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1. 二次函数$y=ax^2 +k$的图象和性质：①当$a＞0$时，开口向
上
；当$a＜0$时，开口向下
.②对称轴是y轴
.③顶点是$(0,k)$
.答案
1. ①上 下 ②y轴 ③$(0, k)$
解析
【分析】
解决这道题需要回忆$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，思考路径如下：
1. 首先明确二次项系数$a$的作用：$a$的符号直接决定抛物线的开口方向，$a$为正开口向上，$a$为负开口向下；
2. 接着判断对称轴：解析式$y=ax^2+k$中不存在$x$的一次项，说明对称轴是$y$轴；
3. 最后求顶点坐标：顶点在对称轴上，把$x=0$代入解析式，就能得到对应的$y$值为$k$，因此顶点坐标是$(0,k)$。
【解析】
①二次函数的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下；
②$y=ax^2+k$的解析式中没有一次项，因此对称轴为$y$轴；
③将$x=0$代入解析式得$y=a×0^2 +k=k$，因此顶点坐标为$(0,k)$。
【答案】
①上 下 ②y轴 ③$(0, k)$
【知识点】
二次函数开口方向判断；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础概念题，主要考查$y=ax^2+k$型二次函数的核心性质，熟练掌握这些基础性质是学习更复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要回忆$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，思考路径如下：
1. 首先明确二次项系数$a$的作用：$a$的符号直接决定抛物线的开口方向，$a$为正开口向上，$a$为负开口向下；
2. 接着判断对称轴：解析式$y=ax^2+k$中不存在$x$的一次项，说明对称轴是$y$轴；
3. 最后求顶点坐标：顶点在对称轴上，把$x=0$代入解析式，就能得到对应的$y$值为$k$，因此顶点坐标是$(0,k)$。
【解析】
①二次函数的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下；
②$y=ax^2+k$的解析式中没有一次项，因此对称轴为$y$轴；
③将$x=0$代入解析式得$y=a×0^2 +k=k$，因此顶点坐标为$(0,k)$。
【答案】
①上 下 ②y轴 ③$(0, k)$
【知识点】
二次函数开口方向判断；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础概念题，主要考查$y=ax^2+k$型二次函数的核心性质，熟练掌握这些基础性质是学习更复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与$y=ax^2$的图象的关系：当$k＞0$时，把抛物线$y=ax^2$向
上
平移$|k|$
个单位长度，得到抛物线$y=ax^2+k$；当$k＜0$时，把抛物线$y=ax^2$向下
平移$|k|$
个单位长度，得到抛物线$y=ax^2+k$。答案
2. 上 $|k|$ 下 $|k|$
解析
【分析】
解题时首先回忆抛物线平移的核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。本题中两个二次函数的自变量部分完全相同，仅常数项有差异，因此属于上下平移的情况。接下来判断平移方向和距离：当k＞0时，同一x对应的函数值比y=ax²大，因此图像向上移动，平移单位为正数，取k的绝对值|k|；当k＜0时，同一x对应的函数值比y=ax²小，因此图像向下移动，平移单位为|k|。
【解析】
根据二次函数上下平移的规律推导：
1. 当k＞0时，对任意相同的x取值，y=ax²+k的函数值比y=ax²的函数值大k，因此把抛物线y=ax²向上平移|k|个单位长度，即可得到y=ax²+k的图像；
2. 当k＜0时，对任意相同的x取值，y=ax²+k的函数值比y=ax²的函数值小|k|，因此把抛物线y=ax²向下平移|k|个单位长度，即可得到y=ax²+k的图像。
【答案】
上；|k|；下；|k|
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数y=ax²与y=ax²+k的关系
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题，核心考查上下平移的规律，是后续学习复杂二次函数平移的基础，牢记“上加下减常数项”的口诀即可快速作答，注意平移单位长度为非负数，因此用k的绝对值表示。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆抛物线平移的核心规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。本题中两个二次函数的自变量部分完全相同，仅常数项有差异，因此属于上下平移的情况。接下来判断平移方向和距离：当k＞0时，同一x对应的函数值比y=ax²大，因此图像向上移动，平移单位为正数，取k的绝对值|k|；当k＜0时，同一x对应的函数值比y=ax²小，因此图像向下移动，平移单位为|k|。
【解析】
根据二次函数上下平移的规律推导：
1. 当k＞0时，对任意相同的x取值，y=ax²+k的函数值比y=ax²的函数值大k，因此把抛物线y=ax²向上平移|k|个单位长度，即可得到y=ax²+k的图像；
2. 当k＜0时，对任意相同的x取值，y=ax²+k的函数值比y=ax²的函数值小|k|，因此把抛物线y=ax²向下平移|k|个单位长度，即可得到y=ax²+k的图像。
【答案】
上；|k|；下；|k|
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数y=ax²与y=ax²+k的关系
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题，核心考查上下平移的规律，是后续学习复杂二次函数平移的基础，牢记“上加下减常数项”的口诀即可快速作答，注意平移单位长度为非负数，因此用k的绝对值表示。
【难度系数】
0.9
1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2 + k$（$a≠0$，$k＞0$）的图象可能是下图中的（
A
）。答案
1. A
解析
【分析】
