9. 试证明 $10^2 × 5^{12} - 25^7$ 能被3整除。

9.证明:
∵$10^2×5^{12}-25^7$
$=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7$
$=2^2×5^2×5^{12}-5^{14}$
$=(4-1)×5^{14}$
$=3×5^{14}$，
∴$3×5^{14}$含有因数3，
∴$10^2×5^{12}-25^7$能被3整除。

【分析】
要证明一个整式能被3整除，核心目标是将该整式化简为“3与某个整数的乘积”的形式。观察原式中各项的底数，10可拆为2×5，25是5的平方，因此我们可以先利用幂的运算性质把所有项的底数统一为5，再合并同类项，最后验证化简结果是否含有因数3即可完成证明。
【解析】
证明：
$10^2×5^{12}-25^7$
$=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7$（将底数拆分为含5的形式，为统一底数做准备）
$=2^2×5^2×5^{12}-5^{14}$（分别运用积的乘方法则、幂的乘方法则计算）
$=4×5^{14}-5^{14}$（运用同底数幂的乘法法则计算$5^2×5^{12}=5^{14}$）
$=(4-1)×5^{14}$（提取公因式$5^{14}$合并同类项）
$=3×5^{14}$
∵$5^{14}$是正整数，因此$3×5^{14}$含有因数3，能被3整除，
即$10^2 × 5^{12} - 25^7$能被3整除。
【答案】
证明:
∵$10^2×5^{12}-25^7$
$=(2×5)^2×5^{12}-(5^2)^7$
$=2^2×5^2×5^{12}-5^{14}$
$=(4-1)×5^{14}$
$=3×5^{14}$，
∴$3×5^{14}$含有因数3，
∴$10^2×5^{12}-25^7$能被3整除。
【知识点】
幂的运算，因式分解，整除判定
【点评】
本题是整式运算与整除判定结合的典型基础题，重点考查幂的相关运算法则的灵活运用，解题关键是通过底数转换统一幂的底数，再化简得到含因数3的形式，掌握幂的运算法则是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.75

10.已知$a-b=\frac{7}{2},ab=-3$。
(1)求$ab^2 - a^2b$的值；
(2)求$a^2 + b^2$的值。

10.解:(1)$ab^2 - a^2b=ab(b-a)$。
∵$a-b=\frac{7}{2},∴b-a=-\frac{7}{2}$。
∴原式$=(-3)×(-\frac{7}{2})=\frac{21}{2}$。
(2)$a^2 + b^2=(a-b)^2+2ab$。
∵$a-b=\frac{7}{2},ab=-3$，
∴原式$=(\frac{7}{2})^2+2×(-3)=\frac{25}{4}$。

【分析】
（1）求解$ab^2 - a^2b$的值时，先观察式子结构，两项均含公因式$ab$，因此先通过提公因式法因式分解，得到$ab(b-a)$；已知$a-b=\frac{7}{2}$，可推出$b-a$是$a-b$的相反数，再将$ab$和$b-a$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的数值。
（2）求解$a^2 + b^2$的值时，结合已知条件$a-b$和$ab$，回忆完全平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对公式变形可得$a^2 + b^2=(a-b)^2 + 2ab$，直接将已知数值整体代入计算即可。
【解析】
(1) 对所求式子因式分解：
$ab^2 - a^2b=ab(b-a)$
$\because a-b=\frac{7}{2}$，$\therefore b-a=-(a-b)=-\frac{7}{2}$，又$ab=-3$，代入得：
原式$=(-3)×(-\frac{7}{2})=\frac{21}{2}$
(2) 由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=\frac{7}{2},ab=-3$代入得：
原式$=(\frac{7}{2})^2+2×(-3)=\frac{49}{4}-6=\frac{25}{4}$
【答案】
(1)$\frac{21}{2}$；(2)$\frac{25}{4}$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，解题核心是利用因式分解和完全平方公式的变形对所求式子进行转化，采用整体代入的思想简化计算过程，避免求解单个未知数的繁琐步骤，要求熟练掌握常见的代数变形技巧。
【难度系数】
0.8

