9.【综合与实践】下面是某实践小组的同学测量某古塔高度的测量步骤和示意图。

根据测量步骤中的数据，求该塔的高度AB。

9.解:$\because CD⊥ PB,AB⊥ PB$，
$\therefore ∠ CDQ=∠ ABQ=90°$。
$\because ∠ CQD=∠ AQB$，
$\therefore △ QCD∽△ QAB$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$。
同理可得$△ PEF∽△ PAB$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$。
$\because EF=CD=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{EF}{AB},\therefore \frac{QD}{QB}=\frac{PF}{PB}$。
$\because QD=1.6\ \mathrm{m},PF=2.4\ \mathrm{m},PD=28.98\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{1.6}{1.6+DB}=\frac{2.4}{28.98+DB}$，
解得 $DB=53.16$。
$\because \frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，
$\therefore \frac{1.6}{AB}=\frac{1.6}{1.6+53.16}$，
$\therefore AB=54.76\ \mathrm{m}$。
故该塔的高度 $AB$ 为 $54.76\ \mathrm{m}$。

【分析】
解题时首先从实际场景中抽象出几何模型：塔身AB、两根标杆都垂直于地面，因此可得两组相等的直角，结合公共角即可得到两对相似三角形：$△ QCD ∽ △ QAB$、$△ PEF ∽ △ PAB$。由于两根标杆长度相等，可将两个相似的比例式联立，得到关于QB、PB的比例关系。设DB长度为未知数，将QB、PB用含DB的代数式表示，代入比例式先求出DB的长度，再代入相似比例式即可求出塔高AB。
【解析】
解：$\because CD⊥ PB,AB⊥ PB$，
$\therefore ∠ CDQ=∠ ABQ=90°$。
$\because ∠ CQD=∠ AQB$（公共角），
$\therefore △ QCD∽△ QAB$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$。
同理可得$△ PEF∽△ PAB$，
$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{PF}{PB}$。
$\because EF=CD=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{EF}{AB},\therefore \frac{QD}{QB}=\frac{PF}{PB}$。
$\because QD=1.6\ \mathrm{m},PF=2.4\ \mathrm{m},PD=28.98\ \mathrm{m}$，设$DB=x\ \mathrm{m}$，则$QB=1.6+x$，$PB=28.98+x$，代入得：
$\frac{1.6}{1.6+x}=\frac{2.4}{28.98+x}$
解得 $x=53.16$，即$DB=53.16\ \mathrm{m}$。
将$DB=53.16\ \mathrm{m}$代入$\frac{CD}{AB}=\frac{QD}{QB}$，得：
$\frac{1.6}{AB}=\frac{1.6}{1.6+53.16}$
解得$AB=54.76\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{54.76\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的典型题目，需要学生将生活场景抽象为几何相似模型，结合相似三角形对应边成比例的性质列方程求解，考查了学生的建模能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

10.【数学应用】风力发电是我国电力供给的重要组成部分。思博学习小组的同学为了测量某风力发电机的风叶长度，利用同时同地物高与影长成正比例的性质进行测量。如图(图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线)，线段$OA,OB,OC$表示三片风叶，$OA=OB=OC$，$∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=120°$，$OD=48\ \mathrm{m}$。某时刻$OA,OB$的影子恰好重合为线段$EF$，$OD⊥ EF$于点$D$，测得$DE=36\ \mathrm{m}$，$EF=20\ \mathrm{m}$，同一时刻测得高$1.2\ \mathrm{m}$的标杆$NM$的影长$MG$为$0.9\ \mathrm{m}$。求风叶转动时，点$B$到地面$DF$的最小距离。

10.解:如图,过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$,过点 $E$ 作 $EI⊥ AF$ 于点 $I$。

