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8. 若$A(-6, y_1)$，$B(-3, y_2)$，$C(1, y_3)$为二次函数$y=x^2 -1$图象上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是
$y_3＜y_2＜y_1$（或$y_1＞y_2＞y_3$）
。答案
8. $y_3＜y_2＜y_1$（或$y_1＞y_2＞y_3$）
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：①代入法：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应的y值后比较大小；②性质法：先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大的规律，比较各点横坐标到对称轴的距离即可判断y值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-6,y_1)$、$B(-3,y_2)$、$C(1,y_3)$分别代入$y=x^2-1$得：
$y_1=(-6)^2 - 1 = 36 - 1 = 35$
$y_2=(-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
$y_3=1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
因为$0＜8＜35$，所以$y_3＜y_2＜y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2-1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向上的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
各点横坐标到对称轴$x=0$的距离：
$|-6 - 0|=6$，$|-3 - 0|=3$，$|1 - 0|=1$
因为$1＜3＜6$，所以对应函数值$y_3＜y_2＜y_1$。
【答案】
$y_3＜y_2＜y_1$（或$y_1＞y_2＞y_3$）
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接代入计算快速得到结果，也可以利用二次函数的增减性和对称性简化计算，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要比较三个点的函数值大小，有两种常用思路：①代入法：直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应的y值后比较大小；②性质法：先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合开口向上的抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大的规律，比较各点横坐标到对称轴的距离即可判断y值大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将$A(-6,y_1)$、$B(-3,y_2)$、$C(1,y_3)$分别代入$y=x^2-1$得：
$y_1=(-6)^2 - 1 = 36 - 1 = 35$
$y_2=(-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
$y_3=1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
因为$0＜8＜35$，所以$y_3＜y_2＜y_1$。
方法二：利用二次函数性质判断
二次函数$y=x^2-1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向上的抛物线上，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
各点横坐标到对称轴$x=0$的距离：
$|-6 - 0|=6$，$|-3 - 0|=3$，$|1 - 0|=1$
因为$1＜3＜6$，所以对应函数值$y_3＜y_2＜y_1$。
【答案】
$y_3＜y_2＜y_1$（或$y_1＞y_2＞y_3$）
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过直接代入计算快速得到结果，也可以利用二次函数的增减性和对称性简化计算，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.9
9. 已知抛物线$y=2x^2+5$，当$-2＜x＜3$时，$y$的取值范围是
$5≤ y＜23$
。答案
9. $5≤ y＜23$
解析
【分析】
解决本题首先要掌握二次函数的基本性质：对于抛物线$y=ax^2+k$（$a≠0$），开口方向由$a$的符号决定，对称轴为y轴（$x=0$），顶点为$(0,k)$。本题抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，对应$y$的最小值。接下来结合给定的$x$的取值范围，判断区间内离对称轴最远的点，计算对应函数值，再结合区间的开闭情况确定$y$的取值边界即可。
【解析】
解：对于抛物线$y=2x^2+5$，
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,5)$。
当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$5$，且$x=0$在$-2＜x＜3$范围内，故$y$可取到$5$。
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2)^2+5=13$；
当$x=3$时，$y=2×3^2+5=23$。
由于抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小，在$-2＜x＜3$范围内，$x=3$离对称轴的距离最远，因此$y$的最大值趋近于$23$，又因为$x＜3$，故$y＜23$。
综上，$y$的取值范围是$5\le y＜23$。
【答案】
$5≤ y＜23$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；区间取值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础题型，解题核心是先确定二次函数的开口方向与对称轴，明确顶点处的最值，再结合区间端点到对称轴的距离判断最大边界，尤其要注意区间的开闭情况，判断端点值是否可取，避免出现取值边界错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握二次函数的基本性质：对于抛物线$y=ax^2+k$（$a≠0$），开口方向由$a$的符号决定，对称轴为y轴（$x=0$），顶点为$(0,k)$。本题抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，对应$y$的最小值。接下来结合给定的$x$的取值范围，判断区间内离对称轴最远的点，计算对应函数值，再结合区间的开闭情况确定$y$的取值边界即可。
【解析】
解：对于抛物线$y=2x^2+5$，
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），顶点坐标为$(0,5)$。
当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$5$，且$x=0$在$-2＜x＜3$范围内，故$y$可取到$5$。
分别计算区间端点处的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2)^2+5=13$；
当$x=3$时，$y=2×3^2+5=23$。
由于抛物线开口向上，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小，在$-2＜x＜3$范围内，$x=3$离对称轴的距离最远，因此$y$的最大值趋近于$23$，又因为$x＜3$，故$y＜23$。
综上，$y$的取值范围是$5\le y＜23$。
【答案】
$5≤ y＜23$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；区间取值求解
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础题型，解题核心是先确定二次函数的开口方向与对称轴，明确顶点处的最值，再结合区间端点到对称轴的距离判断最大边界，尤其要注意区间的开闭情况，判断端点值是否可取，避免出现取值边界错误。
【难度系数】
0.7
10. 已知抛物线$y=ax^2+n$（$an＞0$）与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，且图象上离$x$轴最近的点与$x$轴的距离为3.