解题时我们可以分两步筛选正确选项：第一步先根据二次函数解析式的特征判断对称轴，$y=ax^2+k$没有一次项，对称轴为y轴，据此可排除对称轴不是y轴的选项；第二步根据$k＞0$判断顶点位置，该函数顶点坐标为$(0,k)$，$k＞0$说明顶点在y轴正半轴，据此再排除不符合顶点位置的选项，即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 + k$：
1. 对称轴计算：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，解析式中一次项系数$b=0$，因此对称轴为$x=0$即y轴。观察选项，C、D的图象对称轴均不是y轴，故排除C、D。
2. 顶点位置判断：函数顶点坐标为$(0,k)$，已知$k＞0$，因此顶点位于y轴正半轴（x轴上方）。选项B的顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B；选项A的图象对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴，符合条件。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，核心是掌握参数$a、k$对二次函数$y=ax^2+k$图象的影响，不需要复杂运算，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分两步筛选正确选项：第一步先根据二次函数解析式的特征判断对称轴，$y=ax^2+k$没有一次项，对称轴为y轴，据此可排除对称轴不是y轴的选项；第二步根据$k＞0$判断顶点位置，该函数顶点坐标为$(0,k)$，$k＞0$说明顶点在y轴正半轴，据此再排除不符合顶点位置的选项，即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 + k$：
1. 对称轴计算：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，解析式中一次项系数$b=0$，因此对称轴为$x=0$即y轴。观察选项，C、D的图象对称轴均不是y轴，故排除C、D。
2. 顶点位置判断：函数顶点坐标为$(0,k)$，已知$k＞0$，因此顶点位于y轴正半轴（x轴上方）。选项B的顶点在y轴负半轴，不符合要求，排除B；选项A的图象对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴，符合条件。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数图象的基础考查题，核心是掌握参数$a、k$对二次函数$y=ax^2+k$图象的影响，不需要复杂运算，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=-2x^2 -1$的对称轴是（
A.$x=\frac{1}{2}$
B.$x=-\frac{1}{2}$
C.$y$轴
D.$x=2$
C
）.A.$x=\frac{1}{2}$
B.$x=-\frac{1}{2}$
C.$y$轴
D.$x=2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查二次函数对称轴的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数一般式的对称轴计算公式，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。接下来从题目给出的抛物线解析式中提取对应系数$a$、$b$的值，代入公式计算即可得到对称轴，也可直接观察解析式发现没有含$x$的一次项，快速判断对称轴为$y$轴。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为：$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$。
对应抛物线$y=-2x^2 -1$的解析式，可得系数$a=-2$，$b=0$，$c=-1$。
将$a$、$b$代入对称轴公式计算：
$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$
直线$x=0$就是$y$轴，因此该抛物线的对称轴为$y$轴。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数对称轴的计算方法，也可通过解析式特征快速判断：不含一次项的二次函数，对称轴均为$y$轴，熟练掌握规律可提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数对称轴的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数一般式的对称轴计算公式，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。接下来从题目给出的抛物线解析式中提取对应系数$a$、$b$的值，代入公式计算即可得到对称轴，也可直接观察解析式发现没有含$x$的一次项，快速判断对称轴为$y$轴。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为：$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$。
对应抛物线$y=-2x^2 -1$的解析式，可得系数$a=-2$，$b=0$，$c=-1$。
将$a$、$b$代入对称轴公式计算：
$x=-\frac{0}{2×(-2)}=0$
直线$x=0$就是$y$轴，因此该抛物线的对称轴为$y$轴。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数对称轴的计算方法，也可通过解析式特征快速判断：不含一次项的二次函数，对称轴均为$y$轴，熟练掌握规律可提升解题速度。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=-x^2+3$的图象的顶点坐标为
(0, 3)
，它的最大值为3
。答案
3. (0, 3) 3
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$（$a≠0$）的性质：这类二次函数的对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象最高点，顶点的纵坐标就是函数的最大值。本题给出的解析式$y=-x^2+3$正好符合$y=ax^2+k$的形式，直接套用性质即可求解。
