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1. 如图26.4-1，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（单位：m）关于水平距离x（单位：m）的函数解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，那么铅球运动过程中最高点与地面的距离为
2 m
。答案
1. 2 m
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，铅球的运动轨迹对应开口向下的抛物线，抛物线的顶点就是运动的最高点，顶点的纵坐标就是最高点与地面的距离。解题时首先明确二次函数的各项系数，再通过配方法或顶点纵坐标公式计算二次函数的最大值即可。
【解析】
已知铅球高度的函数解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{8}＜0$，因此该函数图象开口向下，存在最大值，最大值即为最高点与地面的距离。
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x^2-4x)+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x^2-4x+4-4)+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x-2)^2 +2\end{aligned}$
当$x=2$时，$y$取得最大值$2$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
代入$a=-\frac{1}{8}$，$b=\frac{1}{2}$，$c=\frac{3}{2}$：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-\frac{1}{8})×\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^2}{4×(-\frac{1}{8})}\\&=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}\\&=2\end{aligned}$
因此铅球运动过程中最高点与地面的距离为2m。
【答案】
2 m
【知识点】
1.二次函数的性质
2.二次函数最值计算
3.二次函数的实际应用
【点评】
本题将生活中的铅球投掷问题与二次函数知识结合，解题核心是将实际问题转化为二次函数求最值的数学问题，掌握二次函数顶点坐标的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际问题中的应用，铅球的运动轨迹对应开口向下的抛物线，抛物线的顶点就是运动的最高点，顶点的纵坐标就是最高点与地面的距离。解题时首先明确二次函数的各项系数，再通过配方法或顶点纵坐标公式计算二次函数的最大值即可。
【解析】
已知铅球高度的函数解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{8}＜0$，因此该函数图象开口向下，存在最大值，最大值即为最高点与地面的距离。
方法一（配方法）：
对函数解析式进行配方：
$\begin{aligned}y&=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x^2-4x)+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x^2-4x+4-4)+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\&=-\frac{1}{8}(x-2)^2 +2\end{aligned}$
当$x=2$时，$y$取得最大值$2$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
代入$a=-\frac{1}{8}$，$b=\frac{1}{2}$，$c=\frac{3}{2}$：
$\begin{aligned}y_{max}&=\frac{4×(-\frac{1}{8})×\frac{3}{2}-(\frac{1}{2})^2}{4×(-\frac{1}{8})}\\&=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}\\&=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}\\&=2\end{aligned}$
因此铅球运动过程中最高点与地面的距离为2m。
【答案】
2 m
【知识点】
1.二次函数的性质
2.二次函数最值计算
3.二次函数的实际应用
【点评】
本题将生活中的铅球投掷问题与二次函数知识结合，解题核心是将实际问题转化为二次函数求最值的数学问题，掌握二次函数顶点坐标的求法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为x m，面积为y m²，则y与x之间的函数解析式为
$y=-x^2+10x$
，围成的矩形的最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$
。答案
2. y=-x²+10x 25 m²
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：绳子长20m是矩形的周长，已知矩形一边长为x m，首先可根据矩形周长公式求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽，即可列出面积y与x的函数解析式。要求最大面积，观察得到的解析式是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处函数值最大，可通过配方法或顶点坐标公式求出最大值。
【解析】
1. 求函数解析式：
已知矩形周长为20m，一边长为x m，则其相邻边长为：$\frac{20}{2} - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
2. 求最大面积：
对函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 10x = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25$
∵ 二次项系数$-1 ＜ 0$，函数图象开口向下，
∴ 当$x = 5$时，y取得最大值，最大值为25，即围成的矩形最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；$25\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合矩形的周长、面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：绳子长20m是矩形的周长，已知矩形一边长为x m，首先可根据矩形周长公式求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽，即可列出面积y与x的函数解析式。要求最大面积，观察得到的解析式是二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处函数值最大，可通过配方法或顶点坐标公式求出最大值。
【解析】
1. 求函数解析式：
已知矩形周长为20m，一边长为x m，则其相邻边长为：$\frac{20}{2} - x = (10 - x)\ \mathrm{m}$，其中x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 10$。
根据矩形面积公式可得：
$y = x(10 - x) = -x^2 + 10x$
2. 求最大面积：
对函数解析式配方得：
$y = -x^2 + 10x = -(x^2 - 10x + 25) + 25 = -(x - 5)^2 + 25$
