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8. 把抛物线$y=a(x-4)^2$向左平移6个单位长度后得到抛物线$y=-3(x-h)^2$，抛物线$y=a(x-4)^2$的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线$y=-3(x-h)^2$的顶点为M. 求：
(1) $a$，$h$的值；
(2) $S_{△ MAB}$的值.
(1) $a$，$h$的值；
(2) $S_{△ MAB}$的值.
答案
（1）
∵把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$，
∴$a=-3$，$4-6=h$，
∴$h=-2$。
（2）
∵抛物线 $y=-3(x-4)^2$ 的顶点为 A，
∴点 A 的坐标为$(4, 0)$。
令 $x=0$，则 $y=-3×(0-4)^2=-48$。
∴点 B 的坐标为$(0, -48)$。
∵抛物线 $y=-3(x+2)^2$ 的顶点为 M，
∴点 M 的坐标为$(-2, 0)$，
∴$AM=6$。
∴$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}×6×|-48|=144$。
∵把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$，
∴$a=-3$，$4-6=h$，
∴$h=-2$。
（2）
∵抛物线 $y=-3(x-4)^2$ 的顶点为 A，
∴点 A 的坐标为$(4, 0)$。
令 $x=0$，则 $y=-3×(0-4)^2=-48$。
∴点 B 的坐标为$(0, -48)$。
∵抛物线 $y=-3(x+2)^2$ 的顶点为 M，
∴点 M 的坐标为$(-2, 0)$，
∴$AM=6$。
∴$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}×6×|-48|=144$。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数a不变；再根据平移“左加右减”的规律，向左平移6个单位就是给x加上6，据此推导h的值即可。
（2）解决第二问首先根据二次函数顶点式的特征，直接写出两个抛物线的顶点A、M的坐标；再令x=0代入原抛物线解析式，求出与y轴交点B的坐标；观察可知A、M都在x轴上，因此线段AM的长度为三角形的底，B点纵坐标的绝对值为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）
∵把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$，抛物线平移时开口方向和大小不变，
∴$a=-3$，
根据“左加右减”的平移规律，平移后解析式为$y=a(x-4+6)^2=-3(x+2)^2$，对应$y=-3(x-h)^2$可得$4-6=h$，
∴$h=-2$。
（2）
∵抛物线 $y=-3(x-4)^2$ 的顶点为 A，顶点式$y=a(x-m)^2$的顶点坐标为$(m,0)$，
∴点 A 的坐标为$(4, 0)$。
求抛物线与y轴交点B，令 $x=0$，则 $y=-3×(0-4)^2=-48$，
∴点 B 的坐标为$(0, -48)$。
∵抛物线 $y=-3(x+2)^2$ 的顶点为 M，
∴点 M 的坐标为$(-2, 0)$，
∴$AM=|4-(-2)|=6$。
点B到x轴（AM所在直线）的距离为$|-48|=48$，
∴$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}×6×|-48|=144$。
【答案】
（1）$a=-3$，$h=-2$；
（2）$S_{△MAB}=144$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查二次函数平移性质和顶点式的应用，解题关键是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，以及顶点式对应顶点坐标的求法，计算与y轴交点时要注意运算准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先要明确抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，因此二次项系数a不变；再根据平移“左加右减”的规律，向左平移6个单位就是给x加上6，据此推导h的值即可。
（2）解决第二问首先根据二次函数顶点式的特征，直接写出两个抛物线的顶点A、M的坐标；再令x=0代入原抛物线解析式，求出与y轴交点B的坐标；观察可知A、M都在x轴上，因此线段AM的长度为三角形的底，B点纵坐标的绝对值为三角形的高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）
∵把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$，抛物线平移时开口方向和大小不变，
∴$a=-3$，
根据“左加右减”的平移规律，平移后解析式为$y=a(x-4+6)^2=-3(x+2)^2$，对应$y=-3(x-h)^2$可得$4-6=h$，
∴$h=-2$。
（2）
∵抛物线 $y=-3(x-4)^2$ 的顶点为 A，顶点式$y=a(x-m)^2$的顶点坐标为$(m,0)$，
∴点 A 的坐标为$(4, 0)$。
求抛物线与y轴交点B，令 $x=0$，则 $y=-3×(0-4)^2=-48$，
∴点 B 的坐标为$(0, -48)$。
∵抛物线 $y=-3(x+2)^2$ 的顶点为 M，
∴点 M 的坐标为$(-2, 0)$，
∴$AM=|4-(-2)|=6$。
点B到x轴（AM所在直线）的距离为$|-48|=48$，
∴$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}×6×|-48|=144$。
【答案】
（1）$a=-3$，$h=-2$；
（2）$S_{△MAB}=144$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查二次函数平移性质和顶点式的应用，解题关键是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，以及顶点式对应顶点坐标的求法，计算与y轴交点时要注意运算准确性，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图26.2-5，抛物线$y=2(x-1)^2$的顶点为A，且与y轴交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点C为点B关于对称轴对称的点，点P在抛物线上且在第一象限内，$S_{△ PBC}=8$，求点P的坐标.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点C为点B关于对称轴对称的点，点P在抛物线上且在第一象限内，$S_{△ PBC}=8$，求点P的坐标.