在 $\mathrm{Rt}△ NMG$ 中,$∠ NMG=90°,NM=1.2\ \mathrm{m}$，
$MG=0.9\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得
$NG=\sqrt{NM^2+MG^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$。
$\because$ 太阳光线为平行光线，
$\therefore AF// NG$，
$\therefore ∠ IFE=∠ MGN$。
$\because ∠ EIF=∠ NMG$，
$\therefore △ EIF∽△ NMG$，
$\therefore \frac{EI}{NM}=\frac{EF}{NG}$，
$\therefore \frac{EI}{1.2}=\frac{20}{1.5}$，
$\therefore EI=16\ \mathrm{m}$。
$\because$ 太阳光线为平行光线，
$\therefore OE// AF$。
$\because OH⊥ AF,EI⊥ AF$，
$\therefore OH// EI$，
$\therefore$ 四边形 $OHIE$ 为平行四边形，
$\therefore OH=EI=16\ \mathrm{m}$。
$\because OA=OB=OC,∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=120°$，
$\therefore ∠ ABO=\frac{180°-∠ AOB}{2}=30°$。
在 $\mathrm{Rt}△ OBH$ 中,$∠ OHB=90°,OB=2OH=32\ \mathrm{m}$。
当 $OB⊥ DF$ 时,$48-32=16\ \mathrm{m}$。
故风叶转动时,点 $B$ 到地面 $DF$ 的最小距离为 $16\ \mathrm{m}$。

【分析】
解题时可按照以下思路逐步推导：
1. 先结合标杆的高度、影长数据，利用勾股定理求出标杆对应太阳光线的长度，再根据平行光线的特征构造相似三角形，求出与EF对应的垂直高度EI；
2. 根据平行光线的平行关系，结合两条垂直于同一直线的线段平行，证明四边形OHIE是平行四边形，得到OH=EI，其中OH是等腰△OAB底边AB上的高；
3. 利用△OAB是顶角为120°的等腰三角形的性质，结合含30°角的直角三角形的特征，求出腰长OB，也就是风叶的长度；
4. 点B到地面的最小距离为OB竖直向下时的距离，用O点到地面的高度OD减去OB的长度即可得到最终结果。
【解析】
解:如图,过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$,过点 $E$ 作 $EI⊥ AF$ 于点 $I$。

在 $\mathrm{Rt}△ NMG$ 中,$∠ NMG=90°,NM=1.2\ \mathrm{m}$，
$MG=0.9\ \mathrm{m}$，
由勾股定理,得
$NG=\sqrt{NM^2+MG^2}=\sqrt{1.2^2+0.9^2}=1.5(\mathrm{m})$。
$\because$ 太阳光线为平行光线，
$\therefore AF// NG$，
$\therefore ∠ IFE=∠ MGN$。
$\because ∠ EIF=∠ NMG=90°$，
$\therefore △ EIF∽△ NMG$，
$\therefore \frac{EI}{NM}=\frac{EF}{NG}$，
$\therefore \frac{EI}{1.2}=\frac{20}{1.5}$，
$\therefore EI=16\ \mathrm{m}$。
$\because$ 太阳光线为平行光线，
$\therefore OE// AF$。
$\because OH⊥ AF,EI⊥ AF$，
$\therefore OH// EI$，
$\therefore$ 四边形 $OHIE$ 为平行四边形，
$\therefore OH=EI=16\ \mathrm{m}$。
$\because OA=OB,∠ AOB=120°$，
$\therefore ∠ ABO=\frac{180°-∠ AOB}{2}=30°$。
在 $\mathrm{Rt}△ OBH$ 中,$∠ OHB=90°,∠OBH=30°$，
$\therefore OB=2OH=32\ \mathrm{m}$。
当 $OB$ 竖直向下指向地面时，点$B$到地面$DF$的距离最小，最小距离为$48-32=16(\mathrm{m})$。
【答案】
风叶转动时，点$B$到地面$DF$的最小距离为$\boxed{16\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用、等腰三角形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题结合风力发电的实际测量场景，将多个几何知识点融合考查，解题的关键是抓住平行光线的性质构造合适的几何模型，将实际测量问题转化为常规的几何计算问题，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.6