【解析】
1. 求顶点坐标：
二次函数$y=-x^2+3$属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-1$，$k=3$，其对称轴为直线$x=0$。
将$x=0$代入解析式，得$y=-0^2+3=3$，因此顶点坐标为$(0,3)$。
2. 求最大值：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此函数的最大值等于顶点的纵坐标，即最大值为3。
【答案】
$(0,3)$；$3$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点坐标；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查无一次项的特殊二次函数的顶点与最值的求解，熟练掌握对应形式的二次函数性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$（$a≠0$）的性质：这类二次函数的对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$；再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为图象最高点，顶点的纵坐标就是函数的最大值。本题给出的解析式$y=-x^2+3$正好符合$y=ax^2+k$的形式，直接套用性质即可求解。
【解析】
1. 求顶点坐标：
二次函数$y=-x^2+3$属于$y=ax^2+k$的形式，其中$a=-1$，$k=3$，其对称轴为直线$x=0$。
将$x=0$代入解析式，得$y=-0^2+3=3$，因此顶点坐标为$(0,3)$。
2. 求最大值：
二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此函数的最大值等于顶点的纵坐标，即最大值为3。
【答案】
$(0,3)$；$3$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点坐标；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查无一次项的特殊二次函数的顶点与最值的求解，熟练掌握对应形式的二次函数性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
若抛物线$y=(m-7)x^2 - 2$（$m$为常数）的开口向上，则$m$的取值范围是
$m＞7$
答案
4. $m＞7$
解析
【分析】
解题时首先要明确抛物线属于二次函数图象，其开口方向由二次项系数的符号决定：二次项系数大于0时抛物线开口向上，小于0时开口向下。本题已知抛物线开口向上，因此可直接根据上述性质列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
若抛物线开口向上，则$a＞0$。
已知抛物线$y=(m-7)x^2 - 2$开口向上，因此其二次项系数满足：
$m-7＞0$
解该不等式得：$m＞7$
【答案】
$m＞7$
【知识点】
二次函数图象性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速求解，属于易得分的常规考点题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确抛物线属于二次函数图象，其开口方向由二次项系数的符号决定：二次项系数大于0时抛物线开口向上，小于0时开口向下。本题已知抛物线开口向上，因此可直接根据上述性质列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
若抛物线开口向上，则$a＞0$。
已知抛物线$y=(m-7)x^2 - 2$开口向上，因此其二次项系数满足：
$m-7＞0$
解该不等式得：$m＞7$
【答案】
$m＞7$
【知识点】
二次函数图象性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数开口方向与二次项系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速求解，属于易得分的常规考点题。
【难度系数】
0.9
5. 点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$都在二次函数$y=x^2+1$的图象上，则$y_1$
＜
$y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
5. ＜
解析
【分析】
要比较二次函数图象上两个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路一：将两个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的$y_1$、$y_2$的具体数值，直接比较大小；思路二：先判断二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性，结合两个点横坐标的大小关系推导y值的大小关系。两种方法均适用于本题，可任选其一解题。
【解析】
方法一（代入求值法）：
把$x=1$代入$y=x^2+1$，得$y_1=1^2+1=2$；
把$x=2$代入$y=x^2+1$，得$y_2=2^2+1=5$；
因为$2＜5$，所以$y_1＜y_2$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2+1$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$；
当$x＞0$时，y随x的增大而增大，已知$0＜1＜2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的增减性推导判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
要比较二次函数图象上两个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路一：将两个点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的$y_1$、$y_2$的具体数值，直接比较大小；思路二：先判断二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性，结合两个点横坐标的大小关系推导y值的大小关系。两种方法均适用于本题，可任选其一解题。