答案
（1）
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 的顶点为 A，
∴点 A 的坐标为$(1, 0)$。
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 与 y 轴交于点 B，
∴点 B 的坐标为$(0, 2)$。
（2）
∵点 C 为点 B 关于对称轴对称的点，对称轴为 $x=1$，
∴点 C 的坐标为$(2, 2)$。
∴$BC=2$。
设点 P 的坐标为$(a, 2(a-1)^2)$，
∵$S_{△ PBC}=8$，
∴点 P 到 BC 的距离为 $8×2÷2=8$。
∵点 P 在第一象限内，
∴点 P 的纵坐标为 $8+2=10$。
∴$2(a-1)^2=10$。
解方程，得 $a_1=1+\sqrt{5}$，$a_2=1-\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）。
∴点 P 的坐标为$(1+\sqrt{5}, 10)$。
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 的顶点为 A，
∴点 A 的坐标为$(1, 0)$。
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 与 y 轴交于点 B，
∴点 B 的坐标为$(0, 2)$。
（2）
∵点 C 为点 B 关于对称轴对称的点，对称轴为 $x=1$，
∴点 C 的坐标为$(2, 2)$。
∴$BC=2$。
设点 P 的坐标为$(a, 2(a-1)^2)$，
∵$S_{△ PBC}=8$，
∴点 P 到 BC 的距离为 $8×2÷2=8$。
∵点 P 在第一象限内，
∴点 P 的纵坐标为 $8+2=10$。
∴$2(a-1)^2=10$。
解方程，得 $a_1=1+\sqrt{5}$，$a_2=1-\sqrt{5}$（不符合题意，舍去）。
∴点 P 的坐标为$(1+\sqrt{5}, 10)$。
解析
【分析】
（1）求A、B两点坐标时，首先抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的结构特征得到顶点A的坐标；求y轴交点B的坐标，只需令x=0代入解析式计算对应的y值即可。
（2）先根据抛物线对称轴和对称点的坐标规律求出点C的坐标，得到线段BC的长度；△PBC以BC为底时，高为点P到直线BC的垂直距离，结合已知的三角形面积可求出高的长度，进而得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式求出横坐标，最后根据P在第一象限的要求舍去不符合条件的解，即可得到P的坐标。
【解析】
（1）
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 为顶点式，顶点为A，
∴点A的坐标为$(1, 0)$。
∵抛物线与y轴交于点B，令$x=0$，代入解析式得$y=2×(0-1)^2=2$，
∴点B的坐标为$(0, 2)$。
（2）
抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，
∵点C为点B关于对称轴对称的点，B点坐标为$(0,2)$，
∴点C的横坐标为$2×1 - 0=2$，纵坐标与B点相同为2，即点C坐标为$(2, 2)$，
∴$BC=2-0=2$。
设点P的坐标为$(a, 2(a-1)^2)$，
∵$S_{△PBC}=8$，且BC为水平线段，点P在BC上方，
∴点P到BC的距离$h=\frac{2S_{△PBC}}{BC}=\frac{2×8}{2}=8$。
∵BC所在直线的纵坐标为2，点P在第一象限，
∴点P的纵坐标为$2+8=10$，即$2(a-1)^2=10$，
化简得$(a-1)^2=5$，解得$a_1=1+\sqrt{5}$，$a_2=1-\sqrt{5}$，
∵$1-\sqrt{5}＜0$，不符合点P在第一象限的要求，故舍去，
∴点P的坐标为$(1+\sqrt{5}, 10)$。
【答案】
（1）$A(1,0)$，$B(0,2)$；
（2）$(1+\sqrt{5},10)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，对称点坐标求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征、对称点的坐标规律，计算三角形面积时可利用水平线段为底时高为纵坐标差的特点简化运算，同时要注意结合点的位置要求对解进行取舍，整体逻辑清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求A、B两点坐标时，首先抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的结构特征得到顶点A的坐标；求y轴交点B的坐标，只需令x=0代入解析式计算对应的y值即可。
（2）先根据抛物线对称轴和对称点的坐标规律求出点C的坐标，得到线段BC的长度；△PBC以BC为底时，高为点P到直线BC的垂直距离，结合已知的三角形面积可求出高的长度，进而得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式求出横坐标，最后根据P在第一象限的要求舍去不符合条件的解，即可得到P的坐标。
【解析】
（1）
∵抛物线 $y=2(x-1)^2$ 为顶点式，顶点为A，
∴点A的坐标为$(1, 0)$。
∵抛物线与y轴交于点B，令$x=0$，代入解析式得$y=2×(0-1)^2=2$，
∴点B的坐标为$(0, 2)$。
（2）
抛物线$y=2(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，
∵点C为点B关于对称轴对称的点，B点坐标为$(0,2)$，
∴点C的横坐标为$2×1 - 0=2$，纵坐标与B点相同为2，即点C坐标为$(2, 2)$，
∴$BC=2-0=2$。
设点P的坐标为$(a, 2(a-1)^2)$，
∵$S_{△PBC}=8$，且BC为水平线段，点P在BC上方，
∴点P到BC的距离$h=\frac{2S_{△PBC}}{BC}=\frac{2×8}{2}=8$。
∵BC所在直线的纵坐标为2，点P在第一象限，
∴点P的纵坐标为$2+8=10$，即$2(a-1)^2=10$，
化简得$(a-1)^2=5$，解得$a_1=1+\sqrt{5}$，$a_2=1-\sqrt{5}$，
∵$1-\sqrt{5}＜0$，不符合点P在第一象限的要求，故舍去，
∴点P的坐标为$(1+\sqrt{5}, 10)$。
【答案】
（1）$A(1,0)$，$B(0,2)$；
（2）$(1+\sqrt{5},10)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，对称点坐标求解，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征、对称点的坐标规律，计算三角形面积时可利用水平线段为底时高为纵坐标差的特点简化运算，同时要注意结合点的位置要求对解进行取舍，整体逻辑清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
