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3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+1(k≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象大致是（
C
）。答案
3. C
解析
【分析】
解题时先从已知确定的条件入手：一次函数$y=kx+1$的常数项为1，可先判断它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别验证一次函数、反比例函数的图象特征是否匹配，最终选出正确选项。
【解析】
第一步：分析一次函数与y轴的交点
对于一次函数$y=kx+1$，令$x=0$，得$y=1$，因此一次函数图象恒过点$(0,1)$，与y轴交于正半轴。观察选项，B、D中一次函数与y轴交于负半轴，直接排除B、D。
第二步：分类讨论参数$k$的正负
① 若$k＞0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且截距为正，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，图象分布在第一、三象限，对应选项C的图象符合特征。
② 若$k＜0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且截距为正，图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，图象应分布在第二、四象限，但选项A中反比例函数在第一、三象限，不符合，排除A。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题时优先利用函数表达式中确定的常数项缩小可选范围，再结合参数的正负分类验证两个函数图象的匹配性，能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知确定的条件入手：一次函数$y=kx+1$的常数项为1，可先判断它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；再分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别验证一次函数、反比例函数的图象特征是否匹配，最终选出正确选项。
【解析】
第一步：分析一次函数与y轴的交点
对于一次函数$y=kx+1$，令$x=0$，得$y=1$，因此一次函数图象恒过点$(0,1)$，与y轴交于正半轴。观察选项，B、D中一次函数与y轴交于负半轴，直接排除B、D。
第二步：分类讨论参数$k$的正负
① 若$k＞0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且截距为正，图象经过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，图象分布在第一、三象限，对应选项C的图象符合特征。
② 若$k＜0$：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且截距为正，图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，图象应分布在第二、四象限，但选项A中反比例函数在第一、三象限，不符合，排除A。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题时优先利用函数表达式中确定的常数项缩小可选范围，再结合参数的正负分类验证两个函数图象的匹配性，能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 如图27.2-3，点P是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的一点，$PF⊥ x$轴，垂足为F，且$\mathrm{Rt}△ POF$的面积为4。若点$B(-2,m)$也是该图象上的一点，则$m$的值为（
A.$-2$
B.$-4$
C.$2$
D.$4$
图27.2-3
图27.2-4
D
）。A.$-2$
B.$-4$
C.$2$
D.$4$
图27.2-3
图27.2-4
答案
4. D
解析
【分析】
解题可分三步进行：第一步，回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$，结合已知的$\mathrm{Rt}△POF$的面积求出$|k|$；第二步，根据函数图象所在象限确定k的符号，得到k的具体值，确定反比例函数解析式；第三步，将点B的坐标代入解析式，即可求出m的值。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义，可得$\mathrm{Rt}△POF$的面积$S=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S=4$，代入得$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
结合图象可知反比例函数图象经过第二、四象限，因此$k＜0$，即$k=-8$，反比例函数解析式为$y=\frac{-8}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入解析式，得$m=\frac{-8}{-2}=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考点是k的几何意义，这类题型是反比例函数章节的常考题型，熟练掌握k的几何意义和图象上点的坐标满足函数解析式的特点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步进行：第一步，回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$，结合已知的$\mathrm{Rt}△POF$的面积求出$|k|$；第二步，根据函数图象所在象限确定k的符号，得到k的具体值，确定反比例函数解析式；第三步，将点B的坐标代入解析式，即可求出m的值。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义，可得$\mathrm{Rt}△POF$的面积$S=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S=4$，代入得$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
结合图象可知反比例函数图象经过第二、四象限，因此$k＜0$，即$k=-8$，反比例函数解析式为$y=\frac{-8}{x}$。
将点$B(-2,m)$代入解析式，得$m=\frac{-8}{-2}=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考点是k的几何意义，这类题型是反比例函数章节的常考题型，熟练掌握k的几何意义和图象上点的坐标满足函数解析式的特点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图27.2-4，点A在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，点B在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，且$AB// x$轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（
