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2. 观察下面三行数：
$-2,4, -8,16, -32,64,···;$①
$0,6, -6,18, -30,66,···;$②
$-1,2, -4,8, -16,32,···.$③
(1) 第①行中的数可以看成按什么规律排列？
(2) 第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
(3) 取每行中的第10个数，计算这三个数的和.
变式:给出依次排列的一列数: $-1,2, -4,8, -16,32$, 写出32后面连续的三个数.
$-2,4, -8,16, -32,64,···;$①
$0,6, -6,18, -30,66,···;$②
$-1,2, -4,8, -16,32,···.$③
(1) 第①行中的数可以看成按什么规律排列？
(2) 第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
(3) 取每行中的第10个数，计算这三个数的和.
变式:给出依次排列的一列数: $-1,2, -4,8, -16,32$, 写出32后面连续的三个数.
答案
解：
(1) 第①行的数的排列规律为：第1个数是-2，之后每一个数都等于它前一个数乘-2，第n（n为正整数）个数可表示为$(-2)^n$。
(2) 第②行中的每个数是第①行对应位置的数加2得到的；
第③行中的每个数是第①行对应位置的数除以2得到的。
(3) 第①行的第10个数为$(-2)^{10}=1024$，
第②行的第10个数为$1024+2=1026$，
第③行的第10个数为$1024÷2=512$，
这三个数的和为$1024+1026+512=2562$。
变式：$-64,128,-256$
(1) 第①行的数的排列规律为：第1个数是-2，之后每一个数都等于它前一个数乘-2，第n（n为正整数）个数可表示为$(-2)^n$。
(2) 第②行中的每个数是第①行对应位置的数加2得到的；
第③行中的每个数是第①行对应位置的数除以2得到的。
(3) 第①行的第10个数为$(-2)^{10}=1024$，
第②行的第10个数为$1024+2=1026$，
第③行的第10个数为$1024÷2=512$，
这三个数的和为$1024+1026+512=2562$。
变式：$-64,128,-256$
解析
【分析】
(1) 分析第①行的数时，分别观察符号和绝对值的变化：符号负、正交替出现，绝对值依次是2、4、8、16…均为2的正整数次幂，结合符号即可推导出第n个数的表达式；
(2) 对比②、③行和第①行同位置的数，计算同位置数的差或商，即可找到两行数之间的关系；
(3) 先根据第①行的规律求出第10个数，再根据第(2)问得到的关系分别求出第②、③行的第10个数，最后相加即可；变式部分根据给出的数列规律，后一个数是前一个数乘-2，依次计算即可得到32后面的三个数。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数为$-2=(-2)^1$，第2个数为$4=(-2)^2$，第3个数为$-8=(-2)^3$，以此类推，可得规律：第n（n为正整数）个数可表示为$(-2)^n$，即后一个数等于前一个数乘$-2$。
(2) 对比同位置的数：$0=-2+2$，$6=4+2$，$-6=-8+2$……因此第②行的每个数是第①行对应位置的数加2得到的；
再对比：$-1=-2÷2$，$2=4÷2$，$-4=-8÷2$……因此第③行的每个数是第①行对应位置的数除以2得到的。
(3) 第①行的第10个数为$(-2)^{10}=1024$；
第②行的第10个数为$1024+2=1026$；
第③行的第10个数为$1024÷2=512$；
三个数的和为$1024+1026+512=2562$。
变式：观察数列可知后一个数是前一个数乘$-2$，32后面第一个数是$32×(-2)=-64$，第二个是$(-64)×(-2)=128$，第三个是$128×(-2)=-256$。
【答案】
(1) 第n（n为正整数）个数为$(-2)^n$（或后一个数是前一个数乘$-2$）；
(2) 第②行的数是第①行对应位置的数加2，第③行的数是第①行对应位置的数除以2；
(3) $2562$；
变式：$-64,128,-256$
【知识点】
乘方的意义，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题时可分别从符号、绝对值两个维度分析数列的变化规律，再通过对比不同数列同位置数值的关联找到关系，掌握分步观察的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
(1) 分析第①行的数时，分别观察符号和绝对值的变化：符号负、正交替出现，绝对值依次是2、4、8、16…均为2的正整数次幂，结合符号即可推导出第n个数的表达式；
(2) 对比②、③行和第①行同位置的数，计算同位置数的差或商，即可找到两行数之间的关系；
(3) 先根据第①行的规律求出第10个数，再根据第(2)问得到的关系分别求出第②、③行的第10个数，最后相加即可；变式部分根据给出的数列规律，后一个数是前一个数乘-2，依次计算即可得到32后面的三个数。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数为$-2=(-2)^1$，第2个数为$4=(-2)^2$，第3个数为$-8=(-2)^3$，以此类推，可得规律：第n（n为正整数）个数可表示为$(-2)^n$，即后一个数等于前一个数乘$-2$。
(2) 对比同位置的数：$0=-2+2$，$6=4+2$，$-6=-8+2$……因此第②行的每个数是第①行对应位置的数加2得到的；
再对比：$-1=-2÷2$，$2=4÷2$，$-4=-8÷2$……因此第③行的每个数是第①行对应位置的数除以2得到的。
(3) 第①行的第10个数为$(-2)^{10}=1024$；
第②行的第10个数为$1024+2=1026$；
第③行的第10个数为$1024÷2=512$；
三个数的和为$1024+1026+512=2562$。
