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7. 一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的平面上，按如图26.4-7所示建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系可以用$y=-x^2+bx+c$表示，且抛物线经过点$B(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，$C(2,\frac{7}{4})$。
（1）求抛物线对应的函数解析式。
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少？
图26.4-7
（1）求抛物线对应的函数解析式。
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少？
图26.4-7
答案
7. 解：(1) 根据题意，将点$B(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，$C(2,\frac{7}{4})$代入$y=-x^2+bx+c$，得
$\begin{cases}-(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}b + c = \frac{5}{2}, \\-2^2 + 2b + c = \frac{7}{4},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2, \\c=\frac{7}{4}.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$.
(2)
∵$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4} = -(x - 1)^2 + \frac{11}{4}$，
∴当x=1时，y取得最大值$\frac{11}{4}$，
故喷出的水流距水面的最大高度是$\frac{11}{4}$ m.
$\begin{cases}-(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}b + c = \frac{5}{2}, \\-2^2 + 2b + c = \frac{7}{4},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2, \\c=\frac{7}{4}.\end{cases}$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$.
(2)
∵$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4} = -(x - 1)^2 + \frac{11}{4}$，
∴当x=1时，y取得最大值$\frac{11}{4}$，
故喷出的水流距水面的最大高度是$\frac{11}{4}$ m.
解析
【分析】
（1）题目已给出抛物线的一般式$y=-x^2+bx+c$，仅需求出未知系数$b$、$c$即可确定解析式。已知抛物线上$B$、$C$两点的坐标，将两点分别代入解析式，可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）求水流距水面的最大高度，本质是求二次函数的最大值。由于该二次函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，可通过配方法将解析式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
(1) 将点$B(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，$C(2,\frac{7}{4})$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}b + c = \frac{5}{2} \\-2^2 + 2b + c = \frac{7}{4}\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}\frac{1}{2}b + c = \frac{11}{4} \\2b + c = \frac{23}{4}\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$\frac{3}{2}b=3$，解得$b=2$；
将$b=2$代入$\frac{1}{2}b + c = \frac{11}{4}$，得$1+c=\frac{11}{4}$，解得$c=\frac{7}{4}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
由于$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$
(2) $\frac{11}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的实际应用基础题，解题核心是掌握待定系数法求解析式的步骤，以及二次函数最值的计算方法，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
（1）题目已给出抛物线的一般式$y=-x^2+bx+c$，仅需求出未知系数$b$、$c$即可确定解析式。已知抛物线上$B$、$C$两点的坐标，将两点分别代入解析式，可得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）求水流距水面的最大高度，本质是求二次函数的最大值。由于该二次函数的二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，可通过配方法将解析式转化为顶点式，直接得到最大值。
【解析】
(1) 将点$B(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$，$C(2,\frac{7}{4})$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}b + c = \frac{5}{2} \\-2^2 + 2b + c = \frac{7}{4}\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}\frac{1}{2}b + c = \frac{11}{4} \\2b + c = \frac{23}{4}\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$\frac{3}{2}b=3$，解得$b=2$；
将$b=2$代入$\frac{1}{2}b + c = \frac{11}{4}$，得$1+c=\frac{11}{4}$，解得$c=\frac{7}{4}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
由于$a=-1＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=1$时，$y$取得最大值$\frac{11}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$
(2) $\frac{11}{4}\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的实际应用基础题，解题核心是掌握待定系数法求解析式的步骤，以及二次函数最值的计算方法，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
8. 如图26.4-8，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为60 m），其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形.
（1）设自行车车棚面积为S m²，边AB为x m，求S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求自行车车棚的最大面积.
图26.4-8
（1）设自行车车棚面积为S m²，边AB为x m，求S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求自行车车棚的最大面积.
图26.4-8
答案
（1）
∵AB=x m，
∴BC=70+1×2-3x=(72-3x) m.
∴S=x(72-3x)=-3x²+72x.
∵可利用的墙长为60 m，
∴0＜72-3x≤60.
解得4≤x＜24.
∴S与x之间的函数解析式为S=-3x²+72x，自变量x的取值范围为4≤x＜24.
（2） S=-3x²+72x=-3(x-12)²+432.
∵-3＜0，4≤x＜24，
∴当x=12时，S有最大值，为432.
∴自行车车棚的最大面积为432 m².
∵AB=x m，
∴BC=70+1×2-3x=(72-3x) m.
∴S=x(72-3x)=-3x²+72x.
