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4. 某市中心有一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形. 在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40 m，桥拱最高点到水面的距离为10 m. 现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图26.4-13所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线. 在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16 m，露出水面的高DG为7 m. 四边形DEFG为矩形，OD=BE.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 这艘货船能否安全过桥？
(3) 受天气影响，水位上涨了0.5 m. 若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
图26.4-13
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 这艘货船能否安全过桥？
(3) 受天气影响，水位上涨了0.5 m. 若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
图26.4-13
答案
4. 解：(1) 由题意知，点O的坐标为$(0, 0)$，点B的坐标为$(40, 0)$，抛物线的顶点为$(20, 10)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将$(40, 0)$，$(20, 10)$分别代入$y=ax^2+bx$，
得$\begin{cases}1600a+40b=0,\\400a+20b=10.\end{cases}$ 解方程组，得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{40},\\b=1.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$。
(2) 由题意知，点D的横坐标为$20-\dfrac{16}{2}=12$，
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$，得$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12=8.4$。
$\because 8.4＞7$，$\therefore$ 这艘货船能安全过桥。
(3) 由题意知，水位上涨了0.5 m，相当于将抛物线$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$向下平移0.5个单位长度，
平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-\dfrac{1}{2}$。
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-\dfrac{1}{2}$，得$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12-\dfrac{1}{2}=7.9$。
$\because 7.9＞7$，$\therefore$ 此时该货船能安全过桥。
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将$(40, 0)$，$(20, 10)$分别代入$y=ax^2+bx$，
得$\begin{cases}1600a+40b=0,\\400a+20b=10.\end{cases}$ 解方程组，得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{40},\\b=1.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$。
(2) 由题意知，点D的横坐标为$20-\dfrac{16}{2}=12$，
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$，得$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12=8.4$。
$\because 8.4＞7$，$\therefore$ 这艘货船能安全过桥。
(3) 由题意知，水位上涨了0.5 m，相当于将抛物线$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$向下平移0.5个单位长度，
平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-\dfrac{1}{2}$。
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-\dfrac{1}{2}$，得$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12-\dfrac{1}{2}=7.9$。
$\because 7.9＞7$，$\therefore$ 此时该货船能安全过桥。
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式首先要确定已知点坐标：由题意得OB=40m，故B点坐标为$(40,0)$；桥拱最高点到水面距离为10m，抛物线对称轴为OB的中垂线$x=20$，因此顶点坐标为$(20,10)$；又抛物线过原点$O(0,0)$，所以可设常数项为0的一般式$y=ax^2+bx(a≠0)$，代入B点和顶点坐标解二元一次方程组，即可求出参数得到解析式。
(2) 判断货船能否过桥，需计算货船边缘对应横坐标位置的桥拱高度，和货船露出水面高度比较：已知货船宽16m且$OD=BE$，说明货船沿抛物线对称轴放置，D点横坐标为$(40-16)÷2=12$，将$x=12$代入解析式求出对应y值，若y大于7则能安全通过，反之不能。
(3) 水位上涨0.5m，意味着相同横坐标位置，水面到桥拱的高度减少0.5m，等价于原抛物线向下平移0.5个单位得到新解析式，再将$x=12$代入新解析式，所得结果和7比较即可判断能否通过。
【解析】
(1) 由题意可知：$O(0,0)$，$B(40,0)$，抛物线的顶点坐标为$(20,10)$。
∵抛物线过原点，
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将$(40,0)$、$(20,10)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}1600a+40b=0\\400a+20b=10\end{cases}$
解方程组：由第一个方程化简得$b=-40a$，代入第二个方程得$400a+20×(-40a)=10$，解得$a=-\dfrac{1}{40}$，则$b=1$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$。
(2)
∵货船宽$DE=16\mathrm{m}$，且$OD=BE$，
∴D点的横坐标为$20-\dfrac{16}{2}=12$，
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$得：
$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12=8.4$
∵$8.4＞7$，
∴这艘货船能安全过桥。
(3) 水位上涨0.5m，相当于原抛物线向下平移0.5个单位长度，
∴平移后抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-0.5$，
把$x=12$代入新解析式得：
$y=8.4-0.5=7.9$
∵$7.9＞7$，
∴此时该货船能安全过桥。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$
(2) 能安全过桥
(3) 能安全过桥
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的典型应用，解题核心是将实际的长度、高度数据转化为坐标系内的坐标，结合二次函数的性质代入求值比较即可解决问题，需准确理解水位变化对应函数图象的平移规律。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式首先要确定已知点坐标：由题意得OB=40m，故B点坐标为$(40,0)$；桥拱最高点到水面距离为10m，抛物线对称轴为OB的中垂线$x=20$，因此顶点坐标为$(20,10)$；又抛物线过原点$O(0,0)$，所以可设常数项为0的一般式$y=ax^2+bx(a≠0)$，代入B点和顶点坐标解二元一次方程组，即可求出参数得到解析式。
(2) 判断货船能否过桥，需计算货船边缘对应横坐标位置的桥拱高度，和货船露出水面高度比较：已知货船宽16m且$OD=BE$，说明货船沿抛物线对称轴放置，D点横坐标为$(40-16)÷2=12$，将$x=12$代入解析式求出对应y值，若y大于7则能安全通过，反之不能。
(3) 水位上涨0.5m，意味着相同横坐标位置，水面到桥拱的高度减少0.5m，等价于原抛物线向下平移0.5个单位得到新解析式，再将$x=12$代入新解析式，所得结果和7比较即可判断能否通过。
【解析】
(1) 由题意可知：$O(0,0)$，$B(40,0)$，抛物线的顶点坐标为$(20,10)$。
∵抛物线过原点，
∴设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将$(40,0)$、$(20,10)$分别代入解析式得：
$\begin{cases}1600a+40b=0\\400a+20b=10\end{cases}$
解方程组：由第一个方程化简得$b=-40a$，代入第二个方程得$400a+20×(-40a)=10$，解得$a=-\dfrac{1}{40}$，则$b=1$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$。
(2)
∵货船宽$DE=16\mathrm{m}$，且$OD=BE$，
∴D点的横坐标为$20-\dfrac{16}{2}=12$，
把$x=12$代入$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$得：
$y=-\dfrac{1}{40}×12^2+12=8.4$
∵$8.4＞7$，
∴这艘货船能安全过桥。
(3) 水位上涨0.5m，相当于原抛物线向下平移0.5个单位长度，
∴平移后抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{40}x^2+x-0.5$，
把$x=12$代入新解析式得：
$y=8.4-0.5=7.9$
∵$7.9＞7$，
∴此时该货船能安全过桥。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{40}x^2+x$
(2) 能安全过桥
(3) 能安全过桥
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的典型应用，解题核心是将实际的长度、高度数据转化为坐标系内的坐标，结合二次函数的性质代入求值比较即可解决问题，需准确理解水位变化对应函数图象的平移规律。
【难度系数】
0.7