变式：观察数列可知后一个数是前一个数乘$-2$，32后面第一个数是$32×(-2)=-64$，第二个是$(-64)×(-2)=128$，第三个是$128×(-2)=-256$。
【答案】
(1) 第n（n为正整数）个数为$(-2)^n$（或后一个数是前一个数乘$-2$）；
(2) 第②行的数是第①行对应位置的数加2，第③行的数是第①行对应位置的数除以2；
(3) $2562$；
变式：$-64,128,-256$
【知识点】
乘方的意义，数字规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题时可分别从符号、绝对值两个维度分析数列的变化规律，再通过对比不同数列同位置数值的关联找到关系，掌握分步观察的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
1. 下列各组数中,数值相等的是(
A.$-2^3$和$(-2)^3$
B.$-2^2$和$(-2)^2$
C.$-2^3$和$-3^2$
D.$-1^{10}$和$(-1)^{10}$
A
)A.$-2^3$和$(-2)^3$
B.$-2^2$和$(-2)^2$
C.$-2^3$和$-3^2$
D.$-1^{10}$和$(-1)^{10}$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题核心是区分底数带括号和不带括号的乘方运算顺序：当负号在括号外时，先计算乘方再添加负号；当负号在括号内时，负号属于底数，需将整个负数作为底数进行乘方运算。解题时只需依次计算每个选项中两个式子的结果，对比数值是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$-2^3$表示2的3次方的相反数，计算得$-2^3 = -(2×2×2) = -8$；$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，计算得$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$，二者数值相等。
B选项：$-2^2 = -(2×2) = -4$，$(-2)^2 = (-2)×(-2) = 4$，$-4≠4$，二者不相等。
C选项：$-2^3 = -8$，$-3^2 = -(3×3) = -9$，$-8≠-9$，二者不相等。
D选项：$-1^{10} = -(1^{10}) = -1$，$(-1)^{10}$表示10个$-1$相乘，偶数次幂结果为正，即$(-1)^{10}=1$，$-1≠1$，二者不相等。
综上，数值相等的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心易错点是混淆带括号和不带括号的负底数乘方的运算顺序，做题时要先明确底数范围再按法则计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的运算，解题核心是区分底数带括号和不带括号的乘方运算顺序：当负号在括号外时，先计算乘方再添加负号；当负号在括号内时，负号属于底数，需将整个负数作为底数进行乘方运算。解题时只需依次计算每个选项中两个式子的结果，对比数值是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项的数值：
A选项：$-2^3$表示2的3次方的相反数，计算得$-2^3 = -(2×2×2) = -8$；$(-2)^3$表示3个$-2$相乘，计算得$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$，二者数值相等。
B选项：$-2^2 = -(2×2) = -4$，$(-2)^2 = (-2)×(-2) = 4$，$-4≠4$，二者不相等。
C选项：$-2^3 = -8$，$-3^2 = -(3×3) = -9$，$-8≠-9$，二者不相等。
D选项：$-1^{10} = -(1^{10}) = -1$，$(-1)^{10}$表示10个$-1$相乘，偶数次幂结果为正，即$(-1)^{10}=1$，$-1≠1$，二者不相等。
综上，数值相等的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础易错题，核心易错点是混淆带括号和不带括号的负底数乘方的运算顺序，做题时要先明确底数范围再按法则计算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(-2)^2 - (-2)^3$的结果是(
A.-4
B.2
C.4
D.12
D
)A.-4
B.2
C.4
D.12
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查有理数的乘方和减法混合运算，解题时首先要明确运算顺序：先算乘方，再算减法。计算乘方时要牢记负数乘方的符号规则：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；计算减法时要注意，减去一个负数等于加上这个数的相反数，按步骤计算即可得出结果。
【解析】
第一步：先计算两个乘方项的值
$(-2)^2$表示2个-2相乘，即$(-2) × (-2) = 4$
$(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2) × (-2) × (-2) = -8$
第二步：代入原式计算减法
$(-2)^2 - (-2)^3 = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆负数乘方的符号，或者计算减法时忽略负号的变化，计算时牢记符号规则、仔细核对每一步的符号就能避免出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查有理数的乘方和减法混合运算，解题时首先要明确运算顺序：先算乘方，再算减法。计算乘方时要牢记负数乘方的符号规则：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；计算减法时要注意，减去一个负数等于加上这个数的相反数，按步骤计算即可得出结果。
