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8. 已知点$P(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）设直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{m}{x}$的两个交点分别为$P$和$P'$，当$\frac{m}{x}＞kx$时，直接写出$x$的取值范围.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）设直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{m}{x}$的两个交点分别为$P$和$P'$，当$\frac{m}{x}＞kx$时，直接写出$x$的取值范围.
答案
8. 解：（1）
∵点$P(2，1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$1=\frac{m}{2}$. 解得$m=2$.
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$.
（2）
∵直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{2}{x}$的两个交点分别为P和$P'$，点P的坐标为(2，1)，
∴$1=2k$，
∴$k=\frac{1}{2}$.
∴$y=\frac{1}{2}x$.
令$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$.
∴$\frac{1}{2}x^2=2$.
解方程，得$x_1=2$，$x_2=-2$.
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$.
∴点$P'$的坐标为(-2，-1).
∴当$\frac{m}{x}＞kx$时，x的取值范围为$x＜-2$或$0＜x＜2$.
∵点$P(2，1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴$1=\frac{m}{2}$. 解得$m=2$.
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$.
（2）
∵直线$y=kx$与双曲线$y=\frac{2}{x}$的两个交点分别为P和$P'$，点P的坐标为(2，1)，
∴$1=2k$，
∴$k=\frac{1}{2}$.
∴$y=\frac{1}{2}x$.
令$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$.
∴$\frac{1}{2}x^2=2$.
解方程，得$x_1=2$，$x_2=-2$.
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$.
∴点$P'$的坐标为(-2，-1).
∴当$\frac{m}{x}＞kx$时，x的取值范围为$x＜-2$或$0＜x＜2$.
解析
【分析】
（1）要确定反比例函数的解析式，已知函数图象上一点的坐标，将点的横纵坐标代入反比例函数表达式，即可求出未知系数m，得到解析式。
（2）首先利用点P在直线y=kx上，代入求出k的值；由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个交点也关于原点对称，可求出另一个交点P'的坐标；要解不等式$\frac{m}{x}＞kx$，即判断反比例函数图象在直线上方时对应的x的取值范围，需要分x＜0和x＞0两种情况结合交点位置分析，注意x不能为0。
【解析】
（1）
∵点$P(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$x=2,y=1$代入解析式得：$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
（2）
∵直线$y=kx$过点$P(2,1)$，
∴将$x=2,y=1$代入直线解析式得：$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，
∴直线解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立直线与反比例函数解析式：$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，
消去y得：$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=2,x_2=-2$，
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，即点$P'$的坐标为$(-2,-1)$。
结合函数图象分析：
当$x＜-2$时，反比例函数图象在直线上方，满足$\frac{2}{x}＞\frac{1}{2}x$；
当$-2＜x＜0$时，直线在反比例函数图象上方，不满足；
当$0＜x＜2$时，反比例函数图象在直线上方，满足$\frac{2}{x}＞\frac{1}{2}x$；
当$x＞2$时，直线在反比例函数图象上方，不满足。
综上，$\frac{m}{x}＞kx$时x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
【答案】
（1）$y=\frac{2}{x}$；（2）$x＜-2$或$0＜x＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 正反比例函数交点性质
3. 函数不等式的图像解法
【点评】
本题是反比例函数的常规基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题时注意反比例函数自变量x不能为0，避免出现取值范围漏考虑符号的错误。
【难度系数】
0.8
（1）要确定反比例函数的解析式，已知函数图象上一点的坐标，将点的横纵坐标代入反比例函数表达式，即可求出未知系数m，得到解析式。
（2）首先利用点P在直线y=kx上，代入求出k的值；由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，因此两个交点也关于原点对称，可求出另一个交点P'的坐标；要解不等式$\frac{m}{x}＞kx$，即判断反比例函数图象在直线上方时对应的x的取值范围，需要分x＜0和x＞0两种情况结合交点位置分析，注意x不能为0。
【解析】
（1）
∵点$P(2,1)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴将$x=2,y=1$代入解析式得：$1=\frac{m}{2}$，解得$m=2$，
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
（2）
∵直线$y=kx$过点$P(2,1)$，
∴将$x=2,y=1$代入直线解析式得：$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，
∴直线解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立直线与反比例函数解析式：$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，
消去y得：$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x_1=2,x_2=-2$，
当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}×(-2)=-1$，即点$P'$的坐标为$(-2,-1)$。
