3. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 $30°$角的方向击出，小球的飞行高度 $h$（单位：m）与飞行时间 $t$（单位：s）之间的关系式是 $h=-5t^2 + 20t$，当飞行时间 $t$ 为多少时，小球到达最高点？

3. 解：根据题意，得 $h=-5t^2+20t=-5(t-2)^2+20$. $\because -5＜0$,
∴当$t=2$时，$h$有最大值.
故当飞行时间$t$为2 s时，小球到达最高点.

【分析】
要确定小球到达最高点的飞行时间，本质是求二次函数$h=-5t^2+20t$取得最大值时对应的自变量$t$的值。首先观察该二次函数的二次项系数为$-5＜0$，可知抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值，因此可以通过配方法将函数转化为顶点式，直接得到顶点对应的横坐标，也就是所求的时间。
【解析】
解：已知小球的飞行高度与飞行时间的关系式为$h=-5t^2+20t$，
对函数进行配方变形：
$h=-5t^2+20t=-5(t^2-4t)=-5(t^2-4t+4-4)=-5(t-2)^2+20$
$\because$二次项系数$-5＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$t=2$时，$h$取得最大值，即小球到达最高点。
【答案】
2 s
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题结合物理运动情境考查二次函数的实际应用，解题核心是将“求最高点对应时间”的实际问题转化为求二次函数取最大值时的自变量值的数学问题，熟练掌握二次函数的图象与性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. 如图26.4-4，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度$y$（单位：m）与水平距离$x$（单位：m）之间的关系式是$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$（$x＞0$）。水流喷出的最大高度是多少？

4. 解：$\because y=-x^2+2x+\frac{5}{4}=-(x-1)^2+\frac{9}{4}$,
∴该抛物线的顶点是$(1,\frac{9}{4})$.
∴水流喷出的最大高度是$\frac{9}{4}$ m.

【分析】
要计算水流喷出的最大高度，本质是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，其中二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，函数顶点处的纵坐标就是该函数的最大值，也就是水流的最大高度。我们可以通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，从而求出最大值。
【解析】
对二次函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{5}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{5}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{5}{4}\\&=-[(x-1)^2-1]+\frac{5}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{5}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{9}{4}\end{aligned}$
因为二次项系数$-1＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
【答案】
水流喷出的最大高度是$\frac{9}{4}$ m。
【知识点】
二次函数的性质；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是将实际的最大高度问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数顶点式的推导和最值的判断方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8