11.【问题提出】
计算: $1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$。
【问题探究】
为便于研究规律,我们可以将问题"一般化",即将算式中特殊的数字"3"用具有一般性的字母$a$代替,原算式化为:
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3+a(1+a)^4+a(1+a)^5+a(1+a)^6$。
然后我们再从最简单的情形入手,从中发现规律,找到解决问题的方法。
①$1+a+a(1+a)$
$=(1+a)+a(1+a)$
$=(1+a)(1+a)$
$=(1+a)^2$,
②由①知 $1+a+a(1+a)=(1+a)^2$,
所以,
$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2$
$=(1+a)^2+a(1+a)^2$
$=(1+a)^2(1+a)$
$=(1+a)^3$。
(1)仿照②,写出将$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3$进行因式分解的过程。
【发现规律】
(2)$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+\dots +a(1+a)^n=$。
【问题解决】
(3)计算:$1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6=$(结果用乘方表示)。

11.(1)$(1+a)^4$ (2)$(1+a)^{n+1}$ (3)$4^7$
解析:(1)$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3$
$=(1+a)(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3$
$=(1+a)^2(1+a)+a(1+a)^3$
$=(1+a)^3+a(1+a)^3$
$=(1+a)^3(1+a)$
$=(1+a)^4$；
(2)由②③发现规律:$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+\dots +a(1+a)^n=(1+a)^{n+1}$；
(3)$1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$
$=(1+3)(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$
$=(1+3)^2(1+3)+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$
$=(1+3)^3(1+3)+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6$
$=(1+3)^4(1+3)+3(1+3)^5+3(1+3)^6$
$=(1+3)^5(1+3)+3(1+3)^6$
$=(1+3)^6(1+3)$
$=(1+3)^7$
$=4^7$。

【分析】
这道题遵循从特殊到一般、再从一般到特殊的探究逻辑：(1)第一小问可仿照题中给出的分解步骤，每次将前两项看作整体，反复提取公因式$(1+a)$，逐步化简即可得到结果；(2)第二小问观察前几个因式分解的结果，可发现最后所得幂的指数比原式中最高次幂的指数多1，据此可总结出通用规律；(3)第三小问将$a=3$、$n=6$代入第二问得到的通用规律中，直接计算即可快速得到结果，无需逐项计算。
【解析】
(1) 因式分解过程如下：
$\begin{aligned}&\phantom{=}1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3\\&=(1+a)(1+a)+a(1+a)^2+a(1+a)^3\\&=(1+a)^2(1+a)+a(1+a)^3\\&=(1+a)^3+a(1+a)^3\\&=(1+a)^3(1+a)\\&=(1+a)^4\end{aligned}$
(2) 观察前面的运算规律：当原式最高次项为$a(1+a)^1$时，结果为$(1+a)^2$；最高次项为$a(1+a)^2$时，结果为$(1+a)^3$，以此类推，可得$1+a+a(1+a)+a(1+a)^2+\dots +a(1+a)^n=(1+a)^{n+1}$。
(3) 把$a=3$，$n=6$代入上述规律计算：
$\begin{aligned}&\phantom{=}1+3+3(1+3)+3(1+3)^2+3(1+3)^3+3(1+3)^4+3(1+3)^5+3(1+3)^6\\&=(1+3)^{6+1}\\&=4^7\end{aligned}$
【答案】
(1) $(1+a)^4$；(2) $(1+a)^{n+1}$；(3) $4^7$
【知识点】
提公因式法因式分解；数字规律探究；代数式化简
【点评】
本题通过阶梯式的探究设置，引导学生从简单运算中总结通用规律，再用规律简化复杂计算，重点考察学生的归纳推理能力和知识迁移能力，掌握逐步提公因式的方法能高效解决同类繁琐运算问题。
【难度系数】
0.7