结合函数图象分析：
当$x＜-2$时，反比例函数图象在直线上方，满足$\frac{2}{x}＞\frac{1}{2}x$；
当$-2＜x＜0$时，直线在反比例函数图象上方，不满足；
当$0＜x＜2$时，反比例函数图象在直线上方，满足$\frac{2}{x}＞\frac{1}{2}x$；
当$x＞2$时，直线在反比例函数图象上方，不满足。
综上，$\frac{m}{x}＞kx$时x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$。
【答案】
（1）$y=\frac{2}{x}$；（2）$x＜-2$或$0＜x＜2$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 正反比例函数交点性质
3. 函数不等式的图像解法
【点评】
本题是反比例函数的常规基础题，既考查了待定系数法求函数解析式的基本技能，也考查了数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题时注意反比例函数自变量x不能为0，避免出现取值范围漏考虑符号的错误。
【难度系数】
0.8
9. 已知一次函数$y=-2x+b$与反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象有2个公共点，则$b$的取值范围是（
A.$b＜-2\sqrt{2}$或$b＞2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
C.$b＞2$或$b＜-2$
D.$b＜-\sqrt{2}$或$b＞\sqrt{2}$
A
）。A.$b＜-2\sqrt{2}$或$b＞2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
C.$b＞2$或$b＜-2$
D.$b＜-\sqrt{2}$或$b＞\sqrt{2}$
答案
9. A
解析
【分析】
要判断两个函数图象的公共点个数，需先将两个函数解析式联立得到方程组，公共点的个数对应方程组解的个数。消去y后可转化为一元二次方程的根的个数问题，再结合一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，即可求出参数b的取值范围。注意反比例函数中x≠0，本题联立得到的整式方程的根不可能为0，无需额外排除增根。
【解析】
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases} y=-2x+b \\ y=\dfrac{1}{x} \end{cases}$
消去y可得：$-2x + b = \dfrac{1}{x}$
两边同时乘以x（x≠0），整理为标准一元二次方程形式：$2x^2 - bx + 1 = 0$
∵两个函数图象有2个公共点，
∴上述一元二次方程有两个不相等的实数根
∴判别式$\Delta = (-b)^2 - 4×2×1 ＞ 0$
化简得：$b^2 ＞ 8$
解得：$b ＜ -2\sqrt{2}$或$b ＞ 2\sqrt{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
函数交点与方程组的关系、一元二次方程根的判别式、不等式求解
【点评】
本题是函数交点类的常规考法，核心解题思路是将函数图象交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，熟练运用判别式判断根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象的公共点个数，需先将两个函数解析式联立得到方程组，公共点的个数对应方程组解的个数。消去y后可转化为一元二次方程的根的个数问题，再结合一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，即可求出参数b的取值范围。注意反比例函数中x≠0，本题联立得到的整式方程的根不可能为0，无需额外排除增根。
【解析】
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases} y=-2x+b \\ y=\dfrac{1}{x} \end{cases}$
消去y可得：$-2x + b = \dfrac{1}{x}$
两边同时乘以x（x≠0），整理为标准一元二次方程形式：$2x^2 - bx + 1 = 0$
∵两个函数图象有2个公共点，
∴上述一元二次方程有两个不相等的实数根
∴判别式$\Delta = (-b)^2 - 4×2×1 ＞ 0$
化简得：$b^2 ＞ 8$
解得：$b ＜ -2\sqrt{2}$或$b ＞ 2\sqrt{2}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
函数交点与方程组的关系、一元二次方程根的判别式、不等式求解
【点评】
本题是函数交点类的常规考法，核心解题思路是将函数图象交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，熟练运用判别式判断根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图27.2-6，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(4，m)，直线CD：$y=ax+b(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于C，$P(-8，-2)$两点.
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由.
答案
10. 解：（1）
∵直线CD与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于C，$P(-8，-2)$两点，
∴把$P(-8，-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-2=\frac{k}{-8}$. 解得$k=16$.
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$.
∵点$C(4，m)$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，
∴$m=\frac{16}{4}=4$.
（2）点B在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上. 理由如下：
连接AC，BD交于点H，如图.
把点$C(4，4)$，$P(-8，-2)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}4a+b=4,\\-8a+b=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
∴直线CD对应的函数解析式是$y=\frac{1}{2}x+2$.
在$y=\frac{1}{2}x+2$中，令$x=0$，得$y=2$.
∴点D的坐标为(0，2).
∵四边形ABCD是菱形，
∴H是AC的中点，也是BD的中点.
由点$A(4，0)$，$C(4，4)$可得点H的坐标为(4，2).
设点B的坐标为$(p，q)$.
∵点D的坐标为(0，2)，
∴$\begin{cases}\frac{p+0}{2}=4,\\\frac{q+2}{2}=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}p=8,\\q=2.\end{cases}$
∴点B的坐标为(8，2).
在$y=\frac{16}{x}$中，令$x=8$，得$y=2$.
