的性质，以及全等、相似三角形的应用，解题时要注意挖掘平行线带来的角相等的条件，进而证明全等或相似，逐步推导所求线段的关系。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义得到∠DAB=∠DAC=30°，先在Rt△ACD中，结合30°角的直角三角形性质和勾股定理计算出CD、AD的长度；再在Rt△ABC中求出∠ABC=30°，可得BD=AD，进而求出BC的长度；最后根据DE//AC证明△BDE∽△BCA，利用相似三角形的对应边成比例即可求解DE的长度。
(2) 解题思路：首先由M是AD中点，结合DE//AC得到的角相等，可证△MDF≌△MAG，得到DF=AG；再根据DE//AC，可得EF与AG的比值等于BD与BC的比值，将AG替换为DF，即可得到EF与DF的比值。
【解析】
(1)
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，
∴AD=2CD。
由勾股定理，得$AD^2-CD^2=CA^2$。
∵CA=6，
∴$(2CD)^2-CD^2=6^2$。
∵CD＞0，
∴$CD=2\sqrt{3}$，
∴$AD=2CD=4\sqrt{3}$。
在Rt△BAC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠CBA=90°-∠BAC=30°，
∴∠CBA=∠DAB=30°，
∴$BD=AD=4\sqrt{3}$，
∴$BC=BD+CD=6\sqrt{3}$。
∵DE//CA，
∴∠BDE=∠C，∠BED=∠BAC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{BD}{BC}=\frac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$。
∵CA=6，
∴DE=$\frac{2}{3}×6=4$。
(2)
∵M是线段AD的中点，
∴DM=AM。
∵DE//CA，
∴∠MDF=∠MAG，∠DFM=∠AGM，
∴△MDF≌△MAG(AAS)，
∴DF=AG。
∵DE//CA，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BF}{BG}$，$\frac{BF}{BG}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{EF}{AG}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=4}$；(2) $\boldsymbol{\frac{EF}{DF}=\frac{2}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形的综合基础题，涉及角平分线、平行线的性质，以及全等、相似三角形的应用，解题时要注意挖掘平行线带来的角相等的条件，进而证明全等或相似，逐步推导所求线段的关系。
【难度系数】
0.65
