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5. 如图26.4-5，明明的奶奶欲借助院子里一面长15 m的墙，再用长为40 m的网绳围出一个矩形地面ABCD用来养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？明明帮奶奶解决了这个问题。明明的思路是：设边BC的长为x m，矩形ABCD的面积为S m²。不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题。
（1）求S与x之间的函数解析式，直接写出x的取值范围。
（2）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？
图26.4-5
（1）求S与x之间的函数解析式，直接写出x的取值范围。
（2）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？
图26.4-5
答案
5. 解：(1) $S=x(\frac{40-x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+20x$,
$x$的取值范围为$0＜x≤15$.
(2) $\because$ 抛物线 $S=-\frac{1}{2}x^2+20x$ 的对称轴为
$x=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$,
∴当$x＜20$时，S随x的增大而增大.
$\because 0＜x≤15$,
∴当$x=15$时，S有最大值，即矩形ABCD的面积最大.
$x$的取值范围为$0＜x≤15$.
(2) $\because$ 抛物线 $S=-\frac{1}{2}x^2+20x$ 的对称轴为
$x=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$,
∴当$x＜20$时，S随x的增大而增大.
$\because 0＜x≤15$,
∴当$x=15$时，S有最大值，即矩形ABCD的面积最大.
解析
【分析】
（1）求函数解析式时，先明确矩形各边的长度：与墙平行的边BC长为x m，网绳总长40 m，因此两条与墙垂直的边总长度为(40-x) m，单条边长为$\frac{40-x}{2}$ m，再结合矩形面积公式即可推出S与x的函数关系；自变量x的取值需满足两个条件：边长为正，且靠墙边的长度不超过墙的总长15 m，由此确定x的范围。
（2）得到的S是关于x的二次函数，先判断抛物线开口方向、求出对称轴，再结合x的取值范围分析函数的增减性，即可找到面积最大时对应的x值。
【解析】
(1) 由题意，矩形BC边长为x m，与墙垂直的边长为$\frac{40-x}{2}$ m，根据矩形面积公式：
$S=x·\frac{40-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+20x$
结合实际限制条件，x的取值范围为$0＜x≤15$。
(2) 二次函数$S=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
因此当$x＜20$时，S随x的增大而增大，
结合x的取值范围$0＜x≤15$，可知该区间内S随x增大而增大，
因此当$x=15$时，S取得最大值，即矩形ABCD的面积最大。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+20x$（$0＜x≤15$）；
(2) 当$x=15$时，矩形ABCD的面积最大。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数增减性，自变量取值范围
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的常考题，解题的关键是不能忽略实际场景对自变量取值的限制，要结合函数在有效取值范围内的增减性判断最值点，避免直接取顶点横坐标造成错误。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式时，先明确矩形各边的长度：与墙平行的边BC长为x m，网绳总长40 m，因此两条与墙垂直的边总长度为(40-x) m，单条边长为$\frac{40-x}{2}$ m，再结合矩形面积公式即可推出S与x的函数关系；自变量x的取值需满足两个条件：边长为正，且靠墙边的长度不超过墙的总长15 m，由此确定x的范围。
（2）得到的S是关于x的二次函数，先判断抛物线开口方向、求出对称轴，再结合x的取值范围分析函数的增减性，即可找到面积最大时对应的x值。
【解析】
(1) 由题意，矩形BC边长为x m，与墙垂直的边长为$\frac{40-x}{2}$ m，根据矩形面积公式：
$S=x·\frac{40-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+20x$
结合实际限制条件，x的取值范围为$0＜x≤15$。
(2) 二次函数$S=-\frac{1}{2}x^2+20x$中，二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2×(-\frac{1}{2})}=20$，
因此当$x＜20$时，S随x的增大而增大，
结合x的取值范围$0＜x≤15$，可知该区间内S随x增大而增大，
因此当$x=15$时，S取得最大值，即矩形ABCD的面积最大。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+20x$（$0＜x≤15$）；
(2) 当$x=15$时，矩形ABCD的面积最大。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数增减性，自变量取值范围
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的常考题，解题的关键是不能忽略实际场景对自变量取值的限制，要结合函数在有效取值范围内的增减性判断最值点，避免直接取顶点横坐标造成错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图26.4-6，有长为30 m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃. 当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积为多少？
图26.4-6
图26.4-6
答案
6. 解：设围成的花圃面积为 y m²，AB 的长为x m. 依题意，得 y = x(30 - 3x) = -3x² + 30x = -3(x - 5)² + 75.
