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8. 世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价为40元，规定销售单价不低于44元，且单本获利不高于12元. 试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现该商店决定提价销售. 设销售单价为x元，每天获得的利润为w元. 将足球纪念册的销售单价定为多少元时，该商店每天销售纪念册获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案
解：由题意，得 $w=(x-40)[300-10(x-44)]=-10x^2+1140x-29600=-10(x-57)^2+2890$。
$\because -10＜0$，
$\therefore$ 当$x＜57$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\because 44≤ x≤40+12$，即$44≤ x≤52$，
$\therefore$ 当$x=52$时，$w$有最大值，为$-10×(52-57)^2+2890=2640$(元)。
因此，将足球纪念册的销售单价定为52元时，该商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
$\because -10＜0$，
$\therefore$ 当$x＜57$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\because 44≤ x≤40+12$，即$44≤ x≤52$，
$\therefore$ 当$x=52$时，$w$有最大值，为$-10×(52-57)^2+2890=2640$(元)。
因此，将足球纪念册的销售单价定为52元时，该商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
解析
【分析】
要解决该利润最值问题，首先明确销售类问题的核心等量关系：总利润=单本利润×销售数量。第一步先表示出单本利润和对应销量：单本利润为售价减进价，即(x-40)元；售价为44元时销量300本，单价每涨1元销量减少10本，因此售价为x元时销量为[300-10(x-44)]本。第二步将两个表达式相乘得到利润w关于x的二次函数，整理为顶点式便于分析增减性。第三步根据题干的单价限制确定x的取值范围：单价不低于44元，单本获利不高于12元，即44≤x≤52。第四步结合二次函数的开口方向、增减性，在x的取值范围内找到利润最大值对应的售价，计算最大利润即可。
【解析】
解：由题意得，单本利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$[300-10(x-44)]$本，因此每天的利润为：
$\begin{aligned}w&=(x-40)[300-10(x-44)]\\&=-10x^2+1140x-29600\\&=-10(x-57)^2+2890\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x＜57$时，$w$随$x$的增大而增大。
根据题意，销售单价满足$44≤x≤40+12$，即$44≤x≤52$，该范围在对称轴$x=57$左侧，$w$随$x$增大而增大，因此当$x=52$时$w$取最大值：
$w=-10×(52-57)^2+2890=2640$（元）
【答案】
将足球纪念册的销售单价定为52元时，该商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的增减性；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是准确建立利润的函数关系式，需特别注意题目对销售单价的限制条件，不能直接代入二次函数顶点横坐标求最值，要结合自变量取值范围和函数增减性判断最值位置，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.6
要解决该利润最值问题，首先明确销售类问题的核心等量关系：总利润=单本利润×销售数量。第一步先表示出单本利润和对应销量：单本利润为售价减进价，即(x-40)元；售价为44元时销量300本，单价每涨1元销量减少10本，因此售价为x元时销量为[300-10(x-44)]本。第二步将两个表达式相乘得到利润w关于x的二次函数，整理为顶点式便于分析增减性。第三步根据题干的单价限制确定x的取值范围：单价不低于44元，单本获利不高于12元，即44≤x≤52。第四步结合二次函数的开口方向、增减性，在x的取值范围内找到利润最大值对应的售价，计算最大利润即可。
【解析】
解：由题意得，单本利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$[300-10(x-44)]$本，因此每天的利润为：
$\begin{aligned}w&=(x-40)[300-10(x-44)]\\&=-10x^2+1140x-29600\\&=-10(x-57)^2+2890\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-10＜0$，
$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x＜57$时，$w$随$x$的增大而增大。
根据题意，销售单价满足$44≤x≤40+12$，即$44≤x≤52$，该范围在对称轴$x=57$左侧，$w$随$x$增大而增大，因此当$x=52$时$w$取最大值：
$w=-10×(52-57)^2+2890=2640$（元）
【答案】
将足球纪念册的销售单价定为52元时，该商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的增减性；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是准确建立利润的函数关系式，需特别注意题目对销售单价的限制条件，不能直接代入二次函数顶点横坐标求最值，要结合自变量取值范围和函数增减性判断最值位置，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.6
9. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗. 市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同. 在销售中，该商家发现肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
（1）设肉粽每盒售价为$ x $元（$ 50 ≤ x ≤ 65 $），该商家每天销售肉粽的利润为$ y $（单位：元），求$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）在（1）的条件下求最大利润.
（1）设肉粽每盒售价为$ x $元（$ 50 ≤ x ≤ 65 $），该商家每天销售肉粽的利润为$ y $（单位：元），求$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）在（1）的条件下求最大利润.
