知识点一 用提公因式法分解因式的步骤
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式；
第三步:将多项式化成乘积的形式。

几个整式

【分析】
解题时可先回顾因式分解的核心定义：因式分解的本质是把一个多项式转化为几个整式相乘的形式，提公因式法是因式分解的基础方法，三步操作的最终目的是满足因式分解的结果要求。按步骤推导：第一步找公因式是前提，第二步提取公因式是核心操作，第三步就要得到符合因式分解要求的结果，即几个整式乘积的形式。
【解析】
提公因式法分解因式的三步要求为：
1. 找出多项式各项的公因式；
2. 提取公因式，即将公因式写在括号外侧，括号内是多项式每一项除以公因式得到的式子；
3. 最终需将原多项式化成符合因式分解定义的结果，也就是几个整式乘积的形式，因此空缺处应填“几个整式”。
【答案】
几个整式
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对提公因式法分解因式步骤的识记和理解，熟练掌握因式分解的基本要求即可轻松答对。
【难度系数】
0.9

知识点二 提公因式法分解因式的注意事项
1.公因式要提尽。
2.小心漏项。
3.当多项式的第一项为负数时，则公因式符号取（填“＋”或“－”），注意括号内的各项都要变号。

－

【分析】
解题时先回忆提公因式法分解因式的相关注意事项，代数式的常规书写要求中，多项式的首项系数一般为正，因此当原多项式的第一项为负数时，我们需要将负号作为公因式的一部分提取出来，保证提取公因式后括号内的首项为正，同时提取负号后括号内的每一项都要改变符号，由此即可确定公因式的符号。
【解析】
根据提公因式法分解因式的注意事项，当多项式的第一项为负数时，通常将公因式的符号取“－”，把负号提前后，括号内的各项都要相应变号，使得括号内多项式的首项为正，符合代数式的书写习惯。
【答案】
－
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础规则，属于概念识记类题型，熟练掌握分解因式的相关注意事项即可快速解答。
【难度系数】
0.9

例1 把$4(a - b)^2 - 8a + 8b$因式分解。
[点拨] 提取公因式$4(a - b)$，进而分解因式即可。
[解] $4(a - b)^2 - 8a + 8b$
$=4(a - b)^2 - 8(a - b)$
$=4(a - b)(a - b - 2)$。

解：
$4(a - b)^2 - 8a + 8b$
$=4(a - b)^2 - 8(a - b)$
$=4(a - b)·(a - b) - 4(a - b)×2$
$=4(a - b)(a - b - 2)$

【分析】
解题时先观察多项式的结构特征，首先对后两项$-8a+8b$进行变形，提取公因式$-8$后可得到$-8(a-b)$，此时原式转化为都含有$(a-b)$因式的两项；再确定公因式：系数4和8的最大公因数是4，相同因式$(a-b)$的最低次幂为1次，因此公因式为$4(a-b)$；最后提取公因式，对剩余部分整理即可完成因式分解，注意需检查分解结果是否彻底。
【解析】
$4(a - b)^2 - 8a + 8b$
$=4(a - b)^2 - 8(a - b)$
$=4(a - b)·(a - b) - 4(a - b)×2$
$=4(a - b)(a - b - 2)$
【答案】
$4(a - b)(a - b - 2)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是通过局部代数式变形构造出公共的整体因式，再准确提取公因式，做题时需注意不要漏项，保证分解结果无法再继续分解为止。
【难度系数】
0.8

| 变式训练1 | 把$2x(a-2)-y(2-a)$因式分解，结果是（）

A.$(a-2)(2x+y)$
B.$(2-a)(2x+y)$
C.$(a-2)(2x-y)$
D.$(2-a)(2x-y)$

A

【分析】
这道题考查提公因式法因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的两项，发现两项中分别含有因式$(a-2)$和$(2-a)$，二者互为相反数，我们可以通过符号变形将二者统一为相同的公因式，再提取公因式即可得到最终分解结果。解题时要注意变形过程中的符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：利用互为相反数的整式变形规则$2-a=-(a-2)$，对原式变形后提取公因式：
$\begin{aligned}2x(a-2)-y(2-a)&=2x(a-2)-y·[-(a-2)]\\&=2x(a-2)+y(a-2)\\&=(a-2)(2x+y)\end{aligned}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.整式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查对提公因式法的掌握，解题的关键点是准确识别互为相反数的因式，正确处理符号变形，提取公因式后可反向展开验证结果是否正确，避免符号失误。
【难度系数】
0.7

例2 把$(2x - 3y)^3 + x(3y - 2x)^2$因式分解。
[点拨] 直接利用提公因式法进行因式分解得出答案。
[解] $(2x - 3y)^3 + x(3y - 2x)^2$
$=(2x - 3y)^3 + x(2x - 3y)^2$
$=(2x - 3y)^2(2x - 3y + x)$
$=3(2x - 3y)^2(x - y)$。

解：
$(2x - 3y)^3 + x(3y - 2x)^2$
$=(2x - 3y)^3 + x(2x - 3y)^2$
$=(2x - 3y)^2(2x - 3y + x)$
$=(2x - 3y)^2(3x - 3y)$
$=3(2x - 3y)^2(x - y)$

