登录
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质：①当$a＞0$时，抛物线开口向
上
；当$a＜0$时，抛物线开口向下
。②对称轴是$x=h$
。③顶点是$(h,\ 0)$
。答案
1. ①上 下 ②$x=h$ ③$(h,\ 0)$
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本图象性质，解题时可结合二次项系数$a$的作用、顶点式的结构特征逐步推导：第一步，回忆二次项系数$a$对抛物线开口方向的影响规律，直接判断第①问的答案；第二步，根据顶点式的结构，找到使$(x-h)=0$的$x$值，即可确定对称轴；第三步，对称轴与抛物线的交点就是顶点，代入$x=h$求出对应的$y$值，就能得到顶点坐标。
【解析】
① 对于任意二次函数，二次项系数$a$决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，因此两个空依次填“上”“下”。
② 对于顶点式$y=a(x-h)^2$，取关于$x=h$对称的两个点$x=h+m$和$x=h-m$（$m≠0$），代入函数得到的函数值相等，说明两点关于直线$x=h$对称，因此抛物线的对称轴是直线$x=h$。
③ 抛物线的顶点是函数取最值的点，当$x=h$时，$(x-h)^2=0$，此时$y=0$，为函数的最值，因此顶点坐标为$(h,0)$。
【答案】
①上 下 ②$x=h$ ③$(h,\ 0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质，抛物线开口方向判断，抛物线对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次函数顶点式的核心基本性质，是学习二次函数图象变换、增减性、最值等内容的基础，需要牢固记忆并熟练应用。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本图象性质，解题时可结合二次项系数$a$的作用、顶点式的结构特征逐步推导：第一步，回忆二次项系数$a$对抛物线开口方向的影响规律，直接判断第①问的答案；第二步，根据顶点式的结构，找到使$(x-h)=0$的$x$值，即可确定对称轴；第三步，对称轴与抛物线的交点就是顶点，代入$x=h$求出对应的$y$值，就能得到顶点坐标。
【解析】
① 对于任意二次函数，二次项系数$a$决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值；当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，因此两个空依次填“上”“下”。
② 对于顶点式$y=a(x-h)^2$，取关于$x=h$对称的两个点$x=h+m$和$x=h-m$（$m≠0$），代入函数得到的函数值相等，说明两点关于直线$x=h$对称，因此抛物线的对称轴是直线$x=h$。
③ 抛物线的顶点是函数取最值的点，当$x=h$时，$(x-h)^2=0$，此时$y=0$，为函数的最值，因此顶点坐标为$(h,0)$。
【答案】
①上 下 ②$x=h$ ③$(h,\ 0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质，抛物线开口方向判断，抛物线对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次函数顶点式的核心基本性质，是学习二次函数图象变换、增减性、最值等内容的基础，需要牢固记忆并熟练应用。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的图象与$y=ax^2$的图象的关系：当$h＞0$时，把抛物线$y=ax^2$向
右
平移$|h|$
个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$；当$h＜0$时，把抛物线$y=ax^2$向左
平移$|h|$
个单位长度，得到抛物线$y=a(x-h)^2$。答案
2. 右 $|h|$ 左 $|h|$
解析
【分析】
解题时可从两个角度推导：一是对比两条抛物线的顶点坐标，抛物线的平移和其顶点的平移完全一致，先分别确定$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的顶点，根据顶点的平移方向、距离就能确定抛物线的平移情况；二是利用二次函数平移的“左加右减”口诀，针对自变量$x$的变化判断平移方向，平移的距离为非负数，因此用$h$的绝对值表示。
【解析】
抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$：
1. 当$h＞0$时，顶点从$(0,0)$向右移动到$(h,0)$，移动的距离为$h$个单位长度，即$|h|$个单位长度，因此把抛物线$y=ax^2$向右平移$|h|$个单位长度，得到$y=a(x-h)^2$；
2. 当$h＜0$时，顶点从$(0,0)$向左移动到$(h,0)$，移动的距离为$-h$个单位长度，即$|h|$个单位长度，因此把抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，得到$y=a(x-h)^2$。
【答案】
右；$|h|$；左；$|h|$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心考查左右平移的规律，熟记“左加右减（针对自变量$x$）”的口诀，同时注意平移距离为非负数，需用绝对值表示即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个角度推导：一是对比两条抛物线的顶点坐标，抛物线的平移和其顶点的平移完全一致，先分别确定$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的顶点，根据顶点的平移方向、距离就能确定抛物线的平移情况；二是利用二次函数平移的“左加右减”口诀，针对自变量$x$的变化判断平移方向，平移的距离为非负数，因此用$h$的绝对值表示。
【解析】
抛物线$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$：
1. 当$h＞0$时，顶点从$(0,0)$向右移动到$(h,0)$，移动的距离为$h$个单位长度，即$|h|$个单位长度，因此把抛物线$y=ax^2$向右平移$|h|$个单位长度，得到$y=a(x-h)^2$；
2. 当$h＜0$时，顶点从$(0,0)$向左移动到$(h,0)$，移动的距离为$-h$个单位长度，即$|h|$个单位长度，因此把抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，得到$y=a(x-h)^2$。
【答案】
右；$|h|$；左；$|h|$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心考查左右平移的规律，熟记“左加右减（针对自变量$x$）”的口诀，同时注意平移距离为非负数，需用绝对值表示即可快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$的大致图象是（
C
）。答案
