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1. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数解析式是
y=-10x²+100x+2000
。答案
1. y=-10x²+100x+2000
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。解题时先分别表示出售价上涨x元后的单件利润和月销售量，再将二者相乘，最后化简整理即可得到对应的函数解析式。
【解析】
第一步：计算涨价后的单件利润
已知商品进价为50元，原售价60元，售价上涨x元后，单件售价为$(60+x)$元，因此单件利润为：$60+x - 50 = x + 10$（元）。
第二步：计算涨价后的月销售量
已知原月销售量为200件，每涨价1元少卖10件，涨价x元后少卖$10x$件，因此月销售量为：$200 - 10x$（件）。
第三步：列写总利润的函数表达式并化简
根据总利润=单件利润×月销售量，可得：
$y = (x + 10)(200 - 10x)$
展开计算：
$y = 200x - 10x^2 + 2000 - 100x$
合并同类项得：
$y = -10x^2 + 100x + 2000$
【答案】
$y=-10x^2+100x+2000$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式列写；整式乘法运算
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，核心是掌握销售问题的基本等量关系，只要准确找到单件利润和销售总量的表达式，代入计算即可，是后续求解销售利润最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。解题时先分别表示出售价上涨x元后的单件利润和月销售量，再将二者相乘，最后化简整理即可得到对应的函数解析式。
【解析】
第一步：计算涨价后的单件利润
已知商品进价为50元，原售价60元，售价上涨x元后，单件售价为$(60+x)$元，因此单件利润为：$60+x - 50 = x + 10$（元）。
第二步：计算涨价后的月销售量
已知原月销售量为200件，每涨价1元少卖10件，涨价x元后少卖$10x$件，因此月销售量为：$200 - 10x$（件）。
第三步：列写总利润的函数表达式并化简
根据总利润=单件利润×月销售量，可得：
$y = (x + 10)(200 - 10x)$
展开计算：
$y = 200x - 10x^2 + 2000 - 100x$
合并同类项得：
$y = -10x^2 + 100x + 2000$
【答案】
$y=-10x^2+100x+2000$
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式列写；整式乘法运算
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，核心是掌握销售问题的基本等量关系，只要准确找到单件利润和销售总量的表达式，代入计算即可，是后续求解销售利润最值问题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 某种商品的进价为每件30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出$(100-x)$件，当每件出售价格是
65
元时，才能使利润最大。答案
2. 65
解析
【分析】
要解决这个利润最大化问题，首先需要明确总利润的计算逻辑：总利润=单件商品的利润×销售数量。我们先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，观察可知该函数是二次函数，结合二次函数最值性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式即可求出对应售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x - 30)$元，销售数量为$(100 - x)$件
因此总利润：
$y=(x - 30)(100 - x)$
展开整理为二次函数一般式：
$y=-x^2 + 130x - 3000$
其中二次项系数$a=-1＜0$，说明抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=130$得：
$x=-\frac{130}{2×(-1)}=65$
即当售价为65元时，利润最大。
【答案】
65
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题的核心是准确结合数量关系列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最大化问题，首先需要明确总利润的计算逻辑：总利润=单件商品的利润×销售数量。我们先根据题目给出的进价、售价、销量的关系，列出总利润关于售价x的函数表达式，观察可知该函数是二次函数，结合二次函数最值性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式即可求出对应售价。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x - 30)$元，销售数量为$(100 - x)$件
因此总利润：
$y=(x - 30)(100 - x)$
展开整理为二次函数一般式：
$y=-x^2 + 130x - 3000$
其中二次项系数$a=-1＜0$，说明抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=130$得：
$x=-\frac{130}{2×(-1)}=65$
即当售价为65元时，利润最大。
【答案】
65
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题的核心是准确结合数量关系列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
1. 进价为80元/件的某种衬衣售价为100元/件时，每月可卖出2000件，已知售价每件每上涨1元，销售量便减少5件，每月利润w（单位：元）与衬衣售价x（单位：元/件）之间的函数解析式为
w=[2 000−5(x−100)](x−80)
.（只列解析式不化简）答案
1. w=[2 000−5(x−100)](x−80)
解析
【分析】
要写出每月利润w与售价x的函数解析式，首先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量，我们只需要分别求出售价为x元时的单件利润和对应销售量，再代入公式即可。首先，单件利润=售价-进价，很容易表示；其次分析销售量的变化：原售价100元时销量2000件，售价每涨1元销量减5件，先算出售价x比100元上涨的金额，就能算出减少的销量，用原销量减去减少的销量就得到当前售价对应的总销量，最后将两个量相乘即可得到函数式。