A.4
B.6
C.8
D.12
C
）。A.4
B.6
C.8
D.12
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先抓住两个关键条件：一是AB//x轴，说明点A和点B的纵坐标相等；二是四边形ABCD是矩形，说明矩形的一边AB平行于x轴，另一边AD垂直于x轴，高等于A、B点的纵坐标大小。我们可以设出A、B点的纵坐标为参数，利用反比例函数解析式表示出A、B的横坐标，求出AB的长度，再结合矩形面积公式计算，计算过程中参数会被消去，不需要求出参数的具体值。
【解析】
设点A的纵坐标为$ k $（$ k＞0 $），
因为$ AB // x $轴，所以点B的纵坐标也为$ k $。
将$ y=k $代入$ y=\frac{4}{x} $，得$ x=\frac{4}{k} $，即点A的横坐标为$ \frac{4}{k} $；
将$ y=k $代入$ y=\frac{12}{x} $，得$ x=\frac{12}{k} $，即点B的横坐标为$ \frac{12}{k} $。
所以AB的长度为：$ \frac{12}{k} - \frac{4}{k} = \frac{8}{k} $。
因为四边形ABCD是矩形，所以矩形的高等于纵坐标的长度$ k $，
则矩形ABCD的面积$ S = AB × k = \frac{8}{k} × k = 8 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是利用平行于x轴的点纵坐标相等的特征设参数，结合反比例函数上点的坐标满足函数解析式的性质表示出线段长度，通过参数抵消直接求出面积，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住两个关键条件：一是AB//x轴，说明点A和点B的纵坐标相等；二是四边形ABCD是矩形，说明矩形的一边AB平行于x轴，另一边AD垂直于x轴，高等于A、B点的纵坐标大小。我们可以设出A、B点的纵坐标为参数，利用反比例函数解析式表示出A、B的横坐标，求出AB的长度，再结合矩形面积公式计算，计算过程中参数会被消去，不需要求出参数的具体值。
【解析】
设点A的纵坐标为$ k $（$ k＞0 $），
因为$ AB // x $轴，所以点B的纵坐标也为$ k $。
将$ y=k $代入$ y=\frac{4}{x} $，得$ x=\frac{4}{k} $，即点A的横坐标为$ \frac{4}{k} $；
将$ y=k $代入$ y=\frac{12}{x} $，得$ x=\frac{12}{k} $，即点B的横坐标为$ \frac{12}{k} $。
所以AB的长度为：$ \frac{12}{k} - \frac{4}{k} = \frac{8}{k} $。
因为四边形ABCD是矩形，所以矩形的高等于纵坐标的长度$ k $，
则矩形ABCD的面积$ S = AB × k = \frac{8}{k} × k = 8 $。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，矩形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是利用平行于x轴的点纵坐标相等的特征设参数，结合反比例函数上点的坐标满足函数解析式的性质表示出线段长度，通过参数抵消直接求出面积，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
6. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数$y=-3x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象有
0
个公共点.答案
6. 0
解析
【分析】
要判断两个函数图象的公共点个数，有两种常用思路：①先分别分析两个函数图象所在的象限，若象限没有重叠，则没有公共点；②联立两个函数的解析式，消去一个未知数后转化为一元方程，根据方程实数解的个数判断交点个数。本题中，先回忆正比例、反比例函数的图象性质：正比例函数y=kx（k≠0），k＜0时图象过第二、四象限；反比例函数y=k/x（k≠0），k＞0时图象过第一、三象限，二者所在象限完全不重合，即可初步判断无交点，也可联立方程验证结论。
【解析】
方法一：根据函数图象所在象限判断
正比例函数$y=-3x$中，比例系数$-3＜0$，因此其图象经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象位于第一、三象限；
两个函数的图象没有共同经过的象限，因此没有公共点，公共点个数为0。
方法二：联立方程判断
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=-3x \\ y=\frac{k}{x} \end{cases}$
将$y=-3x$代入$y=\frac{k}{x}$，得：$-3x=\frac{k}{x}$
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$3x^2=-k$
已知$k＞0$，因此等式右边$-k＜0$，而在实数范围内$x^2≥0$，即$3x^2≥0$，方程无实数解，因此两个函数图象没有公共点，公共点个数为0。
【答案】
0
【知识点】
1.正比例函数的性质
2.反比例函数的性质
3.函数交点的求解
【点评】
本题是正反比例函数的基础题型，既可以通过两类函数的图象分布规律快速判断，也可以通过联立方程的方法严谨推导，解题的关键是熟练掌握正反比例函数的图象与性质。
【难度系数】
0.8
要判断两个函数图象的公共点个数，有两种常用思路：①先分别分析两个函数图象所在的象限，若象限没有重叠，则没有公共点；②联立两个函数的解析式，消去一个未知数后转化为一元方程，根据方程实数解的个数判断交点个数。本题中，先回忆正比例、反比例函数的图象性质：正比例函数y=kx（k≠0），k＜0时图象过第二、四象限；反比例函数y=k/x（k≠0），k＞0时图象过第一、三象限，二者所在象限完全不重合，即可初步判断无交点，也可联立方程验证结论。
【解析】
方法一：根据函数图象所在象限判断
正比例函数$y=-3x$中，比例系数$-3＜0$，因此其图象经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象位于第一、三象限；
两个函数的图象没有共同经过的象限，因此没有公共点，公共点个数为0。
方法二：联立方程判断
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases} y=-3x \\ y=\frac{k}{x} \end{cases}$
将$y=-3x$代入$y=\frac{k}{x}$，得：$-3x=\frac{k}{x}$
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$3x^2=-k$
已知$k＞0$，因此等式右边$-k＜0$，而在实数范围内$x^2≥0$，即$3x^2≥0$，方程无实数解，因此两个函数图象没有公共点，公共点个数为0。
【答案】
0
【知识点】
1.正比例函数的性质
2.反比例函数的性质
3.函数交点的求解
【点评】
本题是正反比例函数的基础题型，既可以通过两类函数的图象分布规律快速判断，也可以通过联立方程的方法严谨推导，解题的关键是熟练掌握正反比例函数的图象与性质。
【难度系数】
0.8
7. 如图27.2-5，一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象相交于A(2，m)和B(-4，n)两点.
