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11. 如图27.2-7，一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(3,4)$，$B(n,-1)$。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若在$x$轴上存在一点$C$，使$△ AOC$为等腰三角形，求点$C$的坐标。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若在$x$轴上存在一点$C$，使$△ AOC$为等腰三角形，求点$C$的坐标。
答案
11. 解：(1)
∵点$A(3,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴把$A(3,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=12$.
∴反比例函数的解析式是$y=\frac{12}{x}$.
∵点$B(n,-1)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴把$B(n,-1)$代入$y=\frac{12}{x}$，得$n=-12$.
∴点$B$的坐标为$(-12,-1)$.
把$A(3,4)$，$B(-12,-1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}3k+b=4,\\-12k+b=-1.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{3}x+3$.
(2)
∵点$A$的坐标为$(3,4)$，
∴$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
若$△ AOC$为等腰三角形，则分以下三种情况：
①当$OA=OC$时，则$OC=5$，此时点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$；
②当$OA=AC$时，
∵点$A$的坐标为$(3,4)$，点$C$和点$O$关于过点$A$且垂直于$x$轴的直线对称，此时点$C$的坐标为$(6,0)$；
③当$AC=OC$时，如图，点$C$在线段$OA$的垂直平分线上. 过点$A$作$AD⊥ x$轴，垂足为$D$.
由题意可得，$OD=3$，$AD=4$.
设$OC=q$，则$AC=q$，$CD=q-3$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理，得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$4^2+(q-3)^2=q^2$.
解得$q=\frac{25}{6}$.
此时点$C$的坐标为$(\frac{25}{6},0)$.
综上所述，点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$.
解析
【分析】
（1）求解函数解析式使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数，将已知点A(3,4)代入反比例函数表达式可直接求出参数m，得到反比例函数解析式；再将点B的纵坐标代入反比例函数，求出n的值得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，联立二元一次方程组求解得到k和b，即可得到一次函数解析式。
（2）△AOC为等腰三角形且点C在x轴上，需按顶角顶点不同分三类讨论：①O为顶角顶点，即OA=OC；②A为顶角顶点，即OA=AC；③C为顶角顶点，即AC=OC。先根据A点坐标用勾股定理求出OA的长度，再结合每种情况的几何特征分别计算C点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点$A(3,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴把$A(3,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=3×4=12$，
∴反比例函数的解析式是$y=\frac{12}{x}$。
∵点$B(n,-1)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴把$B(n,-1)$代入$y=\frac{12}{x}$，得$-1=\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即点B坐标为$(-12,-1)$。
把$A(3,4)$、$B(-12,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}3k+b=4\\-12k+b=-1\end{cases}$
两式相减消去b得$15k=5$，解得$k=\frac{1}{3}$，将$k=\frac{1}{3}$代入$3k+b=4$，解得$b=3$，
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{3}x+3$。
(2)
∵点$A$的坐标为$(3,4)$，
∴由勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
若$△ AOC$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当$OA=OC$时，$OC=5$，
∵点C在x轴上，
∴此时点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$；
②当$OA=AC$时，点A在OC的垂直平分线上，
∵A点横坐标为3，
∴$OC=2×3=6$，此时点$C$的坐标为$(6,0)$；
③当$AC=OC$时，点$C$在线段$OA$的垂直平分线上，过点$A$作$AD⊥ x$轴，垂足为$D$。
由题意得$OD=3$，$AD=4$，设$OC=q$，则$AC=q$，$CD=q-3$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$4^2+(q-3)^2=q^2$，化简得$6q=25$，解得$q=\frac{25}{6}$，
此时点$C$的坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x+3}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$、$\boldsymbol{(-5,0)}$、$\boldsymbol{(6,0)}$、$\boldsymbol{(\frac{25}{6},0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合典型题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础技能，又通过等腰三角形存在性问题考查了分类讨论的数学思想，解题时要注意按顶角顶点的不同分情况计算，避免漏解，计算时可结合勾股定理建立方程求解未知量。
【难度系数】
0.6
（1）求解函数解析式使用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数，将已知点A(3,4)代入反比例函数表达式可直接求出参数m，得到反比例函数解析式；再将点B的纵坐标代入反比例函数，求出n的值得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，联立二元一次方程组求解得到k和b，即可得到一次函数解析式。
（2）△AOC为等腰三角形且点C在x轴上，需按顶角顶点不同分三类讨论：①O为顶角顶点，即OA=OC；②A为顶角顶点，即OA=AC；③C为顶角顶点，即AC=OC。先根据A点坐标用勾股定理求出OA的长度，再结合每种情况的几何特征分别计算C点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点$A(3,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴把$A(3,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=3×4=12$，
∴反比例函数的解析式是$y=\frac{12}{x}$。
∵点$B(n,-1)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴把$B(n,-1)$代入$y=\frac{12}{x}$，得$-1=\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即点B坐标为$(-12,-1)$。
把$A(3,4)$、$B(-12,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}3k+b=4\\-12k+b=-1\end{cases}$
两式相减消去b得$15k=5$，解得$k=\frac{1}{3}$，将$k=\frac{1}{3}$代入$3k+b=4$，解得$b=3$，
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{3}x+3$。
(2)
∵点$A$的坐标为$(3,4)$，
∴由勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
若$△ AOC$为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
①当$OA=OC$时，$OC=5$，
∵点C在x轴上，
∴此时点$C$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$；
②当$OA=AC$时，点A在OC的垂直平分线上，
∵A点横坐标为3，
∴$OC=2×3=6$，此时点$C$的坐标为$(6,0)$；
③当$AC=OC$时，点$C$在线段$OA$的垂直平分线上，过点$A$作$AD⊥ x$轴，垂足为$D$。
由题意得$OD=3$，$AD=4$，设$OC=q$，则$AC=q$，$CD=q-3$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$4^2+(q-3)^2=q^2$，化简得$6q=25$，解得$q=\frac{25}{6}$，
此时点$C$的坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}x+3}$；
(2) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(5,0)}$、$\boldsymbol{(-5,0)}$、$\boldsymbol{(6,0)}$、$\boldsymbol{(\frac{25}{6},0)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合典型题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础技能，又通过等腰三角形存在性问题考查了分类讨论的数学思想，解题时要注意按顶角顶点的不同分情况计算，避免漏解，计算时可结合勾股定理建立方程求解未知量。
【难度系数】
0.6
