登录
11. 已知抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2,-8)$.
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）判断点$B(-1,-4)$是否在此抛物线上；
（3）求出抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标.
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）判断点$B(-1,-4)$是否在此抛物线上；
（3）求出抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标.
答案
解：（1）
∵抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2, -8)$，
∴把点$A(-2, -8)$代入抛物线$y=ax^2$，得$-8=4a$。
∴$a=-2$。
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）
∵当$x=-1$时，
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$，
∴点$B(-1, -4)$不在此抛物线上。
（3）
∵纵坐标为$-18$，
∴把$y=-18$代入$y=-2x^2$，得$-18=-2x^2$。
∴$x=±3$。
∴此抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标为$(3, -18)$或$(-3, -18)$。
∵抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2, -8)$，
∴把点$A(-2, -8)$代入抛物线$y=ax^2$，得$-8=4a$。
∴$a=-2$。
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）
∵当$x=-1$时，
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$，
∴点$B(-1, -4)$不在此抛物线上。
（3）
∵纵坐标为$-18$，
∴把$y=-18$代入$y=-2x^2$，得$-18=-2x^2$。
∴$x=±3$。
∴此抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标为$(3, -18)$或$(-3, -18)$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含一个未知系数$a$，因此使用待定系数法，将点$A$的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$，进而得到完整的函数解析式。
（2）判断点是否在抛物线上，只需将该点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应纵坐标，与已知点的纵坐标对比，若相等则点在抛物线上，反之则不在。
（3）已知抛物线上点的纵坐标求横坐标，直接将$y$的值代入解析式，解关于$x$的一元二次方程即可，注意平方运算的解有正负两个，不要漏解。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2, -8)$，
∴把点$A(-2, -8)$代入抛物线$y=ax^2$，得$-8=4a$，
解得$a=-2$，
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）当$x=-1$时，代入$y=-2x^2$得：
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$，
∴点$B(-1, -4)$不在此抛物线上。
（3）把$y=-18$代入$y=-2x^2$，得：
$-18=-2x^2$，
解得$x^2=9$，即$x=±3$，
∴此抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标为$(3, -18)$或$(-3, -18)$。
【答案】
（1）$y=-2x^2$；
（2）点$B(-1,-4)$不在此抛物线上；
（3）$(3, -18)$、$(-3, -18)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查代入法在二次函数问题中的应用，解题思路清晰，运算难度低，掌握二次函数的基本性质就能顺利解答，是巩固二次函数入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
（1）已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含一个未知系数$a$，因此使用待定系数法，将点$A$的坐标代入解析式，解关于$a$的一元一次方程即可求出$a$，进而得到完整的函数解析式。
（2）判断点是否在抛物线上，只需将该点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应纵坐标，与已知点的纵坐标对比，若相等则点在抛物线上，反之则不在。
（3）已知抛物线上点的纵坐标求横坐标，直接将$y$的值代入解析式，解关于$x$的一元二次方程即可，注意平方运算的解有正负两个，不要漏解。
【解析】
（1）
∵抛物线$y=ax^2$经过点$A(-2, -8)$，
∴把点$A(-2, -8)$代入抛物线$y=ax^2$，得$-8=4a$，
解得$a=-2$，
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
（2）当$x=-1$时，代入$y=-2x^2$得：
$y=-2×(-1)^2=-2≠-4$，
∴点$B(-1, -4)$不在此抛物线上。
（3）把$y=-18$代入$y=-2x^2$，得：
$-18=-2x^2$，
解得$x^2=9$，即$x=±3$，
∴此抛物线上纵坐标为$-18$的点的坐标为$(3, -18)$或$(-3, -18)$。
【答案】
（1）$y=-2x^2$；
（2）点$B(-1,-4)$不在此抛物线上；
（3）$(3, -18)$、$(-3, -18)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查代入法在二次函数问题中的应用，解题思路清晰，运算难度低，掌握二次函数的基本性质就能顺利解答，是巩固二次函数入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
12. 已知$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，且当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大.
（1）求$k$的值，并写出此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）在图26.2-1中画出该函数图象，并根据图象写出当$-2≤ x＜4$时，$y$的取值范围.
图26.2-1
（1）求$k$的值，并写出此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）在图26.2-1中画出该函数图象，并根据图象写出当$-2≤ x＜4$时，$y$的取值范围.