【解析】
第一步：计算单件利润
已知进价为80元/件，售价为x元/件，因此每件衬衣的利润为$(x - 80)$元。
第二步：计算售价为x元时的月销售量
原售价100元时每月卖2000件，售价每上涨1元销量减少5件，现在售价相比100元上涨了$(x - 100)$元，因此减少的销量为$5(x - 100)$件，所以实际月销售量为$[2000 - 5(x - 100)]$件。
第三步：根据总利润公式列解析式
总利润$w =$单件利润×月销售量，代入得：
$w=[2000−5(x−100)](x−80)$
【答案】
$w=[2000−5(x−100)](x−80)$
【知识点】
销售利润计算；列函数解析式；实际数量关系梳理
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题核心是抓住总利润的计算逻辑，准确梳理售价变化对销售量的影响，只要正确表示出对应售价下的销售量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要写出每月利润w与售价x的函数解析式，首先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件商品的利润×销售总数量，我们只需要分别求出售价为x元时的单件利润和对应销售量，再代入公式即可。首先，单件利润=售价-进价，很容易表示；其次分析销售量的变化：原售价100元时销量2000件，售价每涨1元销量减5件，先算出售价x比100元上涨的金额，就能算出减少的销量，用原销量减去减少的销量就得到当前售价对应的总销量，最后将两个量相乘即可得到函数式。
【解析】
第一步：计算单件利润
已知进价为80元/件，售价为x元/件，因此每件衬衣的利润为$(x - 80)$元。
第二步：计算售价为x元时的月销售量
原售价100元时每月卖2000件，售价每上涨1元销量减少5件，现在售价相比100元上涨了$(x - 100)$元，因此减少的销量为$5(x - 100)$件，所以实际月销售量为$[2000 - 5(x - 100)]$件。
第三步：根据总利润公式列解析式
总利润$w =$单件利润×月销售量，代入得：
$w=[2000−5(x−100)](x−80)$
【答案】
$w=[2000−5(x−100)](x−80)$
【知识点】
销售利润计算；列函数解析式；实际数量关系梳理
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题核心是抓住总利润的计算逻辑，准确梳理售价变化对销售量的影响，只要正确表示出对应售价下的销售量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量$m$（单位：件）与每件的销售价$x$（单位：元），满足关系：$m=140-x$. 这种商品每天的销售利润$y$与每件的售价$x$之间的函数解析式是
y=−x²+170x−4 200
.答案
2. y=−x²+170x−4 200
解析
【分析】
要得到销售利润y与售价x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。首先计算每件商品的利润（售价减进价），再代入题目给出的销售量与售价的关系式，最后将表达式展开化简即可得到结果。
【解析】
已知商品进价为每件30元，售价为x元，因此每件商品的利润为$(x - 30)$元。
又已知每天的销售量$m = 140 - x$，根据“总利润=单件利润×销售量”可得：
$y = (x - 30)m$
将$m = 140 - x$代入上式：
$y = (x - 30)(140 - x)$
展开并化简：
$\begin{aligned}y &= 140x - x^2 - 4200 + 30x \\&= -x^2 + 170x - 4200\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2+170x-4200$
【知识点】
利润问题计算；二次函数实际应用；整式化简
【点评】
本题是销售类函数的基础应用题，核心是掌握销售问题中总利润的计算逻辑，准确代入对应数量关系后化简即可，是巩固函数实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
要得到销售利润y与售价x的函数解析式，首先明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。首先计算每件商品的利润（售价减进价），再代入题目给出的销售量与售价的关系式，最后将表达式展开化简即可得到结果。
【解析】
已知商品进价为每件30元，售价为x元，因此每件商品的利润为$(x - 30)$元。
又已知每天的销售量$m = 140 - x$，根据“总利润=单件利润×销售量”可得：
$y = (x - 30)m$
将$m = 140 - x$代入上式：
$y = (x - 30)(140 - x)$
展开并化简：
$\begin{aligned}y &= 140x - x^2 - 4200 + 30x \\&= -x^2 + 170x - 4200\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2+170x-4200$
【知识点】
利润问题计算；二次函数实际应用；整式化简
【点评】
本题是销售类函数的基础应用题，核心是掌握销售问题中总利润的计算逻辑，准确代入对应数量关系后化简即可，是巩固函数实际应用的典型基础题。
【难度系数】
0.85
3. 某商店经营布鞋，已知所获利润$y$（单位：元）与销售单价$x$（单位：元）之间的函数解析式为$y=-x^2+24x+2956$，则获利最多为
3 100
元。答案
3. 3 100
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：首先判断所给利润函数为二次函数，观察二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或顶点纵坐标公式计算得到最大利润。
【解析】
解法1（配方法）：
已知利润函数解析式为$y=-x^2+24x+2956$，对二次项、一次项配方可得：
$\begin{aligned}y&=-(x^2-24x)+2956\\&=-(x^2-24x+144-144)+2956\\&=-(x-12)^2 + 144 + 2956\\&=-(x-12)^2 + 3100\end{aligned}$
由于$(x-12)^2≥0$，因此$-(x-12)^2≤0$，当$x=12$时，$y$取最大值，最大值为3100元。
解法2（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1,b=24,c=2956$，代入公式得：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-1)×2956 - 24^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-11824 - 576}{-4}\\&=\frac{-12400}{-4}=3100\end{aligned}$
