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4. 函数$y=ax$与$y=ax^2$（$a≠0$）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（
B
）。答案
4. B
解析
【分析】
要判断同参数$a$的正比例函数$y=ax$和二次函数$y=ax^2$的图象是否匹配，可分两步思考：首先，$y=ax^2$的顶点必为原点，可先排除顶点不符合的选项；其次，两个函数的参数$a$符号一致，可分别根据抛物线开口方向、直线经过的象限判断$a$的符号是否统一，进而选出正确选项。
【解析】
1. 先明确两个函数的图象特征：
正比例函数$y=ax$的图象是过原点的直线：$a＞0$时经过第一、三象限，$a＜0$时经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是抛物线：顶点为原点$(0,0)$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
2. 排除不符合二次函数顶点特征的选项：
A、D选项中抛物线的顶点在$y$轴正半轴，不是原点，不符合$y=ax^2$的图象特征，故排除A、D。
3. 验证剩余选项的参数$a$符号是否一致：
C选项：抛物线开口向上，说明$a＞0$；但直线经过第二、四象限，说明$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除C。
B选项：抛物线开口向下，说明$a＜0$；直线经过第二、四象限，说明$a＜0$，$a$的符号一致，且两个函数均过原点，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象；二次函数的图象；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象识别的基础题型，解题核心是抓住两个函数共用参数$a$的特点，同时牢记二次函数$y=ax^2$顶点在原点的特性，可快速缩小选择范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要判断同参数$a$的正比例函数$y=ax$和二次函数$y=ax^2$的图象是否匹配，可分两步思考：首先，$y=ax^2$的顶点必为原点，可先排除顶点不符合的选项；其次，两个函数的参数$a$符号一致，可分别根据抛物线开口方向、直线经过的象限判断$a$的符号是否统一，进而选出正确选项。
【解析】
1. 先明确两个函数的图象特征：
正比例函数$y=ax$的图象是过原点的直线：$a＞0$时经过第一、三象限，$a＜0$时经过第二、四象限；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是抛物线：顶点为原点$(0,0)$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
2. 排除不符合二次函数顶点特征的选项：
A、D选项中抛物线的顶点在$y$轴正半轴，不是原点，不符合$y=ax^2$的图象特征，故排除A、D。
3. 验证剩余选项的参数$a$符号是否一致：
C选项：抛物线开口向上，说明$a＞0$；但直线经过第二、四象限，说明$a＜0$，$a$的符号矛盾，排除C。
B选项：抛物线开口向下，说明$a＜0$；直线经过第二、四象限，说明$a＜0$，$a$的符号一致，且两个函数均过原点，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象；二次函数的图象；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象识别的基础题型，解题核心是抓住两个函数共用参数$a$的特点，同时牢记二次函数$y=ax^2$顶点在原点的特性，可快速缩小选择范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
5. 在同一平面直角坐标系中画出$y_1=2x^2$，$y_2=-2x^2$，$y_3=\frac{1}{2}x^2$的图象，正确的是（
D
）。答案
5. D
解析
【分析】
要判断三个二次函数的图象，需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步分析：首先由$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再由$|a|$的大小判断开口宽窄，最终确定正确选项。
首先看三个函数的$a$值：$y_1=2x^2$的$a=2＞0$，开口向上；$y_2=-2x^2$的$a=-2＜0$，开口向下；$y_3=\frac{1}{2}x^2$的$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。因此图象应有2个开口向上、1个开口向下，可先排除只有1个向上的B和全部向上的C。
再比较两个开口向上的函数：$|a|$越大开口越窄，$|2|＞|\frac{1}{2}|$，因此$y_1$的开口比$y_3$更窄（更陡），更靠近$y$轴，A选项中向上的图象里更陡的是$y_3$，不符合要求，排除A即可得到答案。
【解析】
1. 判断开口方向：
对于二次函数$y=ax^2$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下：
$y_1=2x^2$中$a=2＞0$，开口向上；
$y_2=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下；
$y_3=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。
因此图象有2条开口向上、1条开口向下，排除B、C选项。
2. 判断开口宽窄：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，开口越窄：
$y_1$的$|a|=2$，$y_3$的$|a|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y_1$的开口比$y_3$更窄、更靠近$y$轴。
A选项中向上的图象里更陡的是$y_3$，不符合性质；D选项中向上的$y_1$更陡，$y_3$更平缓，向下的$y_2$开口宽度与$y_1$一致，符合性质。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，牢记$a$的符号决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄是解题的核心，属于二次函数图象的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断三个二次函数的图象，需结合二次函数$y=ax^2$的图象性质逐步分析：首先由$a$的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再由$|a|$的大小判断开口宽窄，最终确定正确选项。