【分析】
拿到因式分解题目首先观察是否存在公因式，本题中两项的底数分别为$2x-3y$和$3y-2x$，二者互为相反数，根据偶次幂的性质可知$(3y-2x)^2=(2x-3y)^2$，先统一两项的底数即可找到公因式$(2x-3y)^2$；接下来提取公因式，对剩下的整式合并同类项，最后检查合并后的结果是否还能继续分解，若有公因式需再次提取，直到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
$(2x - 3y)^3 + x(3y - 2x)^2$
$=(2x - 3y)^3 + x(2x - 3y)^2$
$=(2x - 3y)^2(2x - 3y + x)$
$=(2x - 3y)^2(3x - 3y)$
$=3(2x - 3y)^2(x - y)$
【答案】
$3(2x - 3y)^2(x - y)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解 2.偶次幂的符号性质 3.合并同类项
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题核心是先通过偶次幂的性质统一互为相反数的底数，准确找到公因式，提取公因式后需注意检查剩余部分是否还可分解，因式分解需分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.75

|变式训练2| 把$9(m+n)^2 - 3(m-n)(m+n)$因式分解。

$6(m+n)(m+2n)$

【分析】
观察式子可知是两项式，优先用提公因式法因式分解，思考步骤如下：①确定公因式：先找系数的最大公约数，9和3的最大公约数是3；再找相同的因式，两项都含有多项式因式$(m+n)$，且最低次数为1，因此公因式为$3(m+n)$。②提取公因式后，对剩余部分进行去括号、合并同类项化简。③最后检查化简后的因式是否还能继续分解，确保结果为最简的整式乘积形式。
【解析】
解：$9(m+n)^2 - 3(m-n)(m+n)$
$=3(m+n)· 3(m+n) - 3(m+n)· (m-n)$
$=3(m+n)[3(m+n) - (m-n)]$
$=3(m+n)(3m+3n - m + n)$
$=3(m+n)(2m + 4n)$
$=3(m+n)· 2(m+2n)$
$=6(m+n)(m+2n)$
【答案】
$6(m+n)(m+2n)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 整式的加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出公因式，提取公因式后注意去括号的符号问题，最终结果要分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

1. 将$3x(a-b)-9y(b-a)$因式分解，应提取的公因式是（）

A.$3x-9y$
B.$3x+9y$
C.$a-b$
D.$3(a-b)$

D

【分析】
要确定因式分解时提取的公因式，需按照“先定系数，再定相同因式”的步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同因式（若有互为相反数的因式，可通过符号变形转化为相同因式），最后将系数的最大公约数和相同因式相乘，即为要提取的公因式。
【解析】
首先对原式中的符号进行统一变形：
∵ $ b-a = -(a-b) $
∴ 原式 $ 3x(a-b)-9y(b-a) = 3x(a-b) + 9y(a-b) $
接下来确定公因式：
① 系数部分：3和9的最大公约数是3；
② 相同因式部分：两项都含有多项式因式 $ a-b $；
因此应提取的公因式是 $ 3(a-b) $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础题型，易错点是未意识到$ b-a $和$ a-b $可通过符号变化转化为相同因式，只要掌握公因式的确定规则，注意符号变形的细节就能正确作答。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式$6a(a-b)^2 -4(b-a)^3$时，应提取的公因式是（）

A.$6a$
B.$6a(a-b)^3$
C.$4a(a-b)$
D.$2(a-b)^2$

D 解析:$6a(a-b)^2-4(b-a)^3=6a(a-b)^2+4(a-b)^3$，
∵6,4的最大公约数是2,各项都含有相同因式为$(a-b)^2$,
∴公因式为$2(a-b)^2$。

【分析】
要确定多项式的公因式，需按以下思路思考：首先统一式子中互为相反数的底数，因为(a-b)与(b-a)互为相反数，根据幂的符号规律，奇次幂的符号随底数符号改变而改变，可将(b-a)³转化为-(a-b)³，将两项的底数统一为(a-b)；再按照公因式的确定规则，分别找系数的最大公约数、相同因式的最低次幂，两者相乘即为要提取的公因式。
【解析】
首先对原式变形，统一底数：
∵$(b-a)^3 = [-(a-b)]^3 = -(a-b)^3$
∴原式 = $6a(a-b)^2 - 4×[-(a-b)^3] = 6a(a-b)^2 + 4(a-b)^3$
接下来确定公因式：
1. 系数部分：6和4的最大公约数是2；
2. 相同因式部分：两项都含有因式$(a-b)$，其中$(a-b)$的最低次幂是$(a-b)^2$；
综上，应提取的公因式是$2(a-b)^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，幂的符号变换
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先统一互为相反数的底数形式，再按规则确定公因式，熟练掌握相关变形技巧可提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3.将多项式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$因式分解，结果是$2(x+m)(x+n)$，则$m-n$的值是（）

A.0
B.4
C.3或$-3$
D.1

C

【分析】
解题思路如下：首先观察给定的多项式，发现两项都含有公因式$(x+2)$，优先用提公因式法进行因式分解；将分解后的结果整理成题目要求的$2(x+m)(x+n)$的形式，对应得到$m$、$n$的可能取值；注意两个一次因式的顺序不固定，$m$和$n$的对应关系有两种情况，分别计算两种情况的$m-n$即可得到结果。
【解析】
步骤1：对多项式提公因式因式分解
观察原式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$，两项的公因式为$(x+2)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}&(x+2)(2x-1)-(x+2)\\=&(x+2)[(2x-1)-1]\\=&(x+2)(2x-2)\\=&2(x+2)(x-1)\end{aligned}$
步骤2：对应系数确定$m$、$n$的取值
题目给出分解结果为$2(x+m)(x+n)$，因此可得$m$和$n$的取值有两种情况：
① 当$m=2$，$n=-1$时，$m-n=2-(-1)=3$；
② 当$m=-1$，$n=2$时，$m-n=-1-2=-3$。
综上，$m-n$的值为3或$-3$。
【答案】
C
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.多项式对应相等
3.代数式求值
【点评】
本题属于因式分解的常规题型，核心是熟练掌握提公因式法的运算规则，易错点是忽略两个一次因式的顺序可以互换，导致漏算其中一种结果。
【难度系数】
0.7