1. C
解析
【分析】
解题时我们可以结合二次函数顶点式的性质逐步筛选选项：第一步先判断抛物线开口方向，由二次项系数的正负决定；第二步再确定抛物线的顶点坐标和对称轴，结合这两个特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的B、D选项；
2. 该函数为顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$：
A选项顶点在$(-1,0)$、对称轴为$x=-1$，不符合特征，排除；
C选项开口向上，顶点为$(1,0)$、对称轴为$x=1$，完全符合函数的图像特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数图像的基础考查题，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的图像特点，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以结合二次函数顶点式的性质逐步筛选选项：第一步先判断抛物线开口方向，由二次项系数的正负决定；第二步再确定抛物线的顶点坐标和对称轴，结合这两个特征逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2$：
1. 二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，可直接排除开口向下的B、D选项；
2. 该函数为顶点式，对应顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x=1$：
A选项顶点在$(-1,0)$、对称轴为$x=-1$，不符合特征，排除；
C选项开口向上，顶点为$(1,0)$、对称轴为$x=1$，完全符合函数的图像特征。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数图像的基础考查题，只要熟练掌握顶点式中各参数对应的图像特点，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.8
2. 对于二次函数$y=-2(x+1)^2$的图象，下列说法错误的是（
A.开口向下
B.对称轴是$x=-1$
C.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.与$x$轴有两个交点
D
）.A.开口向下
B.对称轴是$x=-1$
C.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D.与$x$轴有两个交点
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中参数$a$、$h$、$k$对应的图像特征，再逐一分析每个选项，最终选出说法错误的选项。
【解析】
已知二次函数为$y=-2(x+1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-2$，$h=-1$，$k=0$：
1. 分析选项A：$a=-2＜0$，因此二次函数开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 分析选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴是$x=-1$，B说法正确，不符合题意；
3. 分析选项C：由于函数开口向下，在对称轴左侧（即$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此C说法正确，不符合题意；
4. 分析选项D：令$y=0$，可得方程$-2(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$，说明函数与$x$仅有一个交点$(-1,0)$，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要牢记参数对应的开口方向、对称轴、增减性等特征，同时注意求解与x轴交点时重根的情况，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中参数$a$、$h$、$k$对应的图像特征，再逐一分析每个选项，最终选出说法错误的选项。
【解析】
已知二次函数为$y=-2(x+1)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-2$，$h=-1$，$k=0$：
1. 分析选项A：$a=-2＜0$，因此二次函数开口向下，A说法正确，不符合题意；
2. 分析选项B：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴是$x=-1$，B说法正确，不符合题意；
3. 分析选项C：由于函数开口向下，在对称轴左侧（即$x＜-1$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，因此C说法正确，不符合题意；
4. 分析选项D：令$y=0$，可得方程$-2(x+1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$，说明函数与$x$仅有一个交点$(-1,0)$，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要牢记参数对应的开口方向、对称轴、增减性等特征，同时注意求解与x轴交点时重根的情况，就能准确作答。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=-2(x+3)^2$的开口
向下
，顶点是(-3, 0)
，当x＞-3
时，y随x的增大而减小，当x＜-3
时，y随x的增大而增大。答案
3. 向下 (-3, 0) ＞-3 ＜-3
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关规则：①$a$的符号决定开口方向，$a＜0$时开口向下，$a＞0$时开口向上；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；③开口向下时，对称轴右侧y随x增大而减小，左侧y随x增大而增大。再将题目所给解析式转化为标准顶点式形式，找到对应$a、h、k$的值，代入规则即可依次求出所有结果。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对比题目解析式$y=-2(x+3)^2$，可变形为$y=-2(x-(-3))^2+0$，因此得参数：$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
1. 开口方向：因$a=-2＜0$，故抛物线开口向下；
2. 顶点坐标：由顶点坐标规则得顶点为$(-3,0)$，对称轴为直线$x=-3$；
3. 增减性：因抛物线开口向下，因此当$x＞-3$（对称轴右侧）时，y随x的增大而减小；当$x＜-3$（对称轴左侧）时，y随x的增大而增大。
【答案】
向下；(-3, 0)；＞-3；＜-3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数开口判断
