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如图27.2-1，在平面直角坐标系中，点A在函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，$AC⊥x$轴，垂足为C，连接OA，则△OAC的面积为
1
.答案
1. 1
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义相关知识，我们可以先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数图象上的性质得到横、纵坐标的乘积，再结合直角三角形面积公式代入计算即可。也可以直接利用结论：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴的垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，直接代入k的值计算。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入解析式得$xy=2$，
∵$AC⊥x$轴，
∴$OC=x$，$AC=y$，$△ OAC$为直角三角形，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} · OC · AC = \frac{1}{2}xy$，
将$xy=2$代入得：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数中系数k的几何意义的应用，熟练掌握相关结论可以快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义相关知识，我们可以先设出点A的坐标，利用点A在反比例函数图象上的性质得到横、纵坐标的乘积，再结合直角三角形面积公式代入计算即可。也可以直接利用结论：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴的垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，直接代入k的值计算。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入解析式得$xy=2$，
∵$AC⊥x$轴，
∴$OC=x$，$AC=y$，$△ OAC$为直角三角形，
∴$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} · OC · AC = \frac{1}{2}xy$，
将$xy=2$代入得：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数中系数k的几何意义的应用，熟练掌握相关结论可以快速得出答案，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9
1. 反比例函数的图象如图27.2-2所示，它的函数解析式是（
A.$y=5x$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=-\frac{1}{x}$
D.$y=-\frac{2}{x}$
D
）。A.$y=5x$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=-\frac{1}{x}$
D.$y=-\frac{2}{x}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题可按三步推进：第一步先识别函数类型，排除不属于反比例函数的选项；第二步根据反比例函数图象所在象限判断比例系数$k$的符号，排除$k$符号不符合的选项；第三步将图象上标注的已知点坐标代入剩余选项验证，即可快速得到正确答案。首先回忆反比例函数形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可先排除一次函数选项；其次图象在第二、四象限，说明$k＜0$，可排除$k$为正数的选项；最后代入点$(2,-1)$验证剩余选项即可。
【解析】
1. 排除非反比例函数选项：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），选项A$y=5x$是正比例函数，不符合要求，排除A。
2. 根据图象象限判断$k$的符号：该反比例函数图象分布在第二、四象限，可得$k＜0$，选项B中$k=2＞0$，不符合性质，排除B。
3. 代入已知点验证：由图象可知函数过点$(2,-1)$，将$x=2$分别代入剩余选项：
代入选项C：$y=-\frac{1}{2}$，与点的纵坐标$-1$不符，排除C；
代入选项D：$y=-\frac{2}{2}=-1$，与点坐标完全吻合。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的常规基础题，解题时结合排除法和代入验证法，能快速缩小选择范围，降低解题难度，很好地考查了反比例函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推进：第一步先识别函数类型，排除不属于反比例函数的选项；第二步根据反比例函数图象所在象限判断比例系数$k$的符号，排除$k$符号不符合的选项；第三步将图象上标注的已知点坐标代入剩余选项验证，即可快速得到正确答案。首先回忆反比例函数形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，可先排除一次函数选项；其次图象在第二、四象限，说明$k＜0$，可排除$k$为正数的选项；最后代入点$(2,-1)$验证剩余选项即可。
【解析】
1. 排除非反比例函数选项：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），选项A$y=5x$是正比例函数，不符合要求，排除A。
2. 根据图象象限判断$k$的符号：该反比例函数图象分布在第二、四象限，可得$k＜0$，选项B中$k=2＞0$，不符合性质，排除B。
3. 代入已知点验证：由图象可知函数过点$(2,-1)$，将$x=2$分别代入剩余选项：
代入选项C：$y=-\frac{1}{2}$，与点的纵坐标$-1$不符，排除C；
代入选项D：$y=-\frac{2}{2}=-1$，与点坐标完全吻合。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的常规基础题，解题时结合排除法和代入验证法，能快速缩小选择范围，降低解题难度，很好地考查了反比例函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=kx - k$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象大致是（
A
）。答案
2. A
解析
【分析】要判断两个函数的图象是否匹配，需分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论：先根据$k$的正负确定反比例函数所在的象限，再结合一次函数的斜率和$y$轴截距判断一次函数经过的象限，找到两个函数对$k$的正负要求一致的选项即可。
【解析】对参数$k$的正负分类讨论：
① 若$k＞0$：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，$y$轴截距为$-k＜0$，因此一次函数图象过第一、三、四象限，没有选项符合该特征。
② 若$k＜0$：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，$y$轴截距为$-k＞0$，因此一次函数图象过第一、二、四象限，仅选项A符合该特征。
综上，本题选A。
【答案】A
【知识点】反比例函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】本题是函数图象判断的常规题型，重点考查两类函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论逐一排除矛盾选项即可解题，熟练掌握函数图象的性质是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】对参数$k$的正负分类讨论：
① 若$k＞0$：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＞0$，$y$轴截距为$-k＜0$，因此一次函数图象过第一、三、四象限，没有选项符合该特征。
② 若$k＜0$：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-k$中，斜率$k＜0$，$y$轴截距为$-k＞0$，因此一次函数图象过第一、二、四象限，仅选项A符合该特征。
综上，本题选A。
【答案】A
【知识点】反比例函数图象性质；一次函数图象性质；分类讨论思想
【点评】本题是函数图象判断的常规题型，重点考查两类函数图象与系数的对应关系，通过分类讨论逐一排除矛盾选项即可解题，熟练掌握函数图象的性质是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