【解析】
第一步：先计算两个乘方项的值
$(-2)^2$表示2个-2相乘，即$(-2) × (-2) = 4$
$(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2) × (-2) × (-2) = -8$
第二步：代入原式计算减法
$(-2)^2 - (-2)^3 = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆负数乘方的符号，或者计算减法时忽略负号的变化，计算时牢记符号规则、仔细核对每一步的符号就能避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 在计算$35×(\dfrac{1}{5})^2 + 9 - 16÷(-2)$时，最先计算的应该是(
A.$9 - 16$
B.$35×\dfrac{1}{5}$
C.$(\dfrac{1}{5})^2$
D.$16÷(-2)$
C
)A.$9 - 16$
B.$35×\dfrac{1}{5}$
C.$(\dfrac{1}{5})^2$
D.$16÷(-2)$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆有理数混合运算的优先级规则：运算时先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算，有括号的先算括号内的内容。接下来我们逐一判断各运算的优先级：乘方的优先级高于乘除，乘除高于加减，所以优先级最高的运算就是最先要计算的。
【解析】
根据有理数混合运算顺序：
1. 运算优先级从高到低为：乘方＞乘除＞加减；
2. 观察算式$35×(\dfrac{1}{5})^2 + 9 - 16÷(-2)$，其中包含乘方、乘法、除法、加法、减法五类运算，优先级最高的是乘方运算$(\dfrac{1}{5})^2$，因此最先计算的是$(\dfrac{1}{5})^2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算顺序、乘方运算优先级
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对有理数混合运算顺序的识记，只要牢记各级运算的优先级规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆有理数混合运算的优先级规则：运算时先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算，有括号的先算括号内的内容。接下来我们逐一判断各运算的优先级：乘方的优先级高于乘除，乘除高于加减，所以优先级最高的运算就是最先要计算的。
【解析】
根据有理数混合运算顺序：
1. 运算优先级从高到低为：乘方＞乘除＞加减；
2. 观察算式$35×(\dfrac{1}{5})^2 + 9 - 16÷(-2)$，其中包含乘方、乘法、除法、加法、减法五类运算，优先级最高的是乘方运算$(\dfrac{1}{5})^2$，因此最先计算的是$(\dfrac{1}{5})^2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算顺序、乘方运算优先级
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对有理数混合运算顺序的识记，只要牢记各级运算的优先级规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
4. 把$(-1.2)^2$，$-1.5^3$，$(-0.2)^2$，$-0.2^2$按从小到大的顺序排列是
。
$- 1.5^3 ＜ - 0.2^2 ＜ ( - 0.2)^2 ＜ ( - 1.2)^2$
。。
答案
4. $- 1.5^3 ＜ - 0.2^2 ＜ ( - 0.2)^2 ＜ ( - 1.2)^2$
解析
【分析】
要对这几个乘方结果排序，首先需要明确乘方的运算规则，区分带括号和不带括号的负数乘方的运算顺序，先分别计算出每个式子的具体数值，再根据有理数比较大小的规则：负数小于正数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，两个正数比较大小数值大的更大，最后将原式对应排序即可。
【解析】
第一步：分别计算每个式子的结果：
1. 计算$(-1.2)^2$：表示2个$-1.2$相乘，$(-1.2)^2=(-1.2)×(-1.2)=1.44$，结果为正数；
2. 计算$-1.5^3$：先算$1.5^3$再添加负号，$1.5^3=1.5×1.5×1.5=3.375$，因此$-1.5^3=-3.375$，结果为负数；
3. 计算$(-0.2)^2$：表示2个$-0.2$相乘，$(-0.2)^2=(-0.2)×(-0.2)=0.04$，结果为正数；
4. 计算$-0.2^2$：先算$0.2^2$再添加负号，$0.2^2=0.04$，因此$-0.2^2=-0.04$，结果为负数。
第二步：比较数值大小：
负数均小于正数，先比较两个负数：$\vert -3.375\vert=3.375$，$\vert -0.04\vert=0.04$，因为$3.375＞0.04$，所以$-3.375＜-0.04$；
再比较两个正数：$0.04＜1.44$；
因此从小到大的顺序对应原式为：$-1.5^3 ＜ -0.2^2 ＜ (-0.2)^2 ＜ (-1.2)^2$。
【答案】
$- 1.5^3 ＜ - 0.2^2 ＜ ( - 0.2)^2 ＜ ( - 1.2)^2$
【知识点】
乘方运算，有理数大小比较，乘方符号判断
