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5. 某超市以每个20元的价格购进一批玩具，当每个玩具的售价为34元时，该超市平均每天可售出100个. 国庆期间为了扩大销售量，增加盈利，在售价不低于进价的前提下该超市决定降价促销. 经调查发现，在一定范围内，玩具的单价每降低1元，该超市每天可多售出10个. 设每个玩具的售价降低x元，该超市每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）该超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
（1）求w与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）该超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案
5. 解：（1）根据题意，得
$w=(10x+100)(34-20-x)$，
即$w=-10x^2+40x+1 400.$
其中$x$的取值范围是$0≤ x≤ 14.$
（2）$w=-10x^2+40x+1 400=-10(x-2)^2+1 440.$
$\because -10＜0$，$0≤ x≤ 14$，
$\therefore$当$x=2$时，$w$有最大值1 440.
此时玩具的售价为$34-2=32$(元).
因此，该超市将每个玩具的售价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1 440元.
$w=(10x+100)(34-20-x)$，
即$w=-10x^2+40x+1 400.$
其中$x$的取值范围是$0≤ x≤ 14.$
（2）$w=-10x^2+40x+1 400=-10(x-2)^2+1 440.$
$\because -10＜0$，$0≤ x≤ 14$，
$\therefore$当$x=2$时，$w$有最大值1 440.
此时玩具的售价为$34-2=32$(元).
因此，该超市将每个玩具的售价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1 440元.
解析
【分析】
（1）推导利润函数解析式需以“总利润=单个商品利润×销售量”为核心公式：单个利润为原售价减去进价再减去降价金额，销售量为原销量加上降价后新增的销量，代入对应数量关系即可得到函数式；再结合“售价不低于进价、降价金额不能为负”的实际限制，就能确定自变量x的取值范围。
（2）求利润最大值属于二次函数最值问题，先将二次函数一般式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合自变量的取值范围，确定取得最大值时的x值，进而计算对应售价和最大利润。
【解析】
（1）根据题意，每个玩具的单个利润为$(34-20-x)$元，降价x元后每天的销售量为$(100+10x)$个。
由总利润=单个利润×销售量，可得：
$w=(10x+100)(34-20-x)$
整理得：$w=-10x^2+40x+1400$
结合实际意义：降价金额不能为负，故$x≥0$；售价不低于进价，即$34-x≥20$，解得$x≤14$。
因此自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$。
（2）将函数解析式配方为顶点式：
$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且$0≤ x≤14$，
$\therefore$当$x=2$时，w取得最大值，最大值为1440元。
此时玩具的售价为$34-2=32$（元）。
【答案】
（1）$w=-10x^2+40x+1400$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$；
（2）每个玩具的售价定为32元时，每天获得的利润最大，最大利润是1440元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的销售类二次函数应用题，解题关键是牢记销售利润的计算公式，准确列出函数关系式，求解最值时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值点的合理性，避免忽略实际限制导致错误。
【难度系数】
0.75
（1）推导利润函数解析式需以“总利润=单个商品利润×销售量”为核心公式：单个利润为原售价减去进价再减去降价金额，销售量为原销量加上降价后新增的销量，代入对应数量关系即可得到函数式；再结合“售价不低于进价、降价金额不能为负”的实际限制，就能确定自变量x的取值范围。
（2）求利润最大值属于二次函数最值问题，先将二次函数一般式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再结合自变量的取值范围，确定取得最大值时的x值，进而计算对应售价和最大利润。
【解析】
（1）根据题意，每个玩具的单个利润为$(34-20-x)$元，降价x元后每天的销售量为$(100+10x)$个。
由总利润=单个利润×销售量，可得：
$w=(10x+100)(34-20-x)$
整理得：$w=-10x^2+40x+1400$
结合实际意义：降价金额不能为负，故$x≥0$；售价不低于进价，即$34-x≥20$，解得$x≤14$。
因此自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$。
（2）将函数解析式配方为顶点式：
$w=-10x^2+40x+1400=-10(x-2)^2+1440$
$\because -10＜0$，抛物线开口向下，且$0≤ x≤14$，
$\therefore$当$x=2$时，w取得最大值，最大值为1440元。
此时玩具的售价为$34-2=32$（元）。
【答案】
（1）$w=-10x^2+40x+1400$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤14$；
（2）每个玩具的售价定为32元时，每天获得的利润最大，最大利润是1440元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，自变量取值范围确定
【点评】
本题是典型的销售类二次函数应用题，解题关键是牢记销售利润的计算公式，准确列出函数关系式，求解最值时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值点的合理性，避免忽略实际限制导致错误。
【难度系数】
0.75
6. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件. 为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每件商品每涨价5元，每周少卖50件. 已知商品的进价为每件40元，当售价定为每件多少元时利润最大？求最大利润.
