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2. 九年级体育课上，同学们正在进行原地掷实心球训练. 某同学实心球出手(点A处)的高度是2 m，出手后的实心球沿一段抛物线运动，如图26.4-11所示，当实心球运动到最高点时，高度为$\frac{18}{5}$ m，水平距离为4 m.
(1) 试求出手后实心球高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数解析式；
(2) 设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求该同学的成绩.
(1) 试求出手后实心球高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数解析式；
(2) 设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求该同学的成绩.
答案
2. 解：（1）由题意知，抛物线最高点坐标为(4, 18/5).
设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-4)²+18/5.
∵某同学实心球出手(点 A 处)的高度是 2 m，
∴点 A 的坐标为(0, 2).
将 A(0, 2)代入上式，得 2=a×(0-4)²+18/5.
解得 a=-1/10.
∴出手后实心球高度 y 与水平距离 x 之间的函数解析式为 y=-1/10(x-4)²+18/5.
（2）依题意，将 y=0 代入 y=-1/10(x-4)²+18/5，得 0=-1/10(x-4)²+18/5.
解方程，得 x₁=10，x₂=-2（不符合题意，舍去）.
∴该同学的成绩为 10 m.
设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-4)²+18/5.
∵某同学实心球出手(点 A 处)的高度是 2 m，
∴点 A 的坐标为(0, 2).
将 A(0, 2)代入上式，得 2=a×(0-4)²+18/5.
解得 a=-1/10.
∴出手后实心球高度 y 与水平距离 x 之间的函数解析式为 y=-1/10(x-4)²+18/5.
（2）依题意，将 y=0 代入 y=-1/10(x-4)²+18/5，得 0=-1/10(x-4)²+18/5.
解方程，得 x₁=10，x₂=-2（不符合题意，舍去）.
∴该同学的成绩为 10 m.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，已知抛物线的顶点（最高点）坐标为$(4,\frac{18}{5})$，优先选择顶点式设函数解析式，可降低计算难度。再结合出手点A的高度为2m，即点A坐标为$(0,2)$，将其代入所设解析式求出参数$a$，即可得到所求函数解析式。
(2) 实心球落地时高度为0，因此令函数解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，所得正根就是落地点的水平距离，也就是该同学的成绩，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{18}{5})$，设抛物线的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{18}{5}(a≠0)$。
已知出手点A的高度为2m，即当$x=0$时$y=2$，将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a×(0-4)^2+\frac{18}{5}$
解得$a=-\frac{1}{10}$。
因此实心球高度$y$与水平距离$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$。
（2）实心球落地时$y=0$，将$y=0$代入解析式得：
$0=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$
整理得$(x-4)^2=36$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，因此该同学的成绩为10m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$
(2) $10\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题关键是根据已知条件选择合适的二次函数形式求解解析式，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，属于二次函数基础应用题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解抛物线解析式时，已知抛物线的顶点（最高点）坐标为$(4,\frac{18}{5})$，优先选择顶点式设函数解析式，可降低计算难度。再结合出手点A的高度为2m，即点A坐标为$(0,2)$，将其代入所设解析式求出参数$a$，即可得到所求函数解析式。
(2) 实心球落地时高度为0，因此令函数解析式中$y=0$，解对应的一元二次方程，所得正根就是落地点的水平距离，也就是该同学的成绩，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(4,\frac{18}{5})$，设抛物线的函数解析式为$y=a(x-4)^2+\frac{18}{5}(a≠0)$。
已知出手点A的高度为2m，即当$x=0$时$y=2$，将$A(0,2)$代入解析式得：
$2=a×(0-4)^2+\frac{18}{5}$
解得$a=-\frac{1}{10}$。
因此实心球高度$y$与水平距离$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$。
（2）实心球落地时$y=0$，将$y=0$代入解析式得：
$0=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$
整理得$(x-4)^2=36$，解得$x_1=10$，$x_2=-2$。
水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，因此该同学的成绩为10m。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+\frac{18}{5}$