∵0 ＜ 30 - 3x ≤ 10，
∴$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10.$
∵-3 ＜ 0，
∴当x ＞ 5时，y 随x 的增大而减小.
∴当$x = 6\frac{2}{3}$时，y 有最大值，y 的最大值为$-3×(6\frac{2}{3} - 5)² + 75 = 66\frac{2}{3}$，
即当 AB 的长是$ 6\frac{2}{3} m $时，围成的花圃面积最大，最大面积为$ 66\frac{2}{3} m².$
∵0 ＜ 30 - 3x ≤ 10，
∴$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10.$
∵-3 ＜ 0，
∴当x ＞ 5时，y 随x 的增大而减小.
∴当$x = 6\frac{2}{3}$时，y 有最大值，y 的最大值为$-3×(6\frac{2}{3} - 5)² + 75 = 66\frac{2}{3}$，
即当 AB 的长是$ 6\frac{2}{3} m $时，围成的花圃面积最大，最大面积为$ 66\frac{2}{3} m².$
解析
【分析】
这是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：1. 设未知数：设AB的长为x m，花圃面积为y m²；2. 表示BC的长度：篱笆总长30m，有3段平行于AB的篱笆，因此BC的长度为(30-3x)m；3. 确定自变量取值范围：结合墙的最大可用长度为10m，且BC长度为正，可得0＜30-3x≤10，求解得到x的取值范围；4. 列函数关系式：根据矩形面积=长×宽，得到y和x的二次函数关系式，整理为顶点式便于分析最值；5. 结合函数增减性和自变量范围求最值：二次函数开口向下，对称轴为x=5，x的取值范围在对称轴右侧，此时y随x增大而减小，因此x取取值范围内的最小值时，y取得最大值。要注意实际问题中自变量的取值范围，不能直接将顶点坐标作为最值点。
【解析】
解：设围成的花圃面积为$y\ \mathrm{m}^2$，AB的长为$x\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x = -3(x - 5)^2 + 75$
由墙的最大可用长度为10m，且BC边长为正，得不等式：
$0 ＜ 30 - 3x ≤ 10$
解得：$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10$
$\because$二次项系数$-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$
$\therefore$当$x ＞ 5$时，$y$随$x$的增大而减小
因此在$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10$范围内，当$x=6\frac{2}{3}$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-3×(6\frac{2}{3} - 5)^2 + 75 = 66\frac{2}{3}$
【答案】
当AB的长是$6\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$时，围成的花圃面积最大，最大面积为$66\frac{2}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是正确列出函数关系式，特别要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略实际约束直接取顶点坐标得到错误结果，考查了学生将实际问题转化为函数问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
这是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：1. 设未知数：设AB的长为x m，花圃面积为y m²；2. 表示BC的长度：篱笆总长30m，有3段平行于AB的篱笆，因此BC的长度为(30-3x)m；3. 确定自变量取值范围：结合墙的最大可用长度为10m，且BC长度为正，可得0＜30-3x≤10，求解得到x的取值范围；4. 列函数关系式：根据矩形面积=长×宽，得到y和x的二次函数关系式，整理为顶点式便于分析最值；5. 结合函数增减性和自变量范围求最值：二次函数开口向下，对称轴为x=5，x的取值范围在对称轴右侧，此时y随x增大而减小，因此x取取值范围内的最小值时，y取得最大值。要注意实际问题中自变量的取值范围，不能直接将顶点坐标作为最值点。
【解析】
解：设围成的花圃面积为$y\ \mathrm{m}^2$，AB的长为$x\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x = -3(x - 5)^2 + 75$
由墙的最大可用长度为10m，且BC边长为正，得不等式：
$0 ＜ 30 - 3x ≤ 10$
解得：$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10$
$\because$二次项系数$-3 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$
$\therefore$当$x ＞ 5$时，$y$随$x$的增大而减小
因此在$6\frac{2}{3} ≤ x ＜ 10$范围内，当$x=6\frac{2}{3}$时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-3×(6\frac{2}{3} - 5)^2 + 75 = 66\frac{2}{3}$
【答案】
当AB的长是$6\frac{2}{3}\ \mathrm{m}$时，围成的花圃面积最大，最大面积为$66\frac{2}{3}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是正确列出函数关系式，特别要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略实际约束直接取顶点坐标得到错误结果，考查了学生将实际问题转化为函数问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