∵可利用的墙长为60 m，
∴0＜72-3x≤60.
解得4≤x＜24.
∴S与x之间的函数解析式为S=-3x²+72x，自变量x的取值范围为4≤x＜24.
（2） S=-3x²+72x=-3(x-12)²+432.
∵-3＜0，4≤x＜24，
∴当x=12时，S有最大值，为432.
∴自行车车棚的最大面积为432 m².
解析
【分析】
（1）要推导面积S和x的函数关系，首先需要用含x的式子表示出平行于墙的边BC的长度：已知栅栏总长70m，左右各有1m宽的出口不用栅栏，因此3段垂直于墙的边（长度均为x）与BC的总长度为70+2=72m，因此BC=72-3x，再根据矩形面积公式即可得到函数解析式；接下来结合实际限制：BC的长度要大于0，且不能超过可利用墙长60m，列不等式求解即可得到x的取值范围。
（2）求最大面积时，将（1）得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出最大值。
【解析】
（1）设AB的长度为x m，
∵栅栏总长70m，左右两侧各有1m宽的出口，3段垂直于墙的边长度均为x m，
∴平行于墙的边BC的长度为：$70 + 1×2 - 3x = (72 - 3x) \mathrm{ m}$，
根据矩形面积公式可得：
$S = x·(72 - 3x) = -3x^2 + 72x$
结合实际限制：BC长度需满足$0 ＜ 72 - 3x ≤ 60$，
解不等式：
$72 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ 24$；
$72 - 3x ≤ 60$，解得$x ≥ 4$；
因此自变量x的取值范围是$4 ≤ x ＜ 24$。
即S与x的函数解析式为$S = -3x^2 + 72x（4 ≤ x ＜ 24）$。
（2）将二次函数解析式配方：
$S = -3x^2 + 72x = -3(x^2 - 24x) = -3(x - 12)^2 + 432$
∵二次项系数$-3 ＜ 0$，函数图象开口向下，且$x=12$在自变量取值范围$4 ≤ x ＜ 24$内，
∴当$x=12$时，S取得最大值，最大值为432。
【答案】
（1）$S=-3x^2+72x（4≤x＜24）$；
（2）$432 \mathrm{ m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是正确梳理栅栏长度与各边的关系，准确表示出平行于墙的边长，同时要注意结合墙长的限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需确认顶点是否在取值范围内，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.7
（1）要推导面积S和x的函数关系，首先需要用含x的式子表示出平行于墙的边BC的长度：已知栅栏总长70m，左右各有1m宽的出口不用栅栏，因此3段垂直于墙的边（长度均为x）与BC的总长度为70+2=72m，因此BC=72-3x，再根据矩形面积公式即可得到函数解析式；接下来结合实际限制：BC的长度要大于0，且不能超过可利用墙长60m，列不等式求解即可得到x的取值范围。
（2）求最大面积时，将（1）得到的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出最大值。
【解析】
（1）设AB的长度为x m，
∵栅栏总长70m，左右两侧各有1m宽的出口，3段垂直于墙的边长度均为x m，
∴平行于墙的边BC的长度为：$70 + 1×2 - 3x = (72 - 3x) \mathrm{ m}$，
根据矩形面积公式可得：
$S = x·(72 - 3x) = -3x^2 + 72x$
结合实际限制：BC长度需满足$0 ＜ 72 - 3x ≤ 60$，
解不等式：
$72 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ 24$；
$72 - 3x ≤ 60$，解得$x ≥ 4$；
因此自变量x的取值范围是$4 ≤ x ＜ 24$。
即S与x的函数解析式为$S = -3x^2 + 72x（4 ≤ x ＜ 24）$。
（2）将二次函数解析式配方：
$S = -3x^2 + 72x = -3(x^2 - 24x) = -3(x - 12)^2 + 432$
∵二次项系数$-3 ＜ 0$，函数图象开口向下，且$x=12$在自变量取值范围$4 ≤ x ＜ 24$内，
∴当$x=12$时，S取得最大值，最大值为432。
【答案】
（1）$S=-3x^2+72x（4≤x＜24）$；
（2）$432 \mathrm{ m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用问题，解题的核心是正确梳理栅栏长度与各边的关系，准确表示出平行于墙的边长，同时要注意结合墙长的限制条件确定自变量的取值范围，求最值时需确认顶点是否在取值范围内，避免忽略实际条件出错。
【难度系数】
0.7