(2) $10\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的应用，解题关键是根据已知条件选择合适的二次函数形式求解解析式，同时要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，属于二次函数基础应用题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图26.4-12，有一抛物线形桥洞. 桥洞离水面的最大距离OM为3 m，水面AB宽为6 m.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线对应的函数解析式；
（2）一艘小船上平放着一些长3 m、宽2 m且厚度均匀的矩形木板（木板最下层与水面齐平），要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
图26.4-12
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线对应的函数解析式；
（2）一艘小船上平放着一些长3 m、宽2 m且厚度均匀的矩形木板（木板最下层与水面齐平），要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
图26.4-12
答案
3. 解：(1) 以点O为坐标原点，过点O且平行于水面AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系
。设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可得，点B的坐标为$(3, -3)$。
$\therefore -3=a×3^2$。解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2$。
(2) 当$x=1$时，$y=-\dfrac{1}{3}×1^2=-\dfrac{1}{3}$，
$\because OM=3$，
$\therefore$ 木板最高可堆放$3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
(1) 解决抛物线实际应用问题首先需要建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。本题选择抛物线顶点O为原点、平行于水面AB的直线为x轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，可设最简形式的解析式$y=ax^2(a≠0)$；再结合已知的AB宽度6m、OM高度3m，得到点B的坐标为$(3,-3)$，代入解析式即可求出系数a，得到函数解析式。
(2) 要使木板顺利通过桥洞，需将木板沿桥洞对称轴放置，此时宽2m的木板边缘对应横坐标为$x=±1$；将x=1代入解析式求出对应y值，该点到顶点的竖直距离为$\frac{1}{3}m$，用顶点到水面的总高度3m减去该距离，即可得到木板可堆放的最大高度。
【解析】
(1) 以点O为坐标原点，过点O且平行于水面AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系。
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可得，水面AB宽为6m，桥洞最大高度OM为3m，因此点B的坐标为$(3, -3)$。
将B点坐标代入解析式得：$-3=a×3^2$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2$。
(2) 矩形木板宽2m，沿对称轴放置时木板边缘对应的横坐标为$x=1$，将$x=1$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{3}×1^2=-\dfrac{1}{3}$，
∵OM=3m，即顶点O到水面的高度为3m，
∴木板最高可堆放的高度为$3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系见解析，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2}$；
(2) $\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型题型，解题关键是建立合适的平面直角坐标系简化计算，再结合二次函数的性质求解实际高度，能有效考查学生的建模能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决抛物线实际应用问题首先需要建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题。本题选择抛物线顶点O为原点、平行于水面AB的直线为x轴建立坐标系，此时抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，可设最简形式的解析式$y=ax^2(a≠0)$；再结合已知的AB宽度6m、OM高度3m，得到点B的坐标为$(3,-3)$，代入解析式即可求出系数a，得到函数解析式。
(2) 要使木板顺利通过桥洞，需将木板沿桥洞对称轴放置，此时宽2m的木板边缘对应横坐标为$x=±1$；将x=1代入解析式求出对应y值，该点到顶点的竖直距离为$\frac{1}{3}m$，用顶点到水面的总高度3m减去该距离，即可得到木板可堆放的最大高度。
【解析】
(1) 以点O为坐标原点，过点O且平行于水面AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系
。设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可得，水面AB宽为6m，桥洞最大高度OM为3m，因此点B的坐标为$(3, -3)$。
将B点坐标代入解析式得：$-3=a×3^2$，解得$a=-\dfrac{1}{3}$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2$。
(2) 矩形木板宽2m，沿对称轴放置时木板边缘对应的横坐标为$x=1$，将$x=1$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{3}×1^2=-\dfrac{1}{3}$，
∵OM=3m，即顶点O到水面的高度为3m，
∴木板最高可堆放的高度为$3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系见解析
，抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{3}x^2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型题型，解题关键是建立合适的平面直角坐标系简化计算，再结合二次函数的性质求解实际高度，能有效考查学生的建模能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