首先看三个函数的$a$值：$y_1=2x^2$的$a=2＞0$，开口向上；$y_2=-2x^2$的$a=-2＜0$，开口向下；$y_3=\frac{1}{2}x^2$的$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。因此图象应有2个开口向上、1个开口向下，可先排除只有1个向上的B和全部向上的C。
再比较两个开口向上的函数：$|a|$越大开口越窄，$|2|＞|\frac{1}{2}|$，因此$y_1$的开口比$y_3$更窄（更陡），更靠近$y$轴，A选项中向上的图象里更陡的是$y_3$，不符合要求，排除A即可得到答案。
【解析】
1. 判断开口方向：
对于二次函数$y=ax^2$，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下：
$y_1=2x^2$中$a=2＞0$，开口向上；
$y_2=-2x^2$中$a=-2＜0$，开口向下；
$y_3=\frac{1}{2}x^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上。
因此图象有2条开口向上、1条开口向下，排除B、C选项。
2. 判断开口宽窄：
二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越大，开口越窄：
$y_1$的$|a|=2$，$y_3$的$|a|=\frac{1}{2}$，$2＞\frac{1}{2}$，因此$y_1$的开口比$y_3$更窄、更靠近$y$轴。
A选项中向上的图象里更陡的是$y_3$，不符合性质；D选项中向上的$y_1$更陡，$y_3$更平缓，向下的$y_2$开口宽度与$y_1$一致，符合性质。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，牢记$a$的符号决定开口方向、$|a|$的大小决定开口宽窄是解题的核心，属于二次函数图象的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 点A(-3，b)是抛物线$y=x^2$上的一点，则$b=$
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
解题的核心依据是：如果一个点在某函数的图象上，那么该点的横、纵坐标满足这个函数的解析式。本题已知点A在抛物线y=x²上，我们只需把点A的横坐标x=-3代入抛物线的解析式，计算得到的y值就是b的值。
【解析】
解：
∵点A(-3，b)在抛物线$y=x^2$上
∴将x=-3，y=b代入解析式$y=x^2$得：
$b=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、代入法求函数值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，考查对函数图象与解析式对应关系的理解，计算量小，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是：如果一个点在某函数的图象上，那么该点的横、纵坐标满足这个函数的解析式。本题已知点A在抛物线y=x²上，我们只需把点A的横坐标x=-3代入抛物线的解析式，计算得到的y值就是b的值。
【解析】
解：
∵点A(-3，b)在抛物线$y=x^2$上
∴将x=-3，y=b代入解析式$y=x^2$得：
$b=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、代入法求函数值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，考查对函数图象与解析式对应关系的理解，计算量小，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且其图象开口向上，则$m=$
1
。答案
7. 1
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分步分析：首先，二次函数需满足两个基本条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0；其次，图象开口向上说明二次项系数大于0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数的限制条件筛选出符合要求的m即可。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且图象开口向上
∴需同时满足以下三个条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2+m=2$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$
3. 开口向上则二次项系数为正：$m+1＞0$
先解方程$m^2+m=2$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
再结合系数条件：$m+1＞0$即$m＞-1$，排除$m=-2$，同时满足$m+1≠0$的要求。
综上，$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0以及开口方向对系数的限制，求解后一定要代入条件验证，避免多解错选。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，需结合二次函数的定义和图象性质分步分析：首先，二次函数需满足两个基本条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0；其次，图象开口向上说明二次项系数大于0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再结合二次项系数的限制条件筛选出符合要求的m即可。
【解析】
∵函数$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且图象开口向上
∴需同时满足以下三个条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2+m=2$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$
3. 开口向上则二次项系数为正：$m+1＞0$
先解方程$m^2+m=2$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
再结合系数条件：$m+1＞0$即$m＞-1$，排除$m=-2$，同时满足$m+1≠0$的要求。
综上，$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0以及开口方向对系数的限制，求解后一定要代入条件验证，避免多解错选。
【难度系数】
0.75
8. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着$x$的增大，$y$的变化情况.