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算顺序，运算时要先明确底数再按规则计算符号和数值，熟练掌握有理数大小比较规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要对这几个乘方结果排序，首先需要明确乘方的运算规则，区分带括号和不带括号的负数乘方的运算顺序，先分别计算出每个式子的具体数值，再根据有理数比较大小的规则：负数小于正数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，两个正数比较大小数值大的更大，最后将原式对应排序即可。
【解析】
第一步：分别计算每个式子的结果：
1. 计算$(-1.2)^2$：表示2个$-1.2$相乘，$(-1.2)^2=(-1.2)×(-1.2)=1.44$，结果为正数；
2. 计算$-1.5^3$：先算$1.5^3$再添加负号，$1.5^3=1.5×1.5×1.5=3.375$，因此$-1.5^3=-3.375$，结果为负数；
3. 计算$(-0.2)^2$：表示2个$-0.2$相乘，$(-0.2)^2=(-0.2)×(-0.2)=0.04$，结果为正数；
4. 计算$-0.2^2$：先算$0.2^2$再添加负号，$0.2^2=0.04$，因此$-0.2^2=-0.04$，结果为负数。
第二步：比较数值大小：
负数均小于正数，先比较两个负数：$\vert -3.375\vert=3.375$，$\vert -0.04\vert=0.04$，因为$3.375＞0.04$，所以$-3.375＜-0.04$；
再比较两个正数：$0.04＜1.44$；
因此从小到大的顺序对应原式为：$-1.5^3 ＜ -0.2^2 ＜ (-0.2)^2 ＜ (-1.2)^2$。
【答案】
$- 1.5^3 ＜ - 0.2^2 ＜ ( - 0.2)^2 ＜ ( - 1.2)^2$
【知识点】
乘方运算，有理数大小比较，乘方符号判断
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算顺序，运算时要先明确底数再按规则计算符号和数值，熟练掌握有理数大小比较规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
5. 计算：
(1) $-3^2 × 2^3$；
(2) $(-3)^2 × (-2)^3$；
(3) $-2^3 + (-3)^2$；
(4) $(-0.25 × 4)^{15}$。
(1) $-3^2 × 2^3$；
(2) $(-3)^2 × (-2)^3$；
(3) $-2^3 + (-3)^2$；
(4) $(-0.25 × 4)^{15}$。
答案
5. (1) -72 (2) -72 (3)1 (4) -1
解析
【分析】
解决这类有理数乘方混合运算题，首先要明确两个核心要点：①区分$-a^n$与$(-a)^n$的差异：前者底数是a，结果是a的n次方的相反数；后者底数是(-a)，结果是n个(-a)相乘的积。②严格遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。按照这个思路逐一计算每小题即可。
【解析】
(1) 先分别计算乘方：
$-3^2 = - (3×3) = -9$，$2^3 = 2×2×2 = 8$
再计算乘法：$-9×8 = -72$
(2) 先分别计算乘方：
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$，$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$
再计算乘法：$9×(-8) = -72$
(3) 先分别计算乘方：
$-2^3 = - (2×2×2) = -8$，$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$
再计算加法：$-8 + 9 = 1$
(4) 先计算括号内的乘法：
$-0.25×4 = -1$
再计算乘方：$(-1)^{15}$表示15个-1相乘，奇数个负数相乘结果为负，即$(-1)^{15} = -1$
【答案】
(1) -72 (2) -72 (3)1 (4) -1
【知识点】
乘方的运算，有理数混合运算顺序，幂的符号判定
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是混淆带负号的乘方的底数，导致符号计算错误，解题时需先明确底数范围，再按运算顺序逐步计算，养成检查符号的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
解决这类有理数乘方混合运算题，首先要明确两个核心要点：①区分$-a^n$与$(-a)^n$的差异：前者底数是a，结果是a的n次方的相反数；后者底数是(-a)，结果是n个(-a)相乘的积。②严格遵循有理数运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。按照这个思路逐一计算每小题即可。
【解析】
(1) 先分别计算乘方：
$-3^2 = - (3×3) = -9$，$2^3 = 2×2×2 = 8$
再计算乘法：$-9×8 = -72$
(2) 先分别计算乘方：
$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$，$(-2)^3 = (-2)×(-2)×(-2) = -8$
再计算乘法：$9×(-8) = -72$
(3) 先分别计算乘方：
$-2^3 = - (2×2×2) = -8$，$(-3)^2 = (-3)×(-3) = 9$
再计算加法：$-8 + 9 = 1$
(4) 先计算括号内的乘法：
$-0.25×4 = -1$
再计算乘方：$(-1)^{15}$表示15个-1相乘，奇数个负数相乘结果为负，即$(-1)^{15} = -1$
【答案】
(1) -72 (2) -72 (3)1 (4) -1
【知识点】
乘方的运算，有理数混合运算顺序，幂的符号判定
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，易错点是混淆带负号的乘方的底数，导致符号计算错误，解题时需先明确底数范围，再按运算顺序逐步计算，养成检查符号的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