图26.2-1
答案
解：(1)
∵$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，
∴$k^2 +k -4=2$，且$k+2≠0$。
解方程，得$k_1=2$，$k_2=-3$。
∵当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴$k+2＜0$。
∴$k＜-2$。
∴$k=-3$。
∴$y=-x^2$。
∴此函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 列表如下：
| $x$ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2$ | … | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | … |
描点、连线，画出函数图象，如图所示：
当$x=4$时，$y=-16$。
由函数图象可得，当$-2≤x＜4$时，$y$的取值范围为$-16＜y≤0$。
解析
【分析】
（1）求解k值首先要利用二次函数的定义：自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求出k的可能取值；再结合“x＜0时y随x增大而增大”的性质判断二次函数开口向下，即二次项系数小于0，筛选出符合要求的k值，得到函数解析式后，直接根据y=ax²类二次函数的性质写出对称轴和顶点坐标。
（2）画二次函数图象遵循列表、描点、连线的步骤，选取关于y轴对称的x值计算对应y值即可；求-2≤x＜4时y的取值范围，需结合函数图象的增减性找到区间内的最值，注意x=4不在取值范围内，对应的y值也不可取。
【解析】
(1)
∵$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，
∴$\begin{cases}k^2 +k -4=2 \\ k+2≠ 0\end{cases}$，
整理方程得$k^2 +k -6=0$，因式分解为$(k+3)(k-2)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-3$，两个解均满足$k≠-2$。
∵当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数开口向下，
∴$k+2＜0$，即$k＜-2$，因此$k=-3$。
代入得函数解析式为$y=-x^2$，该函数图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 绘制函数图象：
①列表：
| $x$ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2$ | … | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | … |
②在坐标系中描点，用平滑曲线连接各点，得到图象：
求y的取值范围：
当$x=0$时，y取得最大值0；当$x=4$时，$y=-4^2=-16$，由于$x＜4$，因此$y＞-16$。
结合图象可得，当$-2≤x＜4$时，$y$的取值范围为$-16＜y≤0$。
【答案】
(1) $k=-3$，函数图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
(2) 函数图象如下：，当$-2≤x＜4$时，$y$的取值范围为$-16＜y≤0$。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数的图象与性质，函数图象的画法
【点评】
本题重点考查二次函数的基础性质应用，既需要掌握二次函数的定义、增减性等核心知识点，也需要具备数形结合分析函数值范围的能力，解题时要特别注意参数的取值限制和区间端点的取舍。
【难度系数】
0.7
（1）求解k值首先要利用二次函数的定义：自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求出k的可能取值；再结合“x＜0时y随x增大而增大”的性质判断二次函数开口向下，即二次项系数小于0，筛选出符合要求的k值，得到函数解析式后，直接根据y=ax²类二次函数的性质写出对称轴和顶点坐标。
（2）画二次函数图象遵循列表、描点、连线的步骤，选取关于y轴对称的x值计算对应y值即可；求-2≤x＜4时y的取值范围，需结合函数图象的增减性找到区间内的最值，注意x=4不在取值范围内，对应的y值也不可取。
【解析】
(1)
∵$y=(k+2)x^{k^2 +k -4}$是二次函数，
∴$\begin{cases}k^2 +k -4=2 \\ k+2≠ 0\end{cases}$，
整理方程得$k^2 +k -6=0$，因式分解为$(k+3)(k-2)=0$，解得$k_1=2$，$k_2=-3$，两个解均满足$k≠-2$。
∵当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，说明二次函数开口向下，
∴$k+2＜0$，即$k＜-2$，因此$k=-3$。
代入得函数解析式为$y=-x^2$，该函数图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 绘制函数图象：
①列表：
| $x$ | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2$ | … | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 | … |
②在坐标系中描点，用平滑曲线连接各点，得到图象：
求y的取值范围：
当$x=0$时，y取得最大值0；当$x=4$时，$y=-4^2=-16$，由于$x＜4$，因此$y＞-16$。
结合图象可得，当$-2≤x＜4$时，$y$的取值范围为$-16＜y≤0$。
【答案】
(1) $k=-3$，函数图象的对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
(2) 函数图象如下：
，当$-2≤x＜4$时，$y$的取值范围为$-16＜y≤0$。【知识点】
二次函数的定义，二次函数的图象与性质，函数图象的画法
【点评】
本题重点考查二次函数的基础性质应用，既需要掌握二次函数的定义、增减性等核心知识点，也需要具备数形结合分析函数值范围的能力，解题时要特别注意参数的取值限制和区间端点的取舍。
【难度系数】
0.7