【解析】
方法一（代入求值法）：
把$x=1$代入$y=x^2+1$，得$y_1=1^2+1=2$；
把$x=2$代入$y=x^2+1$，得$y_2=2^2+1=5$；
因为$2＜5$，所以$y_1＜y_2$。
方法二（增减性判断法）：
二次函数$y=x^2+1$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$；
当$x＞0$时，y随x的增大而增大，已知$0＜1＜2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的增减性推导判断，熟练掌握二次函数的基本性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
6. 抛物线 $ y = 3x^2 $ 向上平移5个单位长度，所得抛物线的顶点是
(0, 5)
。答案
6. (0, 5)
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点坐标的确定方法和平移规律：①先确定原抛物线$y=3x^2$的顶点坐标；②抛物线平移时，其顶点会跟随做完全相同的平移，向上平移仅改变顶点的纵坐标，横坐标保持不变，遵循“上加下减”的规律，由此即可计算出平移后抛物线的顶点坐标。
【解析】
首先，原抛物线$y=3x^2$是顶点式，其顶点坐标为$(0,0)$。
根据抛物线平移的性质：向上平移5个单位长度时，顶点的横坐标不变，纵坐标增加5。
因此平移后抛物线的顶点纵坐标为$0+5=5$，横坐标仍为0，即平移后顶点坐标为$(0,5)$。
也可先推导平移后解析式验证：向上平移5个单位后抛物线解析式为$y=3x^2+5$，对照二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（顶点坐标为$(h,k)$），可得顶点坐标为$(0,5)$。
【答案】
$(0,5)$
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数平移的基本规律，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规则，以及二次函数顶点坐标的求法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点坐标的确定方法和平移规律：①先确定原抛物线$y=3x^2$的顶点坐标；②抛物线平移时，其顶点会跟随做完全相同的平移，向上平移仅改变顶点的纵坐标，横坐标保持不变，遵循“上加下减”的规律，由此即可计算出平移后抛物线的顶点坐标。
【解析】
首先，原抛物线$y=3x^2$是顶点式，其顶点坐标为$(0,0)$。
根据抛物线平移的性质：向上平移5个单位长度时，顶点的横坐标不变，纵坐标增加5。
因此平移后抛物线的顶点纵坐标为$0+5=5$，横坐标仍为0，即平移后顶点坐标为$(0,5)$。
也可先推导平移后解析式验证：向上平移5个单位后抛物线解析式为$y=3x^2+5$，对照二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（顶点坐标为$(h,k)$），可得顶点坐标为$(0,5)$。
【答案】
$(0,5)$
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数平移的基本规律，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规则，以及二次函数顶点坐标的求法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
7. 抛物线 $y=\frac{1}{5}x^2 -6$ 可由抛物线 $y=\frac{1}{5}x^2$ 沿y轴向
下
平移6
个单位长度得到。答案
7. 下 6
解析
【分析】
解答这道题首先要回忆二次函数图像的平移规律：二次函数平移时，形状、开口方向不变（即二次项系数不变），仅位置发生变化，平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的口诀。首先观察两个抛物线的解析式，自变量x没有发生加减变化，说明是沿y轴的上下平移；接着对比常数项，原抛物线常数项为0，平移后的抛物线常数项为-6，结合“上加下减”的规则，即可判断平移方向和距离。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减常数项”规律：沿y轴平移时，函数解析式在常数项位置加减平移的单位长度，加为向上平移，减为向下平移。
对比两个抛物线解析式：
原抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$的常数项为0；
平移后抛物线$y=\frac{1}{5}x^2 -6$，相当于在原解析式的基础上整体减6。
因此该抛物线可由$y=\frac{1}{5}x^2$沿y轴向下平移6个单位长度得到。
【答案】
下；6
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的上下平移规律，属于基础题型，核心是掌握平移口诀中“上加下减”对应沿y轴的平移，注意区分上下平移和左右平移的变化位置，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解答这道题首先要回忆二次函数图像的平移规律：二次函数平移时，形状、开口方向不变（即二次项系数不变），仅位置发生变化，平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的口诀。首先观察两个抛物线的解析式，自变量x没有发生加减变化，说明是沿y轴的上下平移；接着对比常数项，原抛物线常数项为0，平移后的抛物线常数项为-6，结合“上加下减”的规则，即可判断平移方向和距离。
【解析】
根据二次函数图象平移的“上加下减常数项”规律：沿y轴平移时，函数解析式在常数项位置加减平移的单位长度，加为向上平移，减为向下平移。
对比两个抛物线解析式：
原抛物线$y=\frac{1}{5}x^2$的常数项为0；
平移后抛物线$y=\frac{1}{5}x^2 -6$，相当于在原解析式的基础上整体减6。
因此该抛物线可由$y=\frac{1}{5}x^2$沿y轴向下平移6个单位长度得到。
【答案】
下；6
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题考查二次函数的上下平移规律，属于基础题型，核心是掌握平移口诀中“上加下减”对应沿y轴的平移，注意区分上下平移和左右平移的变化位置，避免混淆。
【难度系数】
0.9