答案
6. 解：设该商品每件涨价$x$元，每周销售利润为$w$元.
根据题意，得$w=(60-40+x)(300-\dfrac{50}{5}x)=-10(x-5)^2+6 250.$
$\because -10＜0$，
$\therefore$当$x=5$时，$w$有最大值6 250.
此时售价为$60+5=65$(元).
因此，当售价定为每件65元时利润最大，最大利润为6 250元.
根据题意，得$w=(60-40+x)(300-\dfrac{50}{5}x)=-10(x-5)^2+6 250.$
$\because -10＜0$，
$\therefore$当$x=5$时，$w$有最大值6 250.
此时售价为$60+5=65$(元).
因此，当售价定为每件65元时利润最大，最大利润为6 250元.
解析
【分析】
这是一道销售利润最大化的问题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步，设每件商品涨价金额为自变量$x$，每周总利润为因变量$w$；第二步，表示涨价后的单件利润：原单件利润为售价减进价即$60-40=20$元，涨价$x$元后单件利润为$(20+x)$元；第三步，表示涨价后的销售量：每涨5元少卖50件，即每涨1元少卖10件，涨$x$元后少卖$10x$件，因此销售量为$(300-10x)$件；第四步，根据利润公式列出$w$关于$x$的二次函数解析式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向确定最大值对应的$x$值，最后计算此时的售价和最大利润即可。
【解析】
解：设该商品每件涨价$x$元，每周销售利润为$w$元。
根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(60-40+x)(300-\dfrac{50}{5}x)\\&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=5$时，$w$有最大值，最大值为6250元。
此时售价为$60+5=65$（元）。
【答案】
当售价定为每件65元时利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是理清单价变动对销售量的影响，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际销售的意义。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润最大化的问题，解题思路如下：首先明确销售问题的核心公式：总利润=单件利润×销售数量。第一步，设每件商品涨价金额为自变量$x$，每周总利润为因变量$w$；第二步，表示涨价后的单件利润：原单件利润为售价减进价即$60-40=20$元，涨价$x$元后单件利润为$(20+x)$元；第三步，表示涨价后的销售量：每涨5元少卖50件，即每涨1元少卖10件，涨$x$元后少卖$10x$件，因此销售量为$(300-10x)$件；第四步，根据利润公式列出$w$关于$x$的二次函数解析式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向确定最大值对应的$x$值，最后计算此时的售价和最大利润即可。
【解析】
解：设该商品每件涨价$x$元，每周销售利润为$w$元。
根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(60-40+x)(300-\dfrac{50}{5}x)\\&=(20+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
$\because -10＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=5$时，$w$有最大值，最大值为6250元。
此时售价为$60+5=65$（元）。
【答案】
当售价定为每件65元时利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的典型题型，解题关键是理清单价变动对销售量的影响，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的取值需符合实际销售的意义。
【难度系数】
0.7
7. 某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且每台售价每降低1元，就可多售出5台。商场规定这种净水器售价不低于330元/台，且每月要完成不低于450台的销售任务。
（1）若每台售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y（单位：台）与每月所获得的利润w（单位：元）。
（2）当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润w最大？最大利润是多少？
（1）若每台售价降低x元，请用含x的代数式表示月销售量y（单位：台）与每月所获得的利润w（单位：元）。
（2）当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润w最大？最大利润是多少？
答案
7. 解：(1) 根据题意，得 $y=5x+200$，
$w=(400-x-200)(5x+200)=-5x^2+800x+40000$。
(2) 由题意，得 $\begin{cases}400-x≥330,\\5x+200≥450.\end{cases}$
解得 $50≤ x≤70$。
$w=-5x^2+800x+40000=-5(x-80)^2+72000$。
$\because -5＜0$，二次函数的对称轴为$x=80$，
$\therefore$ 当$x＜80$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\therefore$ 当$x=70$时，$w$有最大值71500。
$400-70=330$。
因此，当每台售价定为330元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润$w$最大，最大利润是71500元。
$w=(400-x-200)(5x+200)=-5x^2+800x+40000$。
(2) 由题意，得 $\begin{cases}400-x≥330,\\5x+200≥450.\end{cases}$