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是考察顶点式中各参数与图象特征的对应关系，熟练记忆相关性质即可快速求解，是二次函数模块的必拿分基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关规则：①$a$的符号决定开口方向，$a＜0$时开口向下，$a＞0$时开口向上；②顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；③开口向下时，对称轴右侧y随x增大而减小，左侧y随x增大而增大。再将题目所给解析式转化为标准顶点式形式，找到对应$a、h、k$的值，代入规则即可依次求出所有结果。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，对比题目解析式$y=-2(x+3)^2$，可变形为$y=-2(x-(-3))^2+0$，因此得参数：$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
1. 开口方向：因$a=-2＜0$，故抛物线开口向下；
2. 顶点坐标：由顶点坐标规则得顶点为$(-3,0)$，对称轴为直线$x=-3$；
3. 增减性：因抛物线开口向下，因此当$x＞-3$（对称轴右侧）时，y随x的增大而减小；当$x＜-3$（对称轴左侧）时，y随x的增大而增大。
【答案】
向下；(-3, 0)；＞-3；＜-3
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数开口判断
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心是考察顶点式中各参数与图象特征的对应关系，熟练记忆相关性质即可快速求解，是二次函数模块的必拿分基础题。
【难度系数】
0.8
4. 点$A(2, y_1)$，$B(3, y_2)$是二次函数$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$的图象上两点，则$y_1$与$y_2$的大小关系为$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$.（填“＞”“＜”或“＝”）
答案
＜
解析
【分析】
要比较二次函数上两点的函数值大小，有两种常用解题思路：①代入法：将两点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应函数值后直接比较；②性质法：先根据二次函数解析式判断开口方向、对称轴，再结合两点横坐标的位置利用增减性判断。本题给出的是顶点式二次函数，两种方法都适用，用性质法解题更快捷：首先该函数$a=\frac{4}{3}＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$，开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，两点横坐标2、3都在对称轴右侧，只需比较横坐标大小即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性判断
∵二次函数$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$中，$a=\frac{4}{3}＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
∴当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(2,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标都满足$2＞-1$，$3＞-1$，且$2＜3$，
∴$y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将$x=2$代入$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$，得：
$y_1=\frac{4}{3}×(2+1)^2=\frac{4}{3}×9=12$
将$x=3$代入$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$，得：
$y_2=\frac{4}{3}×(3+1)^2=\frac{4}{3}×16=\frac{64}{3}$
∵$12＜\frac{64}{3}$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入计算直接比较函数值大小，也可以利用二次函数的增减性快速判断，解题的核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.85
要比较二次函数上两点的函数值大小，有两种常用解题思路：①代入法：将两点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应函数值后直接比较；②性质法：先根据二次函数解析式判断开口方向、对称轴，再结合两点横坐标的位置利用增减性判断。本题给出的是顶点式二次函数，两种方法都适用，用性质法解题更快捷：首先该函数$a=\frac{4}{3}＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$，开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，两点横坐标2、3都在对称轴右侧，只需比较横坐标大小即可判断函数值大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性判断
∵二次函数$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$中，$a=\frac{4}{3}＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
∴当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(2,y_1)$、$B(3,y_2)$的横坐标都满足$2＞-1$，$3＞-1$，且$2＜3$，
∴$y_1＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将$x=2$代入$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$，得：
$y_1=\frac{4}{3}×(2+1)^2=\frac{4}{3}×9=12$
将$x=3$代入$y=\frac{4}{3}(x+1)^2$，得：
$y_2=\frac{4}{3}×(3+1)^2=\frac{4}{3}×16=\frac{64}{3}$
∵$12＜\frac{64}{3}$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入计算直接比较函数值大小，也可以利用二次函数的增减性快速判断，解题的核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.85
