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一座截面为抛物线形的拱桥示意图如图26.4-9所示，当水面宽8 m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面4 m，水面上升3 m时，水面的宽度为
4 m
.答案
4 m
解析
【分析】
这是二次函数在拱桥问题中的实际应用，解题思路如下：首先我们通过建立合适的平面直角坐标系简化计算，通常选择拱顶为坐标原点、抛物线的对称轴为y轴建系，这样抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，没有多余的未知项；接下来利用已知的水面宽度和拱高条件，代入点坐标求出抛物线的解析式；最后根据水面上升的高度得到新的水面对应的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，利用抛物线的对称性计算此时的水面宽度即可。
【解析】
解：以拱顶为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为$ y=ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，当水面宽8m时，拱顶离水面4m，此时水面右边缘的坐标为$ (4, -4) $，将其代入解析式得：
$ -4 = a × 4^2 $
解得$ a = -\frac{1}{4} $，即抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{4}x^2 $。
水面上升3m后，此时水面的纵坐标为$ -4 + 3 = -1 $，将$ y=-1 $代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{4}x^2 $
解得$ x^2 = 4 $，即$ x = \pm 2 $。
结合抛物线的对称性，此时水面宽度为$ 2 - (-2) = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是合理建立平面直角坐标系简化运算，求解过程要注意实际量和坐标值的对应关系，结合抛物线的对称性能快速得出水面宽度。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在拱桥问题中的实际应用，解题思路如下：首先我们通过建立合适的平面直角坐标系简化计算，通常选择拱顶为坐标原点、抛物线的对称轴为y轴建系，这样抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，没有多余的未知项；接下来利用已知的水面宽度和拱高条件，代入点坐标求出抛物线的解析式；最后根据水面上升的高度得到新的水面对应的纵坐标，代入解析式求出对应的横坐标，利用抛物线的对称性计算此时的水面宽度即可。
【解析】
解：以拱顶为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为$ y=ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，当水面宽8m时，拱顶离水面4m，此时水面右边缘的坐标为$ (4, -4) $，将其代入解析式得：
$ -4 = a × 4^2 $
解得$ a = -\frac{1}{4} $，即抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{4}x^2 $。
水面上升3m后，此时水面的纵坐标为$ -4 + 3 = -1 $，将$ y=-1 $代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{4}x^2 $
解得$ x^2 = 4 $，即$ x = \pm 2 $。
结合抛物线的对称性，此时水面宽度为$ 2 - (-2) = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是合理建立平面直角坐标系简化运算，求解过程要注意实际量和坐标值的对应关系，结合抛物线的对称性能快速得出水面宽度。
【难度系数】
0.7
1. 有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB宽24 m，拱顶距离水面4 m. 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图26.4-10所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）若水位上升3 m就达到警戒线CD的位置，求这时水面CD的宽度.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）若水位上升3 m就达到警戒线CD的位置，求这时水面CD的宽度.
答案
1. 解：（1）由抛物线对称性可知，点 B 的坐标为(12,-4).
∵抛物线的顶点在原点，
∴设抛物线对应的函数解析式为 y=ax²(a≠0)，
把 B(12,-4)代入上式，得-4=a×12²，
∴a=-1/36.
∴y=-1/36 x².
（2）
∵水位上升 3 m 就达到警戒线 CD 的位置，
∴点 C，D 的纵坐标为-4+3=-1.
当 y=-1 时，-1/36 x²=-1.
解方程，得 x=±6.
∴点 D 的坐标为(6,-1)，点 C 的坐标为(-6,-1)，
∴CD=6-(-6)=12(m).
∵抛物线的顶点在原点，
∴设抛物线对应的函数解析式为 y=ax²(a≠0)，
把 B(12,-4)代入上式，得-4=a×12²，
∴a=-1/36.
∴y=-1/36 x².
（2）
∵水位上升 3 m 就达到警戒线 CD 的位置，
∴点 C，D 的纵坐标为-4+3=-1.
当 y=-1 时，-1/36 x²=-1.
解方程，得 x=±6.
∴点 D 的坐标为(6,-1)，点 C 的坐标为(-6,-1)，
∴CD=6-(-6)=12(m).
解析
【分析】
（1）首先观察坐标系特征，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$的形式。根据已知条件，正常水位时水面AB宽24m，拱顶距离水面4m，结合抛物线对称性可得点B的坐标为$(12,-4)$，将该点代入所设解析式即可求出参数$a$，得到抛物线的函数解析式。
（2）水位上升3m到达警戒线CD，说明此时水面的纵坐标比正常水位的纵坐标$-4$高3，即CD所在位置的纵坐标为$-1$。将$y=-1$代入已求出的抛物线解析式，解出对应的$x$的两个取值，两个$x$值的差就是水面CD的宽度。
【解析】
（1）由抛物线对称性可知，正常水位时AB宽24m，拱顶距水面4m，因此点B的坐标为$(12,-4)$。
∵抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2(a≠0)$，
把$B(12,-4)$代入解析式，得：$-4=a×12^2$，
解得：$a=-\frac{1}{36}$，
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{36}x^2$。
（2）
∵水位上升3m达到警戒线CD的位置，
∴此时水面CD的纵坐标为$-4+3=-1$，
将$y=-1$代入$y=-\frac{1}{36}x^2$，得：$-\frac{1}{36}x^2=-1$，
解方程得：$x=\pm6$，
即点C坐标为$(-6,-1)$，点D坐标为$(6,-1)$，
∴CD的长度为$6 - (-6)=12(m)$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{36}x^2$；（2）$12\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合坐标系和已知条件确定抛物线上点的坐标，再利用二次函数的性质求解对应的实际量，解题过程中利用抛物线的对称性可以有效简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）首先观察坐标系特征，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$的形式。根据已知条件，正常水位时水面AB宽24m，拱顶距离水面4m，结合抛物线对称性可得点B的坐标为$(12,-4)$，将该点代入所设解析式即可求出参数$a$，得到抛物线的函数解析式。
（2）水位上升3m到达警戒线CD，说明此时水面的纵坐标比正常水位的纵坐标$-4$高3，即CD所在位置的纵坐标为$-1$。将$y=-1$代入已求出的抛物线解析式，解出对应的$x$的两个取值，两个$x$值的差就是水面CD的宽度。
【解析】
（1）由抛物线对称性可知，正常水位时AB宽24m，拱顶距水面4m，因此点B的坐标为$(12,-4)$。
∵抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^2(a≠0)$，
把$B(12,-4)$代入解析式，得：$-4=a×12^2$，
解得：$a=-\frac{1}{36}$，
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{36}x^2$。
（2）
∵水位上升3m达到警戒线CD的位置，
∴此时水面CD的纵坐标为$-4+3=-1$，
将$y=-1$代入$y=-\frac{1}{36}x^2$，得：$-\frac{1}{36}x^2=-1$，
解方程得：$x=\pm6$，
即点C坐标为$(-6,-1)$，点D坐标为$(6,-1)$，
∴CD的长度为$6 - (-6)=12(m)$。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{36}x^2$；（2）$12\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，抛物线的对称性
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是结合坐标系和已知条件确定抛物线上点的坐标，再利用二次函数的性质求解对应的实际量，解题过程中利用抛物线的对称性可以有效简化计算。
【难度系数】
0.7