（1）求$a$，$n$的值；
（2）写出抛物线$y=ax^2+n$的开口方向、对称轴和顶点.
（1）求$a$，$n$的值；
（2）写出抛物线$y=ax^2+n$的开口方向、对称轴和顶点.
答案
10. 解：(1)
∵抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴$a=2$.
∵图象上离$x$轴最近的点与$x$轴的距离为3，且$an＞0$，
∴$n=3$.
(2) 由第(1)小题，得$a=2$，$n=3$.
∴抛物线为$y=2x^2+3$.
∴抛物线$y=2x^2+3$的开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0, 3)$.
∵抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴$a=2$.
∵图象上离$x$轴最近的点与$x$轴的距离为3，且$an＞0$，
∴$n=3$.
(2) 由第(1)小题，得$a=2$，$n=3$.
∴抛物线为$y=2x^2+3$.
∴抛物线$y=2x^2+3$的开口向上，对称轴为$y$轴，顶点为$(0, 3)$.
解析
【分析】
本题可分两步求解：(1)求a、n的值：首先根据抛物线形状相同、开口方向相反的性质，可得二者二次项系数互为相反数，先求出a的值；再明确抛物线$y=ax^2+n$的顶点是图象上离x轴最近的点，该点到x轴的距离等于$|n|$，结合$an＞0$的限制条件即可求出n的值。(2)求抛物线的相关性质：将(1)中得到的a、n代入解析式，结合形如$y=ax^2+k$的二次函数的性质直接作答即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴两个抛物线的二次项系数互为相反数，即$a=2$。
∵抛物线$y=ax^2+n$的顶点为$(0,n)$，是图象上离$x$轴最近的点，且该点到$x$轴的距离为3，
∴$|n|=3$，
又
∵$an＞0$，$a=2＞0$，
∴$n＞0$，即$n=3$。
(2) 把$a=2$，$n=3$代入解析式，得抛物线为$y=2x^2+3$，
∵$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，
对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，
∴该抛物线的对称轴为y轴，顶点为$(0, 3)$。
【答案】
(1) $a=2$，$n=3$；
(2) 开口向上，对称轴为y轴，顶点为$(0,3)$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数系数与图象特征的对应关系，解题的核心是掌握“形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等”“顶点是抛物线上到x轴最近的点”这两个关键结论，掌握此类题型可为后续复杂二次函数问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
本题可分两步求解：(1)求a、n的值：首先根据抛物线形状相同、开口方向相反的性质，可得二者二次项系数互为相反数，先求出a的值；再明确抛物线$y=ax^2+n$的顶点是图象上离x轴最近的点，该点到x轴的距离等于$|n|$，结合$an＞0$的限制条件即可求出n的值。(2)求抛物线的相关性质：将(1)中得到的a、n代入解析式，结合形如$y=ax^2+k$的二次函数的性质直接作答即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，
∴两个抛物线的二次项系数互为相反数，即$a=2$。
∵抛物线$y=ax^2+n$的顶点为$(0,n)$，是图象上离$x$轴最近的点，且该点到$x$轴的距离为3，
∴$|n|=3$，
又
∵$an＞0$，$a=2＞0$，
∴$n＞0$，即$n=3$。
(2) 把$a=2$，$n=3$代入解析式，得抛物线为$y=2x^2+3$，
∵$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，
对于形如$y=ax^2+k$的二次函数，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,k)$，
∴该抛物线的对称轴为y轴，顶点为$(0, 3)$。
【答案】
(1) $a=2$，$n=3$；
(2) 开口向上，对称轴为y轴，顶点为$(0,3)$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数系数与图象特征的对应关系，解题的核心是掌握“形状相同的抛物线二次项系数绝对值相等”“顶点是抛物线上到x轴最近的点”这两个关键结论，掌握此类题型可为后续复杂二次函数问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
11. 已知二次函数$y=ax^2 -2$的图象经过点$(-1, -1)$。
（1）在如图26.2-2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点、对称轴及$y$随$x$的变化情况；
（2）当$-1≤ x≤2$时，求$y$的取值范围。
（1）在如图26.2-2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点、对称轴及$y$随$x$的变化情况；
（2）当$-1≤ x≤2$时，求$y$的取值范围。
答案
（1） 将$(-1,-1)$代入$y=ax^2-2$，得$-1=a×(-1)^2-2$，即$-1=a-2$，解得$a=1$，$\therefore y=x^2-2$。
列表：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ | … |
描点、连线，画出函数的图象，如图所示
。此函数图象开口向上，顶点是$(0,-2)$，对称轴为$y$轴。当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2） 根据图象分析可得，若$-1≤ x≤ 2$，则当$x=0$时，$y$取得最小值，且最小值为$-2$；当$x=2$时，$y$取得最大值，且最大值为$2$。
$\therefore$ 当$-1≤ x≤ 2$时，$y$的取值范围是$-2≤ y≤ 2$。
解析
【分析】
（1）要确定二次函数的图象和性质，首先需要求出解析式中的未知参数a：已知函数图象过点(-1,-1)，将点坐标代入函数表达式即可解出a，得到完整的函数解析式。画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，选取关于对称轴对称的几个点计算函数值即可；再根据二次函数$y=ax^2+k$的性质判断开口方向、顶点、对称轴和增减性。
（2）求给定x区间内y的取值范围，需要结合函数的增减性：先判断抛物线顶点的横坐标是否在给定的x区间内，确定最小值；再计算区间两个端点对应的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
（1）将点$(-1, -1)$代入$y=ax^2 -2$，得：
$-1=a×(-1)^2 -2$
即$-1=a-2$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2-2$。
列表选取对称的x值计算对应y值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ | … |
在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连线得到函数图象，如图所示。
该函数中$a=1＞0$，因此图象开口向上；顶点坐标为$(0,-2)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2）当$-1\le x\le2$时，结合函数图象分析：
因为函数开口向上，顶点$(0,-2)$的横坐标$x=0$在$[-1,2]$区间内，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1$；当$x=2$时，$y=2^2-2=2$，比较得最大值为$2$。
因此可得出y的取值范围。
【答案】
（1）函数解析式为$y=x^2-2$，图象如图；开口向上，顶点为$(0,-2)$，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2）$-2\le y\le 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数解析式的求解、图象绘制和性质应用，要求学生熟练掌握待定系数法，能结合图象分析函数的增减性与最值，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.8
（1）要确定二次函数的图象和性质，首先需要求出解析式中的未知参数a：已知函数图象过点(-1,-1)，将点坐标代入函数表达式即可解出a，得到完整的函数解析式。画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，选取关于对称轴对称的几个点计算函数值即可；再根据二次函数$y=ax^2+k$的性质判断开口方向、顶点、对称轴和增减性。
（2）求给定x区间内y的取值范围，需要结合函数的增减性：先判断抛物线顶点的横坐标是否在给定的x区间内，确定最小值；再计算区间两个端点对应的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
（1）将点$(-1, -1)$代入$y=ax^2 -2$，得：
$-1=a×(-1)^2 -2$
即$-1=a-2$，解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2-2$。
列表选取对称的x值计算对应y值：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ | … |
在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连线得到函数图象，如图所示
。该函数中$a=1＞0$，因此图象开口向上；顶点坐标为$(0,-2)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
增减性：当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
（2）当$-1\le x\le2$时，结合函数图象分析：
因为函数开口向上，顶点$(0,-2)$的横坐标$x=0$在$[-1,2]$区间内，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，最小值为$-2$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2-2=-1$；当$x=2$时，$y=2^2-2=2$，比较得最大值为$2$。
因此可得出y的取值范围。
【答案】
（1）函数解析式为$y=x^2-2$，图象如图
；开口向上，顶点为$(0,-2)$，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。（2）$-2\le y\le 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数解析式的求解、图象绘制和性质应用，要求学生熟练掌握待定系数法，能结合图象分析函数的增减性与最值，是后续学习二次函数综合应用的基础。
【难度系数】
0.8