(1) $y=\frac{2}{3}x^2$；
(2) $y=-6x^2$.
(1) $y=\frac{2}{3}x^2$；
(2) $y=-6x^2$.
答案
8. 解：(1) 抛物线 $y=\frac{2}{3}x^2$ 的开口向上，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(2) 抛物线 $y=-6x^2$ 的开口向下，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
(2) 抛物线 $y=-6x^2$ 的开口向下，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步，形如$y=ax^2$的抛物线对称轴固定为$y$轴，顶点为原点；第三步根据开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；开口向下时增减性相反。
【解析】
(1) 对于$y=\frac{2}{3}x^2$，二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此开口向上；该函数属于$y=ax^2$的最简形式，对称轴为$y$轴，顶点为原点；结合开口方向可得：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 对于$y=-6x^2$，二次项系数$a=-6＜0$，因此开口向下；同样属于$y=ax^2$的形式，对称轴为$y$轴，顶点为原点；结合开口方向可得：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 抛物线 $y=\frac{2}{3}x^2$ 的开口向上，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(2) 抛物线 $y=-6x^2$ 的开口向下，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、抛物线增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查最简二次函数的图象特征与变化规律，牢记二次项系数对开口方向的影响，以及$y=ax^2$的固定对称轴、顶点是解题核心，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，解题思路如下：第一步先确定二次项系数$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步，形如$y=ax^2$的抛物线对称轴固定为$y$轴，顶点为原点；第三步根据开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大；开口向下时增减性相反。
【解析】
(1) 对于$y=\frac{2}{3}x^2$，二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此开口向上；该函数属于$y=ax^2$的最简形式，对称轴为$y$轴，顶点为原点；结合开口方向可得：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 对于$y=-6x^2$，二次项系数$a=-6＜0$，因此开口向下；同样属于$y=ax^2$的形式，对称轴为$y$轴，顶点为原点；结合开口方向可得：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 抛物线 $y=\frac{2}{3}x^2$ 的开口向上，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
(2) 抛物线 $y=-6x^2$ 的开口向下，对称轴是 $y$ 轴，顶点是原点. 当 $x＜0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
【知识点】
二次函数y=ax²的性质、抛物线增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查最简二次函数的图象特征与变化规律，牢记二次项系数对开口方向的影响，以及$y=ax^2$的固定对称轴、顶点是解题核心，属于必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
9. 已知抛物线$y=4x^2$经过$(-2,y_1)$，$(0,y_2)$，$(1,y_3)$三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是
$y_1＞y_3＞y_2$（或$y_2＜y_3＜y_1$）
。答案
9. $y_1＞y_3＞y_2$（或$y_2＜y_3＜y_1$）
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将三点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值再比较；二是利用二次函数的性质判断：抛物线$y=4x^2$的$a=4＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），此时抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三点横坐标到对称轴的距离即可快速比较函数值大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式$y=4x^2$：
当$x=-2$时，$y_1=4×(-2)^2=4×4=16$；
当$x=0$时，$y_2=4×0^2=0$；
当$x=1$时，$y_3=4×1^2=4×1=4$；
因为$16＞4＞0$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
方法二（性质判断法）：
抛物线$y=4x^2$中，$a=4＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$，开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大。
三点横坐标到对称轴$x=0$的距离分别为：$|-2-0|=2$，$|0-0|=0$，$|1-0|=1$，