（1）求m，n，k的值；
（2）当$y_1＞y_2$时，写出x的取值范围.
（1）求m，n，k的值；
（2）当$y_1＞y_2$时，写出x的取值范围.
答案
7. 解：（1）
∵一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象过A(2，m)，B(-4，n)两点，
∴$m=\frac{1}{2}×2+1=2$，$n=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$.
∴点A的坐标为(2，2).
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象经过点A(2，2)，
∴$k=2×2=4$.
（2）由题图可知，当$y_1＞y_2$时，$-4＜x＜0$或$x＞2$.
∵一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象过A(2，m)，B(-4，n)两点，
∴$m=\frac{1}{2}×2+1=2$，$n=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$.
∴点A的坐标为(2，2).
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象经过点A(2，2)，
∴$k=2×2=4$.
（2）由题图可知，当$y_1＞y_2$时，$-4＜x＜0$或$x＞2$.
解析
【分析】
（1）求m、n的值时，因为A、B两点都在一次函数图象上，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两点的横坐标分别代入一次函数解析式即可计算得到m、n；再把求出的A点坐标代入反比例函数解析式，就能算出k的值。
（2）求y₁＞y₂时x的取值范围，可通过数形结合分析：一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应的x的范围就是所求范围，结合两个交点的坐标，注意反比例函数x≠0，分x＜0和x＞0两个区间分析即可。
【解析】
（1）
∵一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象经过A(2，m)，B(-4，n)两点，
∴将x=2代入一次函数解析式，得$m=\frac{1}{2}×2+1=2$；
将x=-4代入一次函数解析式，得$n=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$。
∴点A的坐标为(2，2)。
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象经过点A(2，2)，
∴将A点坐标代入反比例函数解析式，得$k=2×2=4$。
（2）观察图象可得，两个交点的横坐标分别为-4和2，反比例函数图象在x=0处断开：
当-4＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足y₁＞y₂；
当x＞2时，一次函数图象也在反比例函数图象上方，满足y₁＞y₂；
因此y₁＞y₂时x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
（1）$m=2$，$n=-1$，$k=4$；
（2）$-4＜x＜0$或$x＞2$
【知识点】
一次函数点坐标特征；反比例函数k的求法；图象法比函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数图象上点的坐标和解析式的对应关系，又考查了数形结合思想的应用，掌握用图象判断函数值大小的方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
（1）求m、n的值时，因为A、B两点都在一次函数图象上，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两点的横坐标分别代入一次函数解析式即可计算得到m、n；再把求出的A点坐标代入反比例函数解析式，就能算出k的值。
（2）求y₁＞y₂时x的取值范围，可通过数形结合分析：一次函数图象在反比例函数图象上方的区域对应的x的范围就是所求范围，结合两个交点的坐标，注意反比例函数x≠0，分x＜0和x＞0两个区间分析即可。
【解析】
（1）
∵一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象经过A(2，m)，B(-4，n)两点，
∴将x=2代入一次函数解析式，得$m=\frac{1}{2}×2+1=2$；
将x=-4代入一次函数解析式，得$n=\frac{1}{2}×(-4)+1=-1$。
∴点A的坐标为(2，2)。
∵反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象经过点A(2，2)，
∴将A点坐标代入反比例函数解析式，得$k=2×2=4$。
（2）观察图象可得，两个交点的横坐标分别为-4和2，反比例函数图象在x=0处断开：
当-4＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象上方，满足y₁＞y₂；
当x＞2时，一次函数图象也在反比例函数图象上方，满足y₁＞y₂；
因此y₁＞y₂时x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
（1）$m=2$，$n=-1$，$k=4$；
（2）$-4＜x＜0$或$x＞2$
【知识点】
一次函数点坐标特征；反比例函数k的求法；图象法比函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数图象上点的坐标和解析式的对应关系，又考查了数形结合思想的应用，掌握用图象判断函数值大小的方法是解题核心。
【难度系数】
0.7