∴点B在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上.
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式时，已知反比例函数图象经过点$P(-8,-2)$，直接将$P$点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出$k$值，得到反比例函数解析式；再将点$C(4,m)$代入已求出的反比例函数解析式，就能计算出$m$的值。
（2）要判断点$B$是否在反比例函数图象上，需先求出点$B$的坐标：首先利用$C$、$P$两点坐标，用待定系数法求出直线$CD$的解析式，结合$D$在$y$轴上（横坐标为0）求出$D$点坐标；再根据菱形对角线互相平分的性质，可知$AC$、$BD$的中点重合，先由$A$、$C$坐标求出对角线交点$H$的坐标，再利用中点坐标公式求出$B$点坐标，最后将$B$点坐标代入反比例函数解析式验证即可。
【解析】
（1）
∵直线$CD$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$C$，$P(-8,-2)$两点，
∴把$P(-8,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-2=\frac{k}{-8}$，解得$k=16$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$。
∵点$C(4,m)$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，
∴$m=\frac{16}{4}=4$。
（2）点$B$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，理由如下：
连接$AC$，$BD$交于点$H$，如图。
把点$C(4,4)$，$P(-8,-2)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}4a+b=4,\\-8a+b=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
∴直线$CD$对应的函数解析式是$y=\frac{1}{2}x+2$。
在$y=\frac{1}{2}x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，
∴点$D$的坐标为$(0,2)$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$H$是$AC$的中点，也是$BD$的中点。
由点$A(4,0)$，$C(4,4)$可得点$H$的坐标为$(4,2)$。
设点$B$的坐标为$(p,q)$，
∵点$D$的坐标为$(0,2)$，
∴$\begin{cases}\frac{p+0}{2}=4,\\\frac{q+2}{2}=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}p=8,\\q=2.\end{cases}$
∴点$B$的坐标为$(8,2)$。
在$y=\frac{16}{x}$中，令$x=8$，得$y=2$，
∴点$B$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上。
【答案】
（1）反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{16}{x}}$，$m=\boldsymbol{4}$；
（2）点$B$在该反比例函数的图象上，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求解析式，菱形的性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，综合考察了函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、菱形的性质及中点坐标公式的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相平分的性质求出点$B$的坐标，属于函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
（1）求反比例函数解析式时，已知反比例函数图象经过点$P(-8,-2)$，直接将$P$点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出$k$值，得到反比例函数解析式；再将点$C(4,m)$代入已求出的反比例函数解析式，就能计算出$m$的值。
（2）要判断点$B$是否在反比例函数图象上，需先求出点$B$的坐标：首先利用$C$、$P$两点坐标，用待定系数法求出直线$CD$的解析式，结合$D$在$y$轴上（横坐标为0）求出$D$点坐标；再根据菱形对角线互相平分的性质，可知$AC$、$BD$的中点重合，先由$A$、$C$坐标求出对角线交点$H$的坐标，再利用中点坐标公式求出$B$点坐标，最后将$B$点坐标代入反比例函数解析式验证即可。
【解析】
（1）
∵直线$CD$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$C$，$P(-8,-2)$两点，
∴把$P(-8,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-2=\frac{k}{-8}$，解得$k=16$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$。
∵点$C(4,m)$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，
∴$m=\frac{16}{4}=4$。
（2）点$B$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上，理由如下：
连接$AC$，$BD$交于点$H$，如图。
把点$C(4,4)$，$P(-8,-2)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}4a+b=4,\\-8a+b=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$
∴直线$CD$对应的函数解析式是$y=\frac{1}{2}x+2$。
在$y=\frac{1}{2}x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，
∴点$D$的坐标为$(0,2)$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$H$是$AC$的中点，也是$BD$的中点。
由点$A(4,0)$，$C(4,4)$可得点$H$的坐标为$(4,2)$。
设点$B$的坐标为$(p,q)$，
∵点$D$的坐标为$(0,2)$，
∴$\begin{cases}\frac{p+0}{2}=4,\\\frac{q+2}{2}=2.\end{cases}$解得$\begin{cases}p=8,\\q=2.\end{cases}$
∴点$B$的坐标为$(8,2)$。
在$y=\frac{16}{x}$中，令$x=8$，得$y=2$，
∴点$B$在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上。
【答案】
（1）反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{16}{x}}$，$m=\boldsymbol{4}$；
（2）点$B$在该反比例函数的图象上，理由见解析。
【知识点】
待定系数法求解析式，菱形的性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，综合考察了函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、菱形的性质及中点坐标公式的应用，解题的关键是利用菱形对角线互相平分的性质求出点$B$的坐标，属于函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