解得 $50≤ x≤70$。
$w=-5x^2+800x+40000=-5(x-80)^2+72000$。
$\because -5＜0$，二次函数的对称轴为$x=80$，
$\therefore$ 当$x＜80$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\therefore$ 当$x=70$时，$w$有最大值71500。
$400-70=330$。
因此，当每台售价定为330元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润$w$最大，最大利润是71500元。
解析
【分析】
（1）第一问先分析月销售量的构成：原有销量200台，每降价1元多售5台，降价x元则多售5x台，相加即可得到y的表达式；再根据“总利润=单台利润×月销售量”，单台利润为（当前售价-进价），当前售价为（400-x）元，进价200元，代入即可写出w的表达式。
（2）第二问首先根据题目给出的两个限制条件：售价≥330元、月销量≥450台，列出关于x的一元一次不等式组，求解得到x的取值范围；再将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在x取值范围内的增减性，进而找到使w最大的x值，最后计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 根据题意，月销售量=原有销量+降价增加的销量，因此：
$y=200+5x$，即$y=5x+200$
单台利润为：$400-x-200=200-x$，总利润=单台利润×销量，因此：
$w=(200-x)(5x+200)$
展开整理得：$w=-5x^2+800x+40000$
(2) 根据售价不低于330元、月销量不低于450台，列不等式组：
$\begin{cases}400-x≥330\\5x+200≥450\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≤70$
解第二个不等式得：$x≥50$
因此x的取值范围是$50≤ x≤70$
将w的解析式配方为顶点式：
$w=-5x^2+800x+40000=-5(x-80)^2+72000$
$\because a=-5＜0$，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=80$
$\therefore$ 当$x＜80$时，w随x的增大而增大
结合x的取值范围$50≤ x≤70$，可知当x取最大值70时，w取得最大值
将x=70代入解析式得：
$w=-5×(70-80)^2+72000=71500$
此时售价为$400-70=330$（元）
【答案】
(1) $y=5x+200$，$w=-5x^2+800x+40000$；
(2) 当每台售价定为330元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润最大，最大利润是71500元。
【知识点】
二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类利润最值问题，解题时需先根据题意准确列出函数关系式，再结合题目中的限制条件确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的性质求最值，要注意二次函数的最值不一定在顶点处取得，需结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.65
（1）第一问先分析月销售量的构成：原有销量200台，每降价1元多售5台，降价x元则多售5x台，相加即可得到y的表达式；再根据“总利润=单台利润×月销售量”，单台利润为（当前售价-进价），当前售价为（400-x）元，进价200元，代入即可写出w的表达式。
（2）第二问首先根据题目给出的两个限制条件：售价≥330元、月销量≥450台，列出关于x的一元一次不等式组，求解得到x的取值范围；再将w的二次函数解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴，判断函数在x取值范围内的增减性，进而找到使w最大的x值，最后计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 根据题意，月销售量=原有销量+降价增加的销量，因此：
$y=200+5x$，即$y=5x+200$
单台利润为：$400-x-200=200-x$，总利润=单台利润×销量，因此：
$w=(200-x)(5x+200)$
展开整理得：$w=-5x^2+800x+40000$
(2) 根据售价不低于330元、月销量不低于450台，列不等式组：
$\begin{cases}400-x≥330\\5x+200≥450\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≤70$
解第二个不等式得：$x≥50$
因此x的取值范围是$50≤ x≤70$
将w的解析式配方为顶点式：
$w=-5x^2+800x+40000=-5(x-80)^2+72000$
$\because a=-5＜0$，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=80$
$\therefore$ 当$x＜80$时，w随x的增大而增大
结合x的取值范围$50≤ x≤70$，可知当x取最大值70时，w取得最大值
将x=70代入解析式得：
$w=-5×(70-80)^2+72000=71500$
此时售价为$400-70=330$（元）
【答案】
(1) $y=5x+200$，$w=-5x^2+800x+40000$；
(2) 当每台售价定为330元时，商场每月销售这种净水器所获得的利润最大，最大利润是71500元。
【知识点】
二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类利润最值问题，解题时需先根据题意准确列出函数关系式，再结合题目中的限制条件确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的性质求最值，要注意二次函数的最值不一定在顶点处取得，需结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.65
