5. 已知二次函数$y=(x-1)^2$，函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如表所示：

(1) $m=$，$n=$，此函数图象的顶点为；
(2) 在图26.2-3中画出该二次函数的图象；
(3) 当$x$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x$时，$y$随$x$的增大而增大.

5. 解：(1) 1 4 (1, 0) (2) 略 (3) ＜1 ＞1

【分析】
本题围绕二次函数顶点式的性质展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先回忆顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可直接得到该函数的顶点；要求$m$、$n$的值，只需将其对应的自变量$x$的值代入函数解析式计算即可。
2. 第(2)问：画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，注意选取对称轴两侧的对称点，保证图象的准确性。
3. 第(3)问：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，该函数开口向上，因此在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴$x=1$即可得到结果。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-1)^2$符合顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$a=1$，$h=1$，$k=0$），因此顶点坐标为$(1,0)$。将对应$x$值代入解析式计算：对应$x$取值代入得$m=(0-1)^2=1$，$n=(3-1)^2=4$。
(2) 画函数图象步骤：①列表：以对称轴$x=1$为中心，选取对称的$x$值，计算对应$y$值；②描点：在平面直角坐标系中准确描出所得的坐标点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到开口向上的抛物线即可。
(3) 该二次函数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $1$；$4$；$(1,0)$
(2) 略
(3) $＜1$；$＞1$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的图象；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式相关性质的掌握程度，熟练掌握二次函数的顶点、增减性、图象画法等基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$的图象如图26.2-4所示，直接在平面直角坐标系中画出二次函数$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的图象，并解决下列问题。

将抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$向平移个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$。

6. 解：二次函数$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的图象如图所示。
右 3

【分析】
解决本题首先需要掌握二次函数图象的平移规律，我们可以通过两种思路判断平移方式：一是对比两个抛物线的顶点坐标变化，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离；二是利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀直接分析解析式的变化。画平移后的图象时，只需要先找出原抛物线上的几个特征点，将特征点按规律平移后，再用平滑曲线连接即可。
【解析】
1. 绘制$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的图象：
先取出抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上的几个关键点：顶点$(0,0)$、$(2,1)$、$(-2,1)$、$(4,4)$、$(-4,4)$，将这些点的横坐标加3、纵坐标保持不变，得到对应点$(3,0)$、$(5,1)$、$(1,1)$、$(7,4)$、$(-1,4)$，在坐标系中描出这些点后，用平滑曲线顺次连接，就得到$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的图象。
2. 判断平移方式：
方法1：对比顶点坐标，$y=\frac{1}{4}x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的顶点为$(3,0)$，两个抛物线开口方向、开口大小完全相同，顶点从$(0,0)$向右移动3个单位长度得到$(3,0)$，因此抛物线整体向右平移3个单位长度。
方法2：根据平移口诀，自变量从$x$变为$x-3$，符合“右减”的规律，因此是向右平移3个单位长度。
【答案】
二次函数$y=\frac{1}{4}(x-3)^2$的图象如图所示。
右 3
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象的基础题型，既可以通过顶点坐标的变化直观判断平移情况，也可以利用平移口诀快速得出结论，掌握平移规律是解题的核心。
【难度系数】
0.8

7. 已知二次函数 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$，不画图象，回答下列问题.
（1）确定抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 的开口方向、对称轴和顶点；
（2）当 $x$ 取何值时，$y$ 有最大（小）值？最大（小）值是多少？
（3）当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？
（4）抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 是由抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 经过怎样的平移得到的？

（1） 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 的开口向下，对称轴是 $x=2$，顶点为$(2, 0)$。
（2） 当 $x=2$ 时，$y$ 有最大值，最大值是 0。
（3） 当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
（4） 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 是由抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向右平移 2 个单位长度得到的。

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；再结合开口方向判断最值和增减性，最后根据“左加右减”的平移规律判断图象平移方式即可。
【解析】
（1）对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$，二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；该式为顶点式，对应$h=2$，$k=0$，可得对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
（2）由于抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此函数在顶点处取得最大值，即当$x=2$时，$y$有最大值，最大值为顶点的纵坐标$0$。
（3）开口向下的抛物线，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，该抛物线对称轴为$x=2$，因此当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大。
（4）根据二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$中的$x$替换为$x-2$即可得到$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$，因此是向右平移2个单位长度得到的。
【答案】
（1） 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 的开口向下，对称轴是 $x=2$，顶点为$(2, 0)$。
（2） 当 $x=2$ 时，$y$ 有最大值，最大值是 0。
（3） 当 $x＜2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
（4） 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2$ 是由抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 向右平移 2 个单位长度得到的。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性与最值；二次函数图象的平移
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数顶点式各参数的含义、图象增减规律以及平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85