∵ 二次项系数$-1 ＜ 0$，函数图象开口向下，
∴ 当$x = 5$时，y取得最大值，最大值为25，即围成的矩形最大面积是$25\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$y=-x^2+10x$；$25\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合矩形的周长、面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
1. 如图26.4-2，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y cm²，金色纸边的宽为x cm，则y与x之间的函数解析式是
y=4x²+260x+4 000
。答案
1. y=4x²+260x+4 000
解析
【分析】
要得到y与x的函数解析式，首先明确整个挂画为矩形，矩形面积=长×宽，因此只需先求出镶金色纸边后挂画的长和宽，再代入面积公式展开化简即可。原来风景画的长为80cm，左右两侧各有宽为x cm的纸边，因此挂画总长度为原长加2个x；原来风景画的宽为50cm，上下两侧各有宽为x cm的纸边，因此挂画总宽度为原宽加2个x，最后相乘整理就能得到函数式。
【解析】
解：由题意可知，镶金色纸边后，矩形挂画的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，可得总面积：
$\begin{aligned}y&=(80+2x)(50+2x)\\&=80×50 + 80×2x + 2x×50 + 2x×2x\\&=4000 + 160x + 100x + 4x^2\\&=4x^2 + 260x + 4000\end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2+260x+4000$
【知识点】
列二次函数解析式、矩形面积计算、整式乘法运算
【点评】
本题是结合生活场景的二次函数基础应用题，解题核心是准确表示出变化后矩形的长和宽，再代入对应公式化简即可，主要考查学生对几何量的分析和代数式化简的能力。
【难度系数】
0.8
要得到y与x的函数解析式，首先明确整个挂画为矩形，矩形面积=长×宽，因此只需先求出镶金色纸边后挂画的长和宽，再代入面积公式展开化简即可。原来风景画的长为80cm，左右两侧各有宽为x cm的纸边，因此挂画总长度为原长加2个x；原来风景画的宽为50cm，上下两侧各有宽为x cm的纸边，因此挂画总宽度为原宽加2个x，最后相乘整理就能得到函数式。
【解析】
解：由题意可知，镶金色纸边后，矩形挂画的长为$(80 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(50 + 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式，可得总面积：
$\begin{aligned}y&=(80+2x)(50+2x)\\&=80×50 + 80×2x + 2x×50 + 2x×2x\\&=4000 + 160x + 100x + 4x^2\\&=4x^2 + 260x + 4000\end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2+260x+4000$
【知识点】
列二次函数解析式、矩形面积计算、整式乘法运算
【点评】
本题是结合生活场景的二次函数基础应用题，解题核心是准确表示出变化后矩形的长和宽，再代入对应公式化简即可，主要考查学生对几何量的分析和代数式化简的能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图 26.4-3，矩形 ABCD 的周长为 40. 设 AB 为 x，矩形 ABCD 的面积为 y.
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式.
(2) 当 x 取何值时，y 有最大值？最大值为多少？
图 26.4-2
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式.
(2) 当 x 取何值时，y 有最大值？最大值为多少？
图 26.4-2
答案
2. 解：(1) 由题意可得，$y = x ( \frac{40}{2} - x ) = -x^2 + 20x$.
(2) $y=-x^2+20x=-(x-10)^2+100$.
∴当x=10时，y有最大值，最大值为100.
(2) $y=-x^2+20x=-(x-10)^2+100$.
∴当x=10时，y有最大值，最大值为100.
解析
【分析】
(1) 要推导y关于x的函数解析式，首先依据矩形周长公式计算出AB的邻边长度：矩形周长为2×(长+宽)，已知周长为40，因此长+宽=20，已知AB=x，可得邻边长为20-x。再结合矩形面积=长×宽的公式，代入即可得到函数关系，同时注意边长为正，可确定x的取值范围。
(2) 求y的最大值时，观察所得解析式为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处为函数最大值点，通过配方法将解析式转化为顶点式，即可直接得到最大值对应的x值和最大面积。
【解析】
(1) 已知矩形ABCD周长为40，AB=x
则与AB相邻的边的长度为$\frac{40}{2}-x=20-x$
根据矩形面积公式可得：
$y=x(20-x)=-x^2+20x$，其中x的取值范围为$0＜x＜20$
(2) 将函数解析式配方变形：
$y=-x^2+20x=-(x^2-20x+100)+100=-(x-10)^2+100$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值
∴当$x=10$时，y取得最大值，最大值为100
【答案】
(1) $y=-x^2+20x$（$0＜x＜20$）
(2) 当$x=10$时，y有最大值，最大值为100
【知识点】
二次函数的应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决几何面积最值的基础典型题，解题核心是先利用矩形的周长、面积公式建立函数关系，再结合二次函数的图像性质求解最值，熟练掌握二次函数的配方法和最值性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导y关于x的函数解析式，首先依据矩形周长公式计算出AB的邻边长度：矩形周长为2×(长+宽)，已知周长为40，因此长+宽=20，已知AB=x，可得邻边长为20-x。再结合矩形面积=长×宽的公式，代入即可得到函数关系，同时注意边长为正，可确定x的取值范围。
(2) 求y的最大值时，观察所得解析式为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处为函数最大值点，通过配方法将解析式转化为顶点式，即可直接得到最大值对应的x值和最大面积。
【解析】
(1) 已知矩形ABCD周长为40，AB=x
则与AB相邻的边的长度为$\frac{40}{2}-x=20-x$
根据矩形面积公式可得：
$y=x(20-x)=-x^2+20x$，其中x的取值范围为$0＜x＜20$
(2) 将函数解析式配方变形：
$y=-x^2+20x=-(x^2-20x+100)+100=-(x-10)^2+100$
∵二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值
∴当$x=10$时，y取得最大值，最大值为100
【答案】
(1) $y=-x^2+20x$（$0＜x＜20$）
(2) 当$x=10$时，y有最大值，最大值为100
【知识点】
二次函数的应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决几何面积最值的基础典型题，解题核心是先利用矩形的周长、面积公式建立函数关系，再结合二次函数的图像性质求解最值，熟练掌握二次函数的配方法和最值性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