【答案】
3100
【知识点】
二次函数最值求解、配方法、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数顶点对应最大值，熟练掌握配方法或顶点公式计算最值即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：首先判断所给利润函数为二次函数，观察二次项系数$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或顶点纵坐标公式计算得到最大利润。
【解析】
解法1（配方法）：
已知利润函数解析式为$y=-x^2+24x+2956$，对二次项、一次项配方可得：
$\begin{aligned}y&=-(x^2-24x)+2956\\&=-(x^2-24x+144-144)+2956\\&=-(x-12)^2 + 144 + 2956\\&=-(x-12)^2 + 3100\end{aligned}$
由于$(x-12)^2≥0$，因此$-(x-12)^2≤0$，当$x=12$时，$y$取最大值，最大值为3100元。
解法2（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数最大值为顶点纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1,b=24,c=2956$，代入公式得：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-1)×2956 - 24^2}{4×(-1)}\\&=\frac{-11824 - 576}{-4}\\&=\frac{-12400}{-4}=3100\end{aligned}$
【答案】
3100
【知识点】
二次函数最值求解、配方法、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际利润问题中的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数顶点对应最大值，熟练掌握配方法或顶点公式计算最值即可，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件$ x $元（$ 20 ≤ x ≤ 40 $，且$ x $为整数）出售，可卖出$ (40 - x) $件.若要使利润最大，则每件商品的售价应为多少元？
答案
4. 解：设该商品所获利润为$w$元.
由题意，得$w=(x-20)(40-x)$
$=-x^2+60x-800$
$=-(x-30)^2+100.$
由二次函数的性质可知，当$20≤ x≤ 30$时，$w$随$x$的增大而增大；当$30＜ x≤ 40$时，$w$随$x$的增大而减小.
则当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为100.
故每件商品的售价应为30元.
由题意，得$w=(x-20)(40-x)$
$=-x^2+60x-800$
$=-(x-30)^2+100.$
由二次函数的性质可知，当$20≤ x≤ 30$时，$w$随$x$的增大而增大；当$30＜ x≤ 40$时，$w$随$x$的增大而减小.
则当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为100.
故每件商品的售价应为30元.
解析
【分析】
这是销售利润类的最值问题，解题思路分为三步：第一步，明确利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润为售价减进价，即$(x-20)$元，销售量为题目给出的$(40-x)$件；第二步，根据等量关系列出利润关于售价$x$的函数关系式，可判断为二次函数；第三步，结合二次函数的开口方向、增减性以及题目给定的$x$的取值范围$20≤ x≤40$，找到使利润最大的$x$值。
【解析】
设该商品所获利润为$w$元。
由题意得，单件利润为$(x-20)$元，销售量为$(40-x)$件，因此总利润：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(40-x)\\&=-x^2+60x-800\\&=-(x-30)^2+100\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=30$，且$30$在$20≤ x≤40$的取值范围内：
当$20≤ x≤30$时，$w$随$x$的增大而增大；当$30＜x≤40$时，$w$随$x$的增大而减小。
因此当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为100元。
【答案】
30元
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题关键是准确根据题意建立函数关系式，再结合二次函数的性质和自变量的实际取值范围求解，注意不要忽略自变量的取值限制直接套用顶点公式。
【难度系数】
0.8
这是销售利润类的最值问题，解题思路分为三步：第一步，明确利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量，其中单件利润为售价减进价，即$(x-20)$元，销售量为题目给出的$(40-x)$件；第二步，根据等量关系列出利润关于售价$x$的函数关系式，可判断为二次函数；第三步，结合二次函数的开口方向、增减性以及题目给定的$x$的取值范围$20≤ x≤40$，找到使利润最大的$x$值。
【解析】
设该商品所获利润为$w$元。
由题意得，单件利润为$(x-20)$元，销售量为$(40-x)$件，因此总利润：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(40-x)\\&=-x^2+60x-800\\&=-(x-30)^2+100\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=30$，且$30$在$20≤ x≤40$的取值范围内：
当$20≤ x≤30$时，$w$随$x$的增大而增大；当$30＜x≤40$时，$w$随$x$的增大而减小。
因此当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为100元。
【答案】
30元
【知识点】
销售利润计算；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题关键是准确根据题意建立函数关系式，再结合二次函数的性质和自变量的实际取值范围求解，注意不要忽略自变量的取值限制直接套用顶点公式。
【难度系数】
0.8