因为$2＞1＞0$，所以对应的函数值$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$（或$y_2＜y_3＜y_1$）
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征；实数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以结合函数图象性质快速判断，有助于理解二次函数图象上点的坐标与函数性质的对应关系。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接将三点横坐标代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值再比较；二是利用二次函数的性质判断：抛物线$y=4x^2$的$a=4＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），此时抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三点横坐标到对称轴的距离即可快速比较函数值大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将三点横坐标分别代入抛物线解析式$y=4x^2$：
当$x=-2$时，$y_1=4×(-2)^2=4×4=16$；
当$x=0$时，$y_2=4×0^2=0$；
当$x=1$时，$y_3=4×1^2=4×1=4$；
因为$16＞4＞0$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
方法二（性质判断法）：
抛物线$y=4x^2$中，$a=4＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$，开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大。
三点横坐标到对称轴$x=0$的距离分别为：$|-2-0|=2$，$|0-0|=0$，$|1-0|=1$，
因为$2＞1＞0$，所以对应的函数值$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$（或$y_2＜y_3＜y_1$）
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征；实数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题方法灵活，既可以通过代入计算直接比较，也可以结合函数图象性质快速判断，有助于理解二次函数图象上点的坐标与函数性质的对应关系。
【难度系数】
0.8
10. 对于二次函数$y=-2x^2$，当$-2≤ x≤1$时，$y$的取值范围是
$-8≤y≤0$
。答案
10. $-8≤y≤0$
解析
【分析】
要确定二次函数在给定区间内y的取值范围，首先分析二次函数的基本性质：该函数是顶点在原点、开口向下的抛物线，对称轴为y轴（x=0）。对于开口向下的抛物线，顶点处取得最大值，离对称轴越远的点函数值越小。接下来只需计算顶点处的函数值（最大值），再比较区间两个端点到对称轴的距离，算出最小的函数值，即可得到y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2$：
1. 判定开口方向与对称轴：$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$，顶点是抛物线的最高点，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=0$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)^2=-8$；
当$x=1$时，$y=-2×1^2=-2$。
3. 确定最小值：$\because -8＜-2$，$\therefore$ 在$-2\le x\le1$范围内，$y$的最小值为$-8$。
综上，$y$的取值范围是$-8\le y\le0$。
【答案】
$-8≤y≤0$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数的最值求解
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的取值范围计算，解题的核心是先明确抛物线的开口方向和对称轴，不要直接代入区间端点计算最值，要结合顶点的位置和区间内点到对称轴的距离判断最值的取值点，避免忽略顶点处的极值。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数在给定区间内y的取值范围，首先分析二次函数的基本性质：该函数是顶点在原点、开口向下的抛物线，对称轴为y轴（x=0）。对于开口向下的抛物线，顶点处取得最大值，离对称轴越远的点函数值越小。接下来只需计算顶点处的函数值（最大值），再比较区间两个端点到对称轴的距离，算出最小的函数值，即可得到y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2$：
1. 判定开口方向与对称轴：$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,0)$，顶点是抛物线的最高点，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=0$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)^2=-8$；
当$x=1$时，$y=-2×1^2=-2$。
3. 确定最小值：$\because -8＜-2$，$\therefore$ 在$-2\le x\le1$范围内，$y$的最小值为$-8$。
综上，$y$的取值范围是$-8\le y\le0$。
【答案】
$-8≤y≤0$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数的最值求解
【点评】
本题考查二次函数在闭区间上的取值范围计算，解题的核心是先明确抛物线的开口方向和对称轴，不要直接代入区间端点计算最值，要结合顶点的位置和区间内点到对称轴的距离判断最值的取值点，避免忽略顶点处的极值。
【难度系数】
0.7