答案
1. 设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a-10)元。
由题意，得$\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a-10}$。
解得a=40。
经检验，a=40是所列分式方程的根。
∴肉粽每盒进价为40元，豆沙粽每盒进价为30元。
∴$y=(x-40)[100-2(x-50)]=-2x^2+280x-8000$。
2. $y=-2x^2+280x-8000=-2(x-70)^2+1800$。
∵-2＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大。
∵50≤x≤65，
∴当x=65时，y有最大值1 750。
因此，当肉粽每盒售价定为65元时，该商家每天销售肉粽的利润最大，最大利润为1 750元。
由题意，得$\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a-10}$。
解得a=40。
经检验，a=40是所列分式方程的根。
∴肉粽每盒进价为40元，豆沙粽每盒进价为30元。
∴$y=(x-40)[100-2(x-50)]=-2x^2+280x-8000$。
2. $y=-2x^2+280x-8000=-2(x-70)^2+1800$。
∵-2＜0，
∴当x＜70时，y随x的增大而增大。
∵50≤x≤65，
∴当x=65时，y有最大值1 750。
因此，当肉粽每盒售价定为65元时，该商家每天销售肉粽的利润最大，最大利润为1 750元。
解析
【分析】
要解决第一问，首先需要求出肉粽的每盒进价：题目给出用8000元购进的肉粽和6000元购进的豆沙粽盒数相同，我们可以设肉粽进价为a元，列分式方程求解进价。再根据“利润=（售价-进价）×销售量”推导函数解析式：售价为x元时，每盒利润是(x-进价)元；售价相比50元上涨了(x-50)元，每涨1元少售2盒，因此每天的销售量为[100-2(x-50)]盒，两者相乘即可得到y关于x的函数。
解决第二问时，先将第一问得到的二次函数解析式配方，结合二次函数的增减性，再根据x的取值范围50≤x≤65，找到使利润最大的x值，代入计算最大利润即可。
【解析】
（1）设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a-10)元。
由题意，两种粽子购进盒数相同，可列方程：$\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a-10}$
交叉相乘化简得：$8000(a-10)=6000a$，解得$a=40$。
经检验，$a=40$是所列分式方程的根，且符合实际意义，因此肉粽每盒进价为40元。
当肉粽售价为x元时，每盒利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$100-2(x-50)$盒，
因此每天销售利润：
$y=(x-40)[100-2(x-50)]$
化简得：$y=-2x^2+280x-8000\quad(50≤ x≤65)$
（2）将二次函数解析式配方得：
$y=-2x^2+280x-8000=-2(x-70)^2+1800$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x＜70$时，y随x的增大而增大，
又
∵$50≤ x≤65$，属于x＜70的递增区间，
∴当$x=65$时，y取得最大值，
代入计算得：$y=-2×(65-70)^2+1800=1750$（元）
【答案】
（1）$y=-2x^2+280x-8000\quad(50≤ x≤65)$；
（2）最大利润为1750元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活消费场景命题，既考查了分式方程的求解与检验，也考查了二次函数的解析式推导和最值计算，解题时要注意两点：一是分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，二是二次函数求最值时要结合自变量的取值范围，不能直接取顶点值，避免出错。
【难度系数】
0.65
要解决第一问，首先需要求出肉粽的每盒进价：题目给出用8000元购进的肉粽和6000元购进的豆沙粽盒数相同，我们可以设肉粽进价为a元，列分式方程求解进价。再根据“利润=（售价-进价）×销售量”推导函数解析式：售价为x元时，每盒利润是(x-进价)元；售价相比50元上涨了(x-50)元，每涨1元少售2盒，因此每天的销售量为[100-2(x-50)]盒，两者相乘即可得到y关于x的函数。
解决第二问时，先将第一问得到的二次函数解析式配方，结合二次函数的增减性，再根据x的取值范围50≤x≤65，找到使利润最大的x值，代入计算最大利润即可。
【解析】
（1）设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为(a-10)元。
由题意，两种粽子购进盒数相同，可列方程：$\frac{8000}{a}=\frac{6000}{a-10}$
交叉相乘化简得：$8000(a-10)=6000a$，解得$a=40$。
经检验，$a=40$是所列分式方程的根，且符合实际意义，因此肉粽每盒进价为40元。
当肉粽售价为x元时，每盒利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$100-2(x-50)$盒，
因此每天销售利润：
$y=(x-40)[100-2(x-50)]$
化简得：$y=-2x^2+280x-8000\quad(50≤ x≤65)$
（2）将二次函数解析式配方得：
$y=-2x^2+280x-8000=-2(x-70)^2+1800$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x＜70$时，y随x的增大而增大，
又
∵$50≤ x≤65$，属于x＜70的递增区间，
∴当$x=65$时，y取得最大值，
代入计算得：$y=-2×(65-70)^2+1800=1750$（元）
【答案】
（1）$y=-2x^2+280x-8000\quad(50≤ x≤65)$；
（2）最大利润为1750元。
【知识点】
分式方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活消费场景命题，既考查了分式方程的求解与检验，也考查了二次函数的解析式推导和最值计算，解题时要注意两点：一是分式方程求解后必须检验是否符合实际意义，二是二次函数求最值时要结合自变量的取值范围，不能直接取顶点值，避免出错。
【难度系数】